자기유사 연속체가 지퍼의 수반체가 될 수 없는 사례

논문은 먼저 자기유사 지퍼의 정의와 기존 연구에서 제시된 여러 예시들을 정리한다. 지퍼는 완비 거리공간 X 위의 유한 개 수축 사상 S₁,…,S_m, 정점 집합 (z₀,…,z_m) 그리고 서명 ε∈{0,1}^m 로 구성되며, 각 사상은 정점 사이를 특정 방식으로 연결한다. 이러한 구조가 존재하면, 정점들을 매개로 하는 Hölder 연속 선형 매개화 γ가 존재하고, 그 이미지 K(S)는 호연결이며, γ는 일종의 자기유사 페아노 곡선으로 해석될 수 있다. 기존 문헌에서는 Sierpinski gasket, 정사각형, Sierpinski carpet 등 다양한 프랙탈을 지퍼의 끌어당김 집합으로 구현한 사례가 보고되었다. 본 논문의 핵심은 “자기유사 연속체가 지퍼의 끌어당김 집합이 될 수 없는 경우”를 구체적으로 제시하는 것이다. 저자는 R² 상에 다섯 개의 수축 유사 변환을 정의한다. - S₂(x)=½x+(2,0) (비율 ½, 평행이동) - S₁,S₃,S₄,S₅(x)=¼x+a_k, 여기서 a_k는 (0,0), (3,0), (1,2h), (3/2,3h) (h=√3/2) 중 하나이다. 이 시스템 S의 불변 집합 K는 전형적인 자기유사 덴드라이트이며, 각 점의 차수는 2 또는 3이다. 차수가 3인 점은 D=(2,0)의 이미지이며, 모든 경로는 D를 통과한다는 특성을 가진다. K는 단순 연결이며, 각 복사본 S_i(Δ)는 서로 겹치지 않는 내부를 가진다. 다음으로 저자는 K 내부의 가장 긴 수평 선분 J₀=