A rigorous evaluation of the intermittence in the logistic map using lower bound error

This article investigates the maximum time of simulation in which the phenomenon of the intermittence can be observed with numerical confidence in discrete maps. Interval analysis and the lower error limit were used. As a result, it was observed that…

Authors: Marcella N. R. Oliveira, Erivelton G. Nepomuceno

A rigorous evaluation of the intermittence in the logistic map using   lower bound error
DINCON 2017 CONFER ˆ ENCIA BRASILEIRA DE DIN ˆ AMICA, CONTR OLE E APLICAC ¸ ˜ OES 30 de outubro a 01 de no v em bro de 2017 – S˜ ao Jos ´ e do Rio Preto/SP Uma a v alia¸ c˜ ao rigorosa da in termit ˆ encia no mapa log ´ ıstico p or meio do limite inferior do erro Marcella Nath´ alia Resende de Oliv eira 1 Eriv elton Geraldo Nep om uceno 2 Departamen to Engenharia El ´ etrica, UFSJ, S˜ ao Jo˜ ao del-Rei, MG, Grup o de Con trole e Mo delagem, GCOM Resumo . Este artigo in vestiga o tempo m´ aximo de simula¸ c˜ ao em que o fenˆ omeno da in termit ˆ encia p ode ser observ ado com confian¸ ca num ´ erica em mapas discretos. F oram em- pregados conceitos de an´ alise interv alar e o limite inferior do erro. Como resultado, foi observ ado que a confiabilidade da in termit ˆ encia ´ e dep enden te da condi¸ c˜ ao inicial. Quatro exemplos n um ´ ericos mostram a efici ˆ encia da prop osta. P ala vras-c hav e . Mapa log ´ ıstico, Intermit ˆ encia, Aritm´ etica Interv alar, Limite inferior do erro. 1 In tro du¸ c˜ ao Sistemas dinˆ amicos s˜ ao mo delos matem´ aticos para muitos problemas na f ´ ısica, biologia, economia e engenharia. Den tre os in ´ umeros tip os de sistemas, os sistemas ca´ oticos ev oluem no dom ´ ınio do temp o com um comp ortamen to ap eri´ odico, em que seu estado futuro ´ e extremamen te dependente do estado atual [9]. Uma parcela significativ a da in v estiga¸ c˜ ao sobre sistemas dinˆ amicos ´ e realizada p or meio de sim ula¸ c˜ oes computacionais. Ho je, existe a p ercep¸ c˜ ao de que se vive uma era cuja capacidade computacional ´ e ilimitada, po dendo atingir precis˜ oes arbitr´ arias. A realidade, p or ´ em, n˜ ao ´ e b em assim. A limita¸ c˜ ao de mem´ oria se torna um emp ecilho para o c´ alculo com precis˜ ao infinita, mesmo com o uso de simula¸ c˜ ao simb´ olica. Conforme indicado em [7], existem muitos trabalhos publicados em que a confiabilidade dos resultados num ´ ericos n˜ ao ´ e cuidadosamente v erificada. Na inv estiga¸ c˜ ao de alguns destes problemas, Lorenz [6] cunhou o termo “caos computacional”enquanto estudav a o comp ortamen to ca´ otico de equa¸ c˜ oes diferenciais usadas para apro ximar um sistema cont ´ ın uo represen tado p or um conjun to de equa¸ c˜ oes diferenciais quando o tamanho do passo ´ e aumentado. Nep om uceno [10] apresentou um estudo em um dos soft w ares mais utilizados na ´ area de p esquisa de 1 marcella.oliv eeira@hotmail.com 2 nepum uceno@ufsj.edu.br 2 Iden tifica¸ c˜ ao de Sistemas, o Matlab, utilizando precis˜ ao dupla, no qual uma sequˆ encia simples de itera¸ c˜ oes conv ergiu para a resp osta errada. Em con tin uidade aos trabalhos dessa linha, Rodrigues J ´ unior e Nep omuceno [14] utilizam an´ alise interv alar para repro duzir os mesmos resultados obtidos em [10], mostrando mais uma vez que o c´ alculo dos p ontos fixos po de exigir cuidadosa aten¸ c˜ ao no que se refere ` a computa¸ c˜ ao n um ´ erica. O prop´ osito deste estudo ´ e trabalhar com sistemas que apresentam comp ortamen to in termiten te - ora regular, ora ca´ otico [4, 13]. Boa