math-ph 2012-06-28 2

Finite element solution of multi-scale transport problems using the least squares based bubble function enrichment

This paper presents an optimum technique based on the least squares method for the derivation of the bubble functions to enrich the standard linear finite elements employed in the formulation of Galerkin weighted-residual statements. The element-leve…

Authors: A. Yazdani, V. Nassehi

Finite element solution of multi-scale transport problems using the least squares based bubble function enrichment
1 Finite element solution of multi-scale transport problems using the least squares based bubble function enrichment A. Yazdani a , V. Nassehi b1                 Abstract                                                                                                                                                       Keywords:         1. Introduction                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    1 Corresponding author: V.Nassehi@l boro.ac.uk (V. N assehi). 2                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             2. Residual free b ubble funct ions                                                                                                                                                                                      !    "     #  $ % &  #  $ % & '% "        (    # ) $ ) &                                   "                  ' "                                                           3  *                       +                                    %   %  $  ,      #      $ %  &  #      $ %  &  #  $ %  &  #  $ %  & -%    %  "   .    /               #      $ %  &  #  $ %  & '%  "           0                1  2  3 2  4 2   3 5  267      8    3  4                               2      3. Least squares bubble funct ion for one-dimensi onal transport m odel                                                                                                                                                                                                                   9:  # ; < $ = &  >                       * 9  ??  ; ?  >   .      @ A   B   C .        D                      E    F G   GH7   G     I J  7 J K J  G J  L     M  A N A E         M   O G  P G A  GH7 Q    R        G F G  GH7   GH7   F G  G  S TAG         U     S TAG     V G W  GH7   X    G               O G    G    G     G H7    GH7            S TAG                    O G      V G            4                                  PA F Q     R G     F   F    F F   V G   F         Y     Z   O G         Z  (9V G  ; [      I F  V G  F  (  \  > ]^ F   F  I _   F   V G   F    ` )             V G    a Z  b  Z T  I            a Z         V G        a Z V G  b ( Z  I  Z V G )      (               V G                       V G     V G  0 ( [  > T F c  (9>F      I   (/9;      I  > T F d  (9>F c  ; T F c  (9 T F \ )    +    V G    e f f g f f h  R G     F   F   i  S    F          F   i  S    F      F  i  0 ( [  > T F c  (9>F  > T F d  (9>F c  ; T F c  (9 T F \   S  0 ( ^ (/9; > T F d  (9>F c  ; T F c  (9 T F _      /         j         b j    9 R G ??    ; R G ?   >  R G   I )     0        9 b j A     R G ?   I  ; b j     R G ?   I  > b j     R G   I  9 kj  R G ? l I    8      m j I     E n     F   F   i  S  F    j I     E nn      F   i  S    F       5        o p p p q 9 b E n A E n A   I  ; b E n E n A   I  > b E n E n   I 9 b E nn A E n A   I  ; b E nn E n A   I  > b E nn E n   I 9 b E nn A E n A   I  ; b E nn E n A   I  > b E nn E n   I 9 b E nn A E nn A   I  ; b E nn E nn A   I  > b E nn EO n   I r s s s t u  I   v  w 9  E n 3 !  I  9  E nn 3 !  I  x   D    3                                       u y z { | v u  n  nn v  u } n } nn v    y  +9  >F T  0;F  >F ~ i  S T  0>F   i  S   9F  i  S T +F  z  89  >F T  +;F  (>F ~  i T  S T   >F  i  (;F c i  (9F  i T  S T  8F {  89  >F T  +;F  (>F ~  i T  S T   >F  i  (;F c i  (9F  i T  S T  8F |  +9  >F T  0;F  >F ~ i  S T  0>F   i  S   9F  i  S T +F     U          A A  A                                                       R G     F   F       F   F   V G   F      G  T  F        Y          V G   F  [ F  >      8 I   /F d > c 9     + I   DF d > T ; T     ( I   8F  > T ;9  +   (( I  F  >   0(F ~ > T  ; T  (>9   F   /+(> T 9 T  8U>; T 9  /(;    F T 9 T  0/; T  8/U>9   +(/9  \  [ U/F c > T 9 T  0   8 I   U/F c >9; T     / I   0/F T 9 T ;>     8 I   (0(F T ; c 9      I  F  >   0(F ~ > T  ; T  (>9   F   /+(> T 9 T  8U>; T 9  /(;    F T 9 T  0/; T  8/U>9   +(/9  \  [ 0/F>9 c     ( I   (0(F; T 9 T      I   0(;9 c      I  F  >   0(F ~ > T  ; T  (>9   F   /+(> T 9 T  8U>; T 9  /(;    F T 9 T  0/; T  8/U>9   +(/9  \         G  D F  [ F ~ >       I   UF  > c 9      I   F  > T ; T      I   +F c > T ;9      I  F  >   0(F ~ > T  ; T  (>9   F   /+(> T 9 T  8U>; T 9  /(;    F T 9 T  0/; T  8/U>9   +(/9  \  [ +(F T > T 9 T      I   8F T >9; T      I   +8F9 T ;>      I   (0(F T ; c 9      I  F  >   0(F ~ > T  ; T  (>9   F   /+(> T 9 T  8U>; T 9  /(;    F T 9 T  0/; T  8/U>9   +(/9  \  [ D(>9 c      I   D(; T 9 T      I  F  >   0(F ~ > T  ; T  (>9   F   /+(> T 9 T  8U>; T 9  /(;    F T 9 T  0/; T  8/U>9   +(/9  \             A  A                                                                               6 4. Least squares bubble funct ion for a transient model                                                                          e g h    9  T   T         A        A       A    A    A BA         (           PA BQ .       