Camassa Holm 방정식에 자기일관원천을 포함한 일반화와 해법

본 연구는 Camassa‑Holm(CH) 방정식에 자기일관원천(self‑consistent sources, SES) 를 도입한 새로운 적분가능 모델인 CHESCS( Camassa‑Holm equation with self‑consistent sources ) 를 제시한다. 먼저 CH 방정식의 표준 형태 u_t + 2ω u_x − u_{xxt} + 3uu_x = 2u_x u_{xx}+uu_{xxx} 를 q = u − u_{xx}+ω 로 변형한 보존형 q_t + 2u_x q + u q_x = 0 을 사용한다. 기존 CH 방정식의 Lax 쌍 ϕ_{xx} = (λ q+¼)ϕ, ϕ_t = (½λ − u)ϕ_x + ½u_x ϕ 로부터, 자기일관원천을 포함한 확장식 q_t = −(q∂+∂q)(u + 2∑_{j=1}^N λ_j ϕ_j²) 와 ϕ_{j,xx} = (λ_j q+¼)ϕ_j 를 도출한다. Lax 쌍을 완성하기 위해 B = ½λ − u + ∑α_j f(ϕ_j)/(λ−λ_j)+∑β_j f(ϕ_j) 형태를 가정하고, λ 전개식의 계수를 비교함으로써 f(ϕ_j)=−2ϕ_j², α_j=λ_j², β_j=λ_j 를 얻는다. 따라서 최종 Lax 쌍은 ϕ_{xx} = (¼+λq)ϕ, ϕ_t = u_x ϕ + (½λ−u)ϕ_x + 2∑_{j=1}^N λλ_j/(λ−λ_j)(ϕ_{j,x}ϕ−ϕ_jϕ_x) 로 표현된다. 보존법칙은 Γ = ϕ_x/ϕ 로 정의하고, Γ_t = (ϕ_t ϕ)_x 를 이용해 무한 계열의 보존밀도 μ_m 을 얻는다. μ₀=√q, μ₁=−¼ q_x/q 등 재귀 관계를 통해 고차 보존량을 체계적으로 구한다. 피크온 해는 기존 CH 방정식의 u=c e^{−|x−ct+α|} 형태를 α(t)와 φ(t) 를 시간 의존 함수로 바꾸어, α'(t)와 φ(t) 사이에 φ= p α'(t) c 라는 관계를 도출함으로써 CHESCS 에서도 피크온이 존재함을 보인다. 이 피크온은 정상적인 피크온과 달리 파라미터 α(t) 가 자유롭게 변하므로 파동 속도가 시간에 따라 변한다. 다음으로, 역변환 y, s 좌표를 도입해 CHESCS 를 연관된 Camassa‑Holm(ACH) 방정식 형태로 변환한다. 변환식 dy = r dx − (r u+2∑λ_j r ϕ_j²)dt, ds=dt 로 정의하고, r=√q, ψ=r^{-1/2}ϕ 로 치환하면 새로운 Lax 쌍 ψ_{yy}= (λ+Q+¼ω)ψ, ψ_s=½λ(rψ_y−½r_yψ)+2∑λ_j²/(λ−λ_j)(ψ_{j,y}ψ−ψ_jψ_y) 가 얻어진다. 여기서 Q와 r 은 ACH 방정식의 핵심 변수이며, Q_s = r_y−8∑λ_j² ψ_jψ_{j,y} 로 자기일관원천이 포함된 형태가 된다. ACH 시스템에 대해 Darboux 변환을 적용한다. 기본 해 φ₀, ψ_j 를 이용해 Wronskian 행렬식 W₁, W₂ 를 구성하고, Q(y,s)=−2∂²_y ln W₁, r(y,s)=√ω−2∂²_{y s} ln W₁, φ(y,s,λ)=W₂/W₁ 로 정의한다. λ_j<0 인 경우 cosh, sinh 형태의 기본 해를 선택해 N‑솔리톤, N‑커스폰 등을 얻는다. 특히 N=1 일 때, λ₁<0 인 한 개의 솔리톤을 구하고, α₁(s) 를 임의 함수로 두어 상수 변분법을 적용한다. 결과적으로 q(y,s)=ω(1−4k₁²ω sech² ξ̄₁/(4k₁²ω−1))², u(y,s)=8k₁²ω² sech² ξ̄₁(1−4k₁²ω)/(1−4k₁²ω+4k₁²ω sech² ξ̄₁), ϕ₁(y,s)=2√p α'_1(s)k₁ω sech ξ̄₁ √ω(1−4k₁²ω)/(1−4k₁²ω+4k₁²ω sech² ξ̄₁) 가 얻어진다. x(y,s) 는 적분식 x=∫1/r dy 로부터 명시적으로 구한다. 파라미터 조건 4k₁²ω−1<0 은 해의 비특이성을 보장한다. N=2 이상에서는 W₁, W₂ 를 다중으로 확장해 두 개 이상의 솔리톤, 커스폰, 포지톤, 네가톤을 구성한다. 각 해는 원래 (x,t) 좌표로 역변환되어 물리적 파동 형태를 제공한다. 결론적으로, 본 논문은 CH 방정식에 자기일관원천을 도입해 새로운 적분가능 모델을 만들고, Lax 쌍, 무한 보존법칙, 피크온 및 다양한 고차 비선형 파동 해(N‑솔리톤, N‑커스폰, N‑포지톤, N‑네가톤)를 체계적으로 구축하였다. Darboux 변환과 상수 변분법의 결합은 다른 SESCS에도 적용 가능함을 시사한다.