parte da p esquisa que en v olv e inter- mit ˆ encia faz uso de simula¸ c˜ ao computacional para repro duzir resultados num ´ ericos rele- v an tes. Entretan to, p ouca aten¸ c˜ ao tem sido dada para o temp o m´ aximo de simula¸ c˜ ao em que o fenˆ omeno da intermit ˆ encia p o de ser observ ado. Neste trabalho, a busca p ela indica¸ c˜ ao desse temp o ser´ a guiada p elo limite inferior do erro [11]. T am b ´ em ser´ a feita uma an´ alise da influ ˆ encia da condi¸ c˜ ao inicial na observ a¸ c˜ ao deste fenˆ omeno. O artigo est´ a organizado da se guin te forma. Na Se¸ c˜ ao 2, apresenta-se os conceitos preliminares a resp eito de fun¸ c˜ ao recursiv a e mapa log ´ ıstico, o limite inferior do erro (lo w er b ound error) e p on to fixo. Em seguida, na Se¸ c˜ ao 3, a meto dologia ´ e apresentada. Os resultados s˜ ao apresen tados na Se¸ c˜ ao 4, enquanto as considera¸ c˜ oes finais s˜ ao indicadas na Se¸ c˜ ao 5. 2 Conceitos Preliminares 2.1 Mapa Log ´ ıstico Inicialmen te, as fun¸ c˜ oes recursiv as p o dem ser definidas da seguinte forma, de acordo com [10]: seja I ⊆ R um espa¸ co m ´ etrico com f : I − → R tem-se que: x n = f ( x n − 1 ) . (1) O mapa log ´ ıstico foi descrito p elo bi´ ologo May [8]. ´ E uma equa¸ c˜ ao que ao ter seus parˆ ametros v ariados, apresen ta um comp ortamen to diferenciado. O Mapa Log ´ ıstico foi descrito como: x n +1 = r x n (1 − x n ) . (2) A Equa¸ c˜ ao (2) foi desenv olvida como um mo delo p opulacional, com x n sendo um n ´ umero entre 0 e 1 que represen ta a raz˜ ao entre a p opula¸ c˜ ao existente na n-´ esima gera¸ c˜ ao e o maior n ´ umero p oss ´ ıv el de indiv ´ ıduos e r como sendo uma taxa de crescimento da p opula¸ c˜ ao. Escolhendo um v alor para o parˆ ametro r e iterando recursiv amente o mapa a partir de uma condi¸ c˜ ao inicial x 0 , obt ´ em-se uma s ´ erie temp oral da equa¸ c˜ ao do mapa log ´ ıstico. T rata-se, en t˜ ao, de um exemplo de fun¸ c˜ ao recursiv a, capaz de repro duzir o comp or- tamen to de fenˆ omenos n˜ ao-lineares. A Equa¸ c˜ ao (2) c hama aten¸ c˜ ao p or ser um mo delo bastan te simples, mas capaz de se comp ortar de maneira complexa. ´ E extremamente sens ´ ıvel mesmo com p equenas v aria¸ c˜ oes das condi¸ c˜ oes iniciais ou do n ´ umero de itera¸ c˜ oes tomadas. Dessa forma, os erros s˜ ao inerentes ao pro cesso quando pro cura-se conhecer o comp ortamen to para infinitas itera¸ c˜ oes. 3 2.2 P on to Fixo A partir da itera¸ c˜ ao subsequen te de (1), ´ e p oss ´ ıvel gerar s´ eries de temp o discreto. A escolha de f define o comp ortamen to da s´ erie gerada: p on to fixo de p er ´ ıodo 1 ou maior ou comp ortamen to ca´ otico. Segundo [1], se f ( x ∗ ) = x ∗ , ent˜ ao considera-se que x ∗ ´ e um p on to fixo de f ( x ). O princ ´ ıpio de map eamen to da contra¸ c˜ ao ´ e um meio simples para encon trar o p on to fixo a partir de uma condi¸ c˜ ao inicial com um n ´ umero x 0 arbitr´ ario e da defini¸ c˜ ao da sequˆ encia x n p or x n = f ( x n − 1 ) [15, 2]. Se essa sequˆ encia for conv ergente, en t˜ ao x n → x ∗ ` a medida em que n → ∞ . 