희소 관측 확률 과정의 거리 기반 클러스터링과 온라인 경매 적용

본 논문은 “희소하고 불규칙하게 관측된 확률 과정 실현들 사이의 거리 정의”라는 근본적인 문제를 제기하고, 이를 해결하기 위한 새로운 메트릭을 제안한다. 전통적인 함수형 데이터 분석에서는 연속적으로 관측된 곡선을 전제로 L² 거리 등을 사용한다. 그러나 실제 많은 데이터—특히 장기 온라인 경매, 의료 장기 추적 조사, 소셜 미디어 활동 등—는 관측 시점이 적고, 시간 간격이 불규칙하며, 측정 오차가 존재한다. 이러한 상황에서는 직접적인 L² 거리를 계산할 수 없으며, 기존의 보간이나 스무딩 방법도 과도한 추정 오류를 초래한다. 논문은 먼저 확률 과정 X(t) 를 평균 μ(t)와 공분산 커널 C(s,t)의 고유함수 φ_k와 고유값 λ_k 로 전개하는 Karhunen‑Loève 표현을 도입한다. 각 실현 X_i(t)는 무상관 계수 ξ_{ik} 로 구성되며, 관측값 Y_iℓ = X_i(T_iℓ)+ε_iℓ (ε는 i.i.d. 잡음) 로 제한된다. 여기서 핵심 아이디어는 “조건부 기대값”이다. 두 실현 X_i, X_j 사이의 L² 거리 D(i,j)² = ∫(X_i(t)−X_j(t))² dt 를 직접 구할 수 없으므로, 대신 E