문턱 허용 기반 커리큘럼 시간표 최적화

본 논문은 교육기관에서 흔히 발생하는 커리큘럼 기반 시간표(Curriculum Based Timetabling, CBT) 문제를 해결하기 위한 메타휴리스틱 접근법을 제시한다. CBT는 각 커리큘럼에 속한 강의들이 학생들의 겹침을 고려해 동시에 배정되지 않도록 하는 동시에, 강의실 용량, 강의 일수 분산, 커리큘럼 압축성, 강의실 일관성 등 네 가지 소프트 제약을 최소화하는 복합 최적화 문제이다. 1. **문제 정의 및 사전 처리** - 각 강의 Lᵢ에 대해 이벤트 Eᵢ₁…Eᵢₑ를 생성하고, 강의실을 세 등급(R₁, R₂, R₃)으로 분류한다. R₁은 강의 수와 강의실 용량 차이가 최소인 방, R₂는 용량은 충분하지만 최적이 아닌 방, R₃는 용량이 부족한 방이다. 이 분류는 초기 할당 시 우선순위로 활용된다. 2. **Myopic Construction (탐욕적 구축)** - 모든 이벤트를 순차적으로 할당한다. 매 단계에서 “가장 제한적인” 이벤트(가능한 시간슬롯 수가 최소인)를 선택하고, 확률 0.5로 R₁→R₂→R₃ 혹은 R₂→R₁→R₃ 순서의 방 등급을 선택한다. 같은 등급 내에서는 무작위로 시간슬롯을 고른다. 할당이 불가능하면 해당 이벤트를 실패 집합 Eᵤ에 보관한다. 1,000번 반복 실험 결과, 대부분의 인스턴스에서 Eᵤ가 비어 성공적인 초기 해를 얻었지만, comp05.ctt와 같은 제약이 강한 인스턴스에서는 실패했다. 3. **Reactive Repetitive Reconstruction (반응적 재구성)** - 실패한 이벤트 집합 Eᵤ를 우선적으로 재시도한다. 각 루프마다 Eᵤ를 Eₚ(우선 집합)로 옮기고, 먼저 Eₚ를 할당한 뒤 남은 이벤트 E¬ₚ를 할당한다. 이 과정을 최대 MaxLoops까지 반복한다. 실험에서는 10루프까지 진행했을 때 comp05.ctt의 성공률이 83.1%에 도달했다. 이는 어려운 이벤트를 반복적으로 강조함으로써 할당 가능성을 높이는 효과를 보여준다. 4. **Threshold Accepting 기반 개선 단계** - 초기 구축 단계에서 얻은 완전하거나 부분적인 해를 바탕으로 로컬 탐색을 수행한다. 매 반복에서 무작위로 선택된 k개의 이벤트를 해제하고, 다시 할당한다. 평가 기준은 (1) 하드 제약 위반 횟수 hc(할당되지 않은 이벤트 수)와 (2) 소프트 제약 위반 점수 sc이다. 우선 hc를 최소화하고, hc가 동일할 경우 sc가 현재 최적 해보다 일정 임계값 이하이면 열악한 해를 받아들인다. 이는 문턱 허용(Threshold Accepting) 메타휴리스틱의 핵심 아이디어이며, Simulated Annealing의 확률적 수용을 결정론적으로 단순화한다. 5. **실험 및 결과** - ITC 2007 트랙 3의 14개 인스턴스를 대상으로 실험하였다. 초기 구축 단계에서 7개 초기 인스턴스 중 5개는 100% 성공, 2개는 35~95% 수준, 1개(comp05.ctt)는 0% 성공을 보였다. 반응적 재구성을 적용하면 comp05.ctt에서도 10루프 후 83% 성공률을 달성했다. 이후 TA 단계에서는 하드 제약을 완전히 해소한 뒤, 소프트 제약 위반을 지속적으로 감소시켰으며, 최종 점수는 ITC 2007 공식 순위와 비교해 경쟁력 있는 수준을 기록했다. 6. **논의 및 결론** - 탐욕적 구축과 반응적 재구성은 서로 보완적인 역할을 수행한다. 탐욕적 단계는 빠른 초기 해를 제공하지만, 복잡한 인스턴스에서는 실패 가능성이 있다. 반응적 재구성은 실패 이벤트를 강조함으로써 이러한 약점을 보완한다. 문턱 허용은 하드 제약을 우선적으로 만족시키면서도 소프트 제약을 단계적으로 개선할 수 있는 간단하면서도 효과적인 로컬 탐색 메커니즘이다. 파라미터(예: 방 등급 선택 확률, 임계값) 조정만으로 다양한 시간표 문제에 적용 가능하다는 장점이 있다. 향후 연구에서는 파라미터 자동 튜닝, 더 정교한 이웃 구조, 그리고 병렬 구현을 통해 실행 속도와 해의 품질을 더욱 향상시킬 수 있을 것으로 기대된다.