시즌 중 타율 예측: 경험적 베이즈와 계층적 베이즈 방법의 현장 검증

**연구 배경 및 목적** 타율은 야구에서 가장 기본적인 성과 지표이며, 각 타자는 일정한 성공확률 pᵢ (잠재 타율)를 가지고 있다고 가정할 수 있다. 이러한 확률을 추정하고, 시즌 초반(예: 3개월) 기록을 이용해 남은 시즌의 타율을 예측하는 문제는 베르누이 비율 모델링의 전형적인 사례이다. 본 연구는 2005년 메이저리그 전체 타자(567명)의 데이터를 사용해, 초반 기록만으로 후반 타율을 얼마나 정확히 예측할 수 있는지를 평가한다. 동시에 경험적 베이즈(EB), 계층적 베이즈(HB), 그리고 Robbins의 비모수 EB와 같은 최신 베이즈 방법들을 비교함으로써, 실제 데이터에 가장 적합한 추정기를 찾는 것이 목표이다. **데이터와 전처리** 각 타자는 ‘at‑bat(AB)’와 ‘hit(H)’ 두 변수로 요약된다. 초반(4월~6월)과 후반(7월~10월)으로 구분해 각각의 AB와 H를 집계하였다. 최소 11번 이상의 초반 AB를 가진 선수만 분석에 포함시켰다. 데이터는 투수와 비투수로 구분했으며, 두 그룹은 평균 타율과 AB 분포에서 현저히 차이가 난다(투수 평균 0.153, 비투수 평균 0.255). **분산 안정화 변환** 베르누이 비율의 분산은 p(1‑p)/AB 로, AB가 다르면 이분산 문제가 발생한다. 이를 해결하기 위해 arcsine 변환 Z = 2·arcsin√(H/AB) 를 적용하였다. 변환 후 Z는 평균 μᵢ ≈ 2·arcsin√pᵢ 와 근사적으로 일정한 분산 σ²ᵢ ≈ 1/AB를 갖는다. 논문은 변환 전후의 히스토그램과 QQ‑plot을 통해 정규성 가정을 검증하고, 변환이 적절함을 실증하였다. **베이즈 방법론** 1. **경험적 베이즈(EB)** - Efron‑Morris(1975,1977)의 James‑Stein 수축을 이분산 상황에 맞게 일반화하였다. 각 선수의 초반 변환 평균 Zᵢ 를 전체 평균 Z̄ 쪽으로 가중 평균 형태로 수축한다. 수축 계수 λᵢ = σ²ᵢ / (σ²ᵢ + τ²) 이며, τ²는 전체 데이터의 분산을 최대우도(MLE)로 추정한다(EB(ML)). - 결과적으로 AB가 적은 선수일수록 λᵢ가 커져 더 많이 평균으로 끌린다. 2. **계층적 베이즈(HB)** - 모집단을 정규‑정규 혼합으로 가정: Zᵢ | θᵢ ~ N(θᵢ, σ²ᵢ), θᵢ ~ N(μ₀, τ²). - 사전분포는 ‘harmonic prior’를 사용해 극단값을 억제하고, 하이퍼파라미터 μ₀, τ²를 Gibbs 샘플링으로 추정한다. - HB는 사후 평균 E