최적 q진법 상수 가중치 3·거리 4 코드의 완전 해답

본 논문은 상수 가중치 q‑진법 코드 A_q(n;d;w)의 최대 크기 문제를 다루며, 특히 w=3, d=4인 경우에 초점을 맞춘다. 서론에서는 이러한 코딩 문제가 비이진 채널, DNA 컴퓨팅 등 다양한 실용 분야에서 중요함을 언급하고, 기존 연구에서 q=3에 대해 완전한 해를 제시했으며, q>3에 대해서는 n이 0,1,2,3(mod 6) 혹은 n≡4(mod 6)·2≤q≤n인 경우에만 최적값이 알려졌다고 정리한다. 그러나 n≡5(mod 6)·2≤q≤n와 n=q≡5(mod 6)에서는 아직 해가 미정이었다. II. 정의 및 표기에서는 기본적인 집합, q‑진법 Hamming 공간, 상수 가중치 코드, t‑균형 설계(t‑BD) 및 대규모 집합(large set)의 개념을 정리한다. 특히 LS(t;(k;K);n)의 정의와 Teirlinck가 제시한 존재 정리를 인용한다. III. ‘구멍이 있는 대규모 집합’ 섹션에서는 Teirlinck의 LS(2;(3;{3,5});n) 구조를 활용한다. n≡5(mod 6)인 경우, 각 2‑BD는 정확히 하나의 5‑블록을 포함하고, 나머지는 3‑블록으로 구성된다. 이러한 구조를 이용해 코드워드의 지원(support) 집합을 블록으로 매핑하고, 각 블록이 서로 겹치지 않도록 설계한다. 또한, q를 n보다 작거나 같은 경우에 대해 q‑진법 알파벳을 적절히 배분하여 (q−1)n/3개의 코드워드를 얻는다. 거리 4는 두 코드워드의 지원이 겹치더라도 값이 달라지는 성질을 이용해 보장한다. 이 과정을 통해 Theorem 2를 증명하고, n≡5(mod 6)·2≤q≤n에 대해 A_q(n;4;3)=U_q(n)임을 확립한다. Corollary 1에서는 n≡4(mod 6)·2≤q≤n인 경우를 기존 최적 코드에 한 좌표를 제거(shortening)하는 방식으로 다루어, 동일한 상한을 달성함을 보인다. 이때 비어 있지 않은 좌표의 개수를 분석해 충분히 많은 코드워드를 유지한다는 점을 수학적으로 증명한다. IV. n=q인 경우, 즉 코드 길이와 알파벳 크기가 같은 경우를 다룬다. 기존 연구