결정적 설계와 보장: 토플리츠 압축 센싱 행렬 및 시퀀스 설계

본 논문은 압축 센싱(Compressed Sensing, CS)과 선형 시스템 식별 분야에서 핵심적인 문제인 제한등비성질(RIP)을 만족하는 토플리츠(Toeplitz) 구조의 행렬을 결정적으로 설계하는 방법을 제시한다. 기존 연구에서는 주로 확률적 행렬(가우시안, 베르누이 등)이 RIP를 보장한다는 것이 알려져 있었으며, 최근에야 결정적 시퀀스 기반 설계가 시도되었다. 그러나 시스템 식별, 특히 FIR(유한 임펄스 응답) 모델의 파라미터 추정에서는 입력 신호와 시스템 응답의 컨볼루션 형태를 그대로 행렬화한 토플리츠 구조가 필수적이다. 토플리츠 행렬은 필터링 연산과 동일하므로 구현이 빠르고 메모리 요구가 적으며, 실제 통신·제어 시스템에 바로 적용할 수 있다. 따라서 토플리츠 행렬이 RIP를 만족하도록 하는 것이 실용적인 시스템 식별에 매우 중요하다. 논문은 먼저 ‘고차 차프(Higher‑Order Chirp)’ 시퀀스를 정의한다. 구체적으로 \(u(t)=\exp\big(j2\pi\alpha t^{3}\big),\; t=0,1,2,\dots\) 형태이며, 여기서 \(\alpha\)는 무리수이다. 무리수 선택에 대한 이론적 근거는 연속분수와 디오판틴 근사 이론을 활용한다. 연속분수 전개 \(\alpha=