연속함수의 모든 점이 국소 최소·최대인 연결 완비 거리공간의 새로운 예시
저자들은 연결된 완비 거리공간 X와 연속함수 f :X→ℝ를 구성한다. f는 상수는 아니지만 X의 모든 점에서 국소 최소값 또는 국소 최대값을 갖는다. 또한 이러한 공간은 약하게 분리된 부분집합의 최대 크기 R(X)가 연속체의 크기 c와 같거나 그보다 크며, X는 연결하지만 가산 연결성을 갖지 않는다(즉, 분리가능하게 연결되지 않는다).
저자: T.Banakh, M.Vovk, M.R.Wojcik
본 논문은 “국소 극값 함수”(locally extremal function)라는 개념을 중심으로, 연결된 완비 거리공간 위에 비상수 연속함수가 존재할 수 있는지 여부를 탐구한다. 먼저, 공간 X와 함수 f:X→ℝ가 각각 “국소 최소값” 혹은 “국소 최대값”을 모든 점에서 갖는 경우를 정의한다. 기존 연구에서는 밀도(density) 혹은 약하게 분리된 부분집합의 최대 크기 R(X) 가 연속체의 크기 c보다 작을 때, 모든 연속 국소 극값 함수는 상수라는 결과가 알려져 있었다. 이는 R(X)
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