이분 그래프의 입방 차원 최소화와 효율적 무작위 알고리즘

본 논문은 그래프 이론에서 중요한 개념인 입방 차원(cubicity)을 이분 그래프에 특화시켜 보다 효율적인 차원 상한과 무작위 알고리즘을 제시한다. 입방 차원은 그래프를 축에 평행한 단위 입방체(k‑cube)들의 교차로 표현할 수 있는 최소 차원을 의미한다. 기존 연구에서는 일반 그래프에 대해 \(cub(G)\le\lfloor 2n/3\rfloor\) 혹은 \(cub(G)\le 4(\Delta+1)\ln n\) 와 같은 상한이 알려져 있었지만, 이분 그래프의 구조적 특성을 활용하면 더 강력한 결과를 얻을 수 있다. 논문의 첫 번째 주요 결과는 다음과 같다. 이분 그래프 \(G=(A\cup B,E)\) 에 대해 \(|A|=n_1\), \(|B|=n_2\) (\(n_1\le n_2\)) 라고 하자. 양쪽 파트의 최대 차수를 각각 \(\Delta_A\), \(\Delta_B\) 라고 정의하고, \(\Delta'=\min\{\Delta_A,\Delta_B\}\) 로 두면, \