검열된 지수표본을 이용한 강도‑스트레스 신뢰도 추정

본 논문은 강도 X와 스트레스 Y가 각각 서로 독립적인 지수분포 Exp(α)와 Exp(β)를 따를 때, 시스템의 신뢰도 R = P(Y < X) 를 Type II 검열 데이터로부터 추정하는 문제를 다룬다. 검열은 고정된 실패 수 r₁(강도)와 r₂(스트레스)를 관측하고, 나머지 n − r₁, m − r₂ 개는 검열된(관측되지 않은) 값으로 남는다. 1. **모수 추정 및 MLE** - 강도 표본 X₁,…,X_{r₁}와 검열값 X_{r₁}에 대해 로그우도식을 전개하고, α에 대한 편미분을 0으로 두어 α̂ = (∑_{i=1}^{r₁} x_i + (n − r₁) x_{r₁})/r₁ 를 얻는다. - 스트레스에 대해서도 동일하게 β̂ = (∑_{j=1}^{r₂} y_j + (m − r₂) y_{r₂})/r₂ 를 구한다. - 따라서 MLE 신뢰도 추정량은 ˆR₁ = α̂/(α̂+β̂) 이다. - 편향과 일치성에 대해 r₁ = r₂와 r₁≠r₂ 두 경우를 구분하여 기대값과 분산을 명시적으로 도출하고, r→∞ 일 때 ˆR₁이 무편향·일치함을 증명한다. 2. **UMVUE(균일 최소분산 불편추정량)** - 로그 변환 z_i = ln x_i, v_j = ln y_j 를 도입하고, Z = ∑_{i=1}^{r₁} z_i, V = ∑_{j=1}^{r₂} v_j 가 각각 α, β에 대한 완전충분통계량임을 보인다. - 지시함수 W = I(v₁ < z₁) 은 R의 불편추정량이며, Rao‑Blackwell 정리를 적용해 ˆR₂ = E