안정 구조와 동기 부여된 도널드슨‑톰슨 불변량 및 클러스터 변환

본 논문은 3차원 칼라비‑야우 범주에 대한 새로운 불변량 체계를 구축한다. 먼저, “비가환 대수적 다양체”를 Ext‑finite ind‑constructible A∞‑범주 C 로 정의하고, K₀(C)→Γ라는 전하 격자 사상을 도입한다. 여기서 Γ는 자유 아벨 군이며, ⟨·,·⟩는 Euler 형식으로 정의된 쌍대 형식이다. 안정 구조는 중심 전하 Z:Γ→ℂ, 반안정 객체들의 집합 C_ss, 그리고 각 반안정 객체에 대한 로그 전하 Log Z(E) 로 구성된다. 이 데이터는 Bridgeland의 안정 조건을 일반화한 일련의 공리를 만족한다(시프트 폐쇄, Ext‑소멸, Harder‑Narasimhan 필터, 지원 조건 등). 다음으로, 동기 부여된 Hall 대수 H(C)와 양자 토러스 𝔗_Γ를 구축한다. Hall 대수의 원소는 객체들의 동기 부여된 스택 클래스이며, 양자 토러스는 변수 e_γ (γ∈Γ)와 관계 e_γ e_δ = ℒ^{½⟨γ,δ⟩} e_{γ+δ} 로 정의된다. 동기 가중치 w(E)=ℒ^{½⟨cl(E),cl(E)⟩}