R G  A    @ 7AG   F  V  F      @ TAG  F   F  V  F        (     M -th                                        9  ??                     V  0 ( [ F T  (9 F   (9F T  (9 T \ )      ((        j      b j [  R G   9  T  R G  T   R G \  I       (+         b [ j  R G   9 j   R G   j R G \  I   9 *j  R G   I       (/      j I        VF      j 7        VF                        o p p q V T F ~  0VF   F T +F V T F ~  0VF   0F T +F V T F ~  0VF   0F T +F V T F ~  0VF   F T +F r s s t  @ 7AG A  @ 7AG @ TAG A  @ TAG   o p p q 9V T F   + +F 9V T F   + +F 9V T F   + +F 9V T F   + +F r s s t u @ 7AG @ TAG v  o p p q 9 *  R G   I  9 *  R G   I  r s s t )  (0     7 e f f f f g f f f f h u     v  @ 7AG A  @ 7AG @ TAG A  @ TAG   u E   E v u @ 7AG @ TAG v  u } n } nn v   V T F ~  0VF   F T +F     V T F ~  0V F   0F T +F   E  9V T F   + +F     9 V T F   + +F       (8        o p p p p q     K   (   K    (  K        r s s s s t o p p p p q @ 7A7 A  @ 7A7 @ TA7 A  @ TA7   @ 7A A  @ 7A @ TA A  @ TA r s s s s t  o p p p p q E    K   (E   K    (  K       E r s s s s t o p p p p q @ 7A7 @ TA7   @ 7A @ TA r s s s s t  o p p p p q } n     }  r s s s s t )   (D           A        BA                      5. Numerical resu lts                       m    ??    .  PAQ      + ( A                   (U            + ( [                                    \ )    (Y                                                                              V G  (0  (0F T  +  (0F   0F T  +      I  )     +                                              8   Figure 1                               e g h     T   T         A        A        A    -   A           +          A        (    PA  Q                 R   A    m (    ()(8  -  " u A  ( v (         ()(8  - " u  ( A v       +(                                    9     ;         R Z   A    m  (   )(8  (     ()+  -   " uA  ( v  (       )(8         (   ()+  - " u  ( A v     ++                                              9 Table 1           A      ¡ ¢   A      ¡ £   A      0 0 0  8 ¤ 0.195 0.180 0.125 (  8 ¤ 0.382 0.345 0.25 +  8 ¤ 0.555 0.494 0.375 /  8 ¤ 0.707 0.627 0.5 0  8 ¤ 0.831 0.744 0.625 8  8 ¤ 0.923 0.845 0.75 D  8 ¤ 0.980 0.930 0.875 U  8 ¤ 1 1 1 Y  8 ¤ 0.980 0.930 0.875   8 ¤ 0.923 0.845 0.75   8 ¤ 0.831 0.744 0.625 (  8 ¤ 0.707 0.627 0.5 +  8 ¤ 0.555 0.494 0.375 /  8 ¤ 0.382 0.345 0.25 0  8 ¤ 0.195 0.180 0.125  0 0 0       Table 2      ¥¦ §   W   ¥¦ § ¤ A  X      ¡ ¢ W   ¥¦ § ¤ A  X      ¡ £ W   ¥¦ § ¤ A  X     0 0.382 0.345 0.25 0.1 0.313 0.281 0.200 0.2 0.256 0.230 0.160 0.3 0.210 0.187 0.128 0.4 0.171 0.153 0.103 0.5 0.140 0.125 0.082 0.6 0.115 0.102 0.066 0.7 0.094 0.083 0.053 0.8 0.077 0.067 0.042 0.9 0.063 0.055 0.034 1 0.051 0.045 0.027      10     Figure 2                                        6. Multi-dimensio nal least squar es bubble funct ion enrichment                                                                                                                                                                                e f g f h  ¨   T   T j-  A ¨  " P A B Q  PA ©Q   A ¨       A -     B ¨     A ¨   -¨     A B      +/                S  A ¨   ª ª   B «    F    ¨ «   ¨ ¬ «67 L 67      . 2AG  P A F Q  PA Q        R 2AG  A ¨   F   F )   ¨    A   F   F ) ¨    A     F )   ¨    FA     F ) ¨    FA    V 2AG ¨  F      ¨   +0       11  a Z    T ¨ ® ,       +8      ¯ ° ± ¡ ²A³ ¯ °  ¯± ¡ ²A³ ¯´   ¯µ ¯¶ ²A³       V  0  A     A      FA      FA    F   ( T       +D           7. Discussion and con clusion                                                                                                                                                                                        Acknowledgement        References                                                                                                                                                            b=∫ g                                                    12                                                                                                                                                        

Original Paper

Loading high-quality paper...

Comments & Academic Discussion

Loading comments...

Leave a Comment