3계 컴퓨탐은 카테시안 폐쇄가 아니다

이 논문은 고차원 컴퓨탐 범주의 구조적 한계를 밝히는 데 초점을 맞춘다. 먼저, 컴퓨탐은 ω‑카테고리 중 각 차원에서 자유롭게 생성된 객체들의 집합으로, n‑컴퓨탐은 n‑카테고리의 비전완 부분범주(Compₙ)와 그에 대응하는 ‘컴퓨탐까지’(CCatₙ) 사이의 adjunction을 통해 정의된다. 구체적으로, 망각 함자 Uₙ: CCatₙ → Compₙ와 자유 생성 함자 Fₙ: Compₙ → CCatₙ 사이에 Uₙ ⊣ Fₙ가 존재하고, Compₙ는 Fₙ의 본질적 이미지(비전완)로 구성된다. 특히 0‑컴퓨탐은 집합 범주 Set과 동일하고, 1‑컴퓨탐은 자유 카테고리(그래프 위의 자유 범주)이며, 2‑컴퓨탐은 그래프에 2‑indet을 추가한 자유 2‑카테고리이다. 2‑컴퓨탐의 단말 객체 1₂는 0‑indet 하나와 1‑indet 하나(자기동형)만을 가지고, 2‑indet은 모든 문자열 쌍 ω×ω에 대응한다. 이 구조는 2‑컴퓨탐이 프레시베 범주라는 기존 주장과 일치한다. 논문의 핵심은 3‑컴퓨탐(Comp₃)이 카테시안 폐쇄가 아니라는 것을 보이는 것이다. 이를 위해 평행쌍 함자 Π₂: Comp₂ → Set↓Π₂(1₂) 를 도입한다. Π₂는 각 2‑컴퓨탐 A에 대해 A의 2‑indet 쌍을 집합으로 반환한다. Π₂는 두 단계로 분해될 수 있는데, 첫 번째는 Comp₂ → Set↓Π₂(1₂) 로의 사상 cΠ₂, 두 번째는 Set↓Π₂(1₂) → Set 로의 투사 Σ이다. cΠ₂가 이진곱을 보존하지 않으면, Set↓Π₂(1₂) 가 카테시안 폐쇄가 아니므로 Comp₃ 역시 카테시안 폐쇄가 될 수 없다는 논리 전개가 가능하다. 이를 증명하기 위해 두 2‑컴퓨탐 A와 B를 구성한다. A와 B는 각각 동일한 0‑셀과 1‑셀을 가지고, 두 개의 독립적인 2‑indet a₁,a₂ (또는 b₁,b₂)를 갖는다. Eckmann‑Hilton 논법에 의해 A와 B의 모든 2‑셀은 a₁ⁿ∘a₂ᵐ (또는 b₁ⁿ∘b₂ᵐ) 형태로 자유롭게 결합된다. 그 다음 A×B의 2‑indet은 (aᵢ,bⱼ) 쌍들의 곱이며, 이들의 2‑셀은 네 가지 기본 조합 a₁·b₁, a₁·b₂, a₂·b₁, a₂·b₂의 자유적 조합으로 이루어진다. 여기서 중요한 점은 (a₁,b₁)∘(a₂,b₂)와 (a₁,b₂)∘(a₂,b₁)라는 두 2‑셀이 서로 다른 원소임에도 불구하고, Π₂를 적용한 뒤 두 투사 π_A와 π_B 로 보면 각각 a₁∘a₂와 b₁∘b₂라는 동일한 결과를 낸다. 즉, Π₂는 이 두 서로 다른 2‑셀을 구별하지 못한다. 이는 Π₂가 이진곱을 보존하지 않는다는 직접적인 반례가 된다. cΠ₂가 이진곱을 보존하지 않음이 확인되면, Comp₃ ≅ Set↓Π₂(1₂) 가 카테시안 폐쇄가 아니라는 결론에 도달한다. 이어서, n>2인 모든 n‑컴퓨탐 범주 Compₙ와 전체 컴퓨탐 범주 Comp 역시 1₃(Comp₃의 단말 객체) 위의 슬라이스가 Comp₃와 동형이므로 카테시안 폐쇄가 아니며, 따라서 로컬 카테시안 폐쇄도 성립하지 않는다. 이는 이전에 제시된 ‘Compₙ는 프레시베 범주이다’라는 주장과 모순된다. 결과적으로, 3‑계 이상에서 자유적인 고차원 컴퓨탐 구조는 카테시안 폐쇄성을 갖지 않으며, 이는 고차원 범주 이론에서 프레시베 성질이 일반적으로 유지되지 않음을 보여준다. 이 발견은 고차원 대수적 구조를 다루는 연구자들에게 중요한 경고가 되며, 향후 고차원 토포스 이론이나 고차원 논리 체계 구축 시 카테시안 폐쇄성을 가정하는 접근을 재검토해야 함을 시사한다.