2.3 Limite Inferior do Erro O limite inferior do erro (low er bound error) ser´ a utilizado para observ a¸ c˜ ao do erro ineren te ` a simula¸ c˜ ao. Isso ser´ a um indicativo de que a simula¸ c˜ ao p o de gerar intermit ˆ encia de modo equiv o cado. Ser´ a indicado na meto dologia que uma forma de ter certeza disso ´ e quando utiliza-se x 0 = 1 /r . O resultado final deveria ser o p onto fixo, mas p or fim gera in termit ˆ encia. Defini¸ c˜ ao 1. Sejam duas pseudo-´ orbitas ˆ x a,n e ˆ x b,n derivadas de duas extens˜ oes interva- lar es. δ α,n = | ˆ x a,n − ˆ x b,n | 2 (3) ´ e o limite inferior do err o do map a f ( x ) quando δ a,n ≥ δ α,n ou δ b,n ≥ δ α,n , em que δ a,n e δ b,n s˜ ao os erros referen tes a cada pseudo-´ orbita. Considerando a equa¸ c˜ ao do mapa log ´ ıstico, foram obtidas duas pseudo-´ orbitas de- riv adas da Equa¸ c˜ ao (2) - apresen tadas a seguir. Elas s˜ ao equa¸ c˜ oes matematicamente equiv alen tes, mas diferen tes do ponto de vista da representa¸ c˜ ao em p on to flutuante. Isso significa que duas sequˆ encias matematicamen te equiv alentes de opera¸ c˜ oes aritm ´ eticas p o- dem lev ar a dois resultados diferentes, devido ` as propriedades da aritm ´ etica real que n˜ ao s˜ ao totalmen te v´ alidas na aritm´ etica de ponto flutuante [12, 5]. x a ( k + 1) = r · x a ( k ) − r · ( x a ( k )) 2 ; (4) x b ( k + 1) = r · x b ( k ) · (1 − x b ( k )) . (5) 3 Meto dologia Dada a equa¸ c˜ ao x n +1 = r x n (1 − x n ), que descreve o mapa log ´ ıstico, ´ e p oss ´ ıv el observ ar o crescimento do erro na sua sim ula¸ c˜ ao e a v aliar rigorosamen te se ´ e p oss ´ ıv el ou n˜ ao garan tir a existˆ encia de in termitˆ encia com a precis˜ ao computacional utilizada. Os passos para isso s˜ ao: 1. Determina¸ c˜ ao das extens˜ oes in terv alares - Equa¸ c˜ oes (4) e (5); 4 2. Determina¸ c˜ ao do conjunto de parˆ ametros r e condi¸ c˜ oes iniciais a serem a v aliados. Neste caso ser´ a utilizado o parˆ ametro r = 3 , 8283 e quatro condi¸ c˜ oes iniciais diferen tes x 0 = 0 , 3 [9], x 0 = 1 /r , x 0 = 300 / 341 e x 0 = 1904 / 6365. F oi feita uma busca heur ´ ıstica p or condi¸ c˜ oes iniciais que pudessem comprov ar a existˆ encia de regimes ca´ oticos e regulares em uma mesma janela de temp o; 3. C´ alculo do limite inferior do erro: δ α,n = | ˆ x a,n − ˆ x b,n | 2 ; 4. An´ alise qualitativ a das duas pseudo-´ orbitas; 5. C´ alculo do tempo m´ aximo de simula¸ c˜ ao. A partir deste pro cedimen to esp era-se determinar at´ e que p on to existe ou n˜ ao inter- mit ˆ encia e at ´ e quan tas itera¸ c˜ oes isso o corre. 4 Resultados Os resultados obtidos com a sim ula¸ c˜ ao do mapa log ´ ıstico para o parˆ ametro r = 3 , 8283 e a condi¸ c˜ ao inicial x 0 = 0 , 3 s˜ ao apresen tados nas Figuras 1 e 2. Figura 1: Sim ula¸ c˜ ao de (2), com parˆ ametro r = 3 , 8283 e x 0 = 0 , 3. Figura 2: Ev olu¸ c˜ ao do erro da simula¸ c˜ ao de (2), com parˆ ametro r = 3 , 8283 e x 0 = 0 , 3. Os resultados obtidos com a sim ula¸ c˜ ao do mapa log ´ ıstico para o parˆ ametro r = 3 , 8283 e a condi¸ c˜ ao inicial x 0 = 1 /r s˜ ao apresen tados nas Figuras 3 e 4. Os resultados obtidos com a sim ula¸ c˜ ao do mapa log ´ ıstico para o parˆ ametro r = 3 , 8283 e a condi¸ c˜ ao inicial x 0 = 300 / 341 s˜ ao apresen tados nas Figuras 5 e 6. ´ E observ ado que logo no primeiro regime laminar (regular) para uma das extens˜ oes in terv alares, a outra ainda con tinua com comp ortamen to ca´ otico. Os resultados obtidos com a sim ula¸ c˜ ao do mapa log ´ ıstico para o parˆ ametro r = 3 , 8283 e a condi¸ c˜ ao inicial x 0 = 1904 / 6365 s˜ ao apresen tados nas Figuras 7 e 8. ´ E observ ado que logo no primeiro regime laminar (regular) para uma das extens˜ oes in terv alares, a outra ainda con tinua com comp ortamen to ca´ otico. O mesmo fato foi observ ado na Figura 5. P ela an´ alise das simula¸ c˜ oes, ´ e p oss ´ ıvel observ ar que o comp ortamen to intermiten te ´ e dep enden te de x 0 , ou seja, ele se apresenta de diferentes formas quando a condi¸ c˜ ao inicial ´ e modificada. Al ´ em disso, p erceb e-se que ele se apresen ta na forma de erro n um ´ erico ou 5 Figura 3: Sim ula¸ c˜ ao de (2), com parˆ ametro r = 3 , 8283 e x 0 = 1 /r . Figura 4: Ev olu¸ c˜ ao do erro da simula¸ c˜ ao de (2), com parˆ ametro r = 3 , 8283 e x 0 = 1 /r . Figura 5: Sim ula¸ c˜ ao de (2), com parˆ ametro r = 3 , 8283 e x 0 = 300 / 341. Figura 6: Ev olu¸ c˜ ao do erro da simula¸ c˜ ao de (2), com parˆ ametro r = 3 , 8283 e x 0 = 300 / 341. inconsist ˆ encia matem´ atica quando a in terse¸ c˜ ao entre os interv alos de itera¸ c˜ oes consecutiv as ´ e diferente de conjun to v azio e, dessa forma, n˜ ao se p ode afirmar que s˜ ao resultados diferen tes. O temp o m´ aximo de sim ula¸ c˜ ao em que o fenˆ omeno da in termit ˆ encia po de ser observ ado est´ a relacionado ` a o corr ˆ encia de p erda de d ´ ıgitos significativos ao longo das itera¸ c˜ oes e gera¸ c˜ ao de resultados pro vidos de erro [3, 12]. Assim, uma v ez que a sim ula¸ c˜ ao de equa¸ c˜ oes matem´ aticas equiv alentes gera resultados alternadamen te laminares e ca´ oticos, a confiabilidade da sim ula¸ c˜ ao ´ e afetada. 5 Conclus˜ ao De fato, como foi visto, a condi¸ c˜ ao inicial x 0 ´ e um elemen to que influencia considerav el- men te a presen¸ ca de intermit ˆ encia no sistema. Al´ em disso, o temp o m´ aximo de simula¸ c˜ ao em que o fenˆ omeno da in termit ˆ encia p o de ser observ ado est´ a relacionado ` a o corr ˆ encia de p erda de d ´ ıgitos significativos ao longo das itera¸ c˜ oes e gera¸ c˜ ao de resultados providos de erro. Assim, uma vez que a simula¸ c˜ ao de equa¸ c˜ oes matem´ aticas equiv alentes gera resulta- dos alternadamen te laminares e ca´ oticos, n˜ ao se p ode afirmar que s˜ ao resultados diferentes e a confiabilidade da sim ula¸ c˜ ao ´ e afetada. Ao longo dos pro cessos hist´ oricos da ci ˆ encia e da engenharia, a computa¸ c˜ ao n um´ erica receb e grande aten¸ c˜ ao p or ter se tornado uma po derosa ferramen ta para resolu¸ c˜ ao num ´ erica de problemas matem´ aticos. Por outro lado, ap esar de sua importˆ ancia para a infraestru- tura cient ´ ıfica moderna e de apresentar resultados satisfat´ orios e m uito pr´ oximos dos 6 Figura 7: Sim ula¸ c˜ ao de (2), com parˆ ametro r = 3 , 8283 e x 0 = 1904 / 6365. Figura 8: Ev olu¸ c˜ ao do erro da simula¸ c˜ ao de (2), com parˆ ametro r = 3 , 8283 e x 0 = 1904 / 6365. esp erados, a computa¸ c˜ ao num ´ erica ainda est´ a longe de ser uma ferramenta que disp oni- biliza resultados totalmente de acordo com a realidade. Isso acontece devido ` a limita¸ c˜ ao de mem´ oria da m´ aquina, que se torna um emp ecilho para o c´ alculo com precis˜ ao infi- nita e, consequen temen te, interfere na resp osta do sistema. Dessa forma, a compro v a¸ c˜ ao de resultados obtidos p or meio da aritm´ etica computacional, p erpassa, antes de tudo, o en tendimen to sobre como o computador lida com as opera¸ c˜ oes matem´ aticas e arredonda- men tos. 6 Agradecimen tos Agradecemos ao CNPq/INERGE, ` a Universidade F ederal de S˜ ao Jo˜ ao del-Rei e aos mem bros do grup o de controle e mo delagem (GCOM) p elo ap oio. Refer ˆ encias [1] Mittc hel J Mitc hell J. F eigen baum. Quantitati v e univ ersality for a class of nonlinear transformations. Journal of Statistic al Physics , 19(1):25–52, 1978. [2] William Leonard F errar. A T ext-b o ok of Conver genc e . The Clarendon Press, 1938. [3] D. Goldb erg. What every computer scientist should know ab out floating-p oin t arith- metic. Computing Surveys , 23(1):5–48, March 1991. 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