Dualite de Van den Bergh et Structure de Batalin-Vilkovisky sur les alg`ebres de Calabi-Yau

Dualit´ e de V an den Bergh et Structure de Batalin-Vilk o viski ˇ ı sur les alg` ebres de Calabi-Y au Thierry Lam bre 1 R ´ esum ´ e : Nous mon trons que la notion de calcul de T amarkin-Tsygan ` a dualit ´ e p ermet de construire d es structures de Bat alin-Vilk o viski ˇ ı dans un cadre g ´ en ´ eral. Nous mon trons que la du alit ´ e de V an den Bergh des alg ` ebres est un cal cul de T amarkin-Tsygan ` a dualit. Ceci perm et notammen t de retrouv er la structur e BV des alg ` ebr es de Calabi-Y au mise en ´ evidence par V. Ginzburg. Summary : The abstract notion of T amarkin-Ts ygan calculus with dualit y gives Bat alin- Vilk oviski ˇ ı str u ctures in a general setting. W e apply this tec hniqu e to the case of V an den Bergh dualit y for algebras to pro ve that Calabi-Y au algebras are BV-a lgebras. Classification AMS : 16 E 40, 20 J 06, 55 U 30. In tro duction. V. Ginzbur g a montr ´ e r ´ ecemmen t que les alg ` ebres d e Calabi-Y au sont des alg ` eb r es de Batalin-Vil k o viski ˇ ı (e n abr´ eg ´ e, BV-alg ` ebr es). Th´ eor ` eme ([Gi, 3.4.3]). Soit A un e al g ` ebre de Calabi-Y au et soit ( H ∗ ( A, A ) , ∪ , [ , ]) l’alg ` ebre de cohomol ogie de Ho c hsc hild de A , m un ie de sa structure d’alg ` ebre de Gersten- hab er. Il existe un g´ en´ erateur ∆ du cro chet de Gerstenhab er [ , ] , c’est-` a-dire qu’il existe une app licati on ∆ : H ∗ ( A, A ) → H ∗− 1 ( A, A ) satisfaisan t ` a la r elatio n [ α, β ] = ∆( α ∪ β ) − ( − 1) p α ∪ ∆( β ) − ∆( α ) ∪ β p our tout α ∈ H p ( A, A ) et β ∈ H q ( A, A ) . Afin d e commen ter ce r´ esultat, in tro duisons qu elques notations. Notons B : H ∗ ( A, A ) → H ∗ +1 ( A, A ) le b ord de Conn es en homologie d e Ho c hschild ([C], [L]). Soit d la dimension cohomologique de l’alg ` ebre de Calabi- Y au et soit V dB : H ∗ ( A, A ) → H d −∗ ( A, A ) 1 Lab oratoire de Math´ ematiques, UMR 6620 du CNRS, Un iv ersit ´ e B. Pascal, 63177 A ubi ` ere Cedex. Courriel : thierry .lambre@math.univ-bp clermont.f r 1 l’isomorphisme de d ualit ´ e de V an der Bergh ([VdB]). Soien t α ∈ H p ( A, A ), β ∈ H q ( A, A ) et z ∈ H r ( A, A ). La contrac tion ι α : H r ( A, A ) → H r − p ( A, A ) est d´ efin ie par ι α ( z ) = z ∩ α (le symbole ∩ d´ esigne ici le cap -pro duit, voir paragraphe 2). Les deux ingr´ edients essen tiels de la d´ emonstration du th´ eor ` eme de V. Ginzb urg son t les suiv an ts. 1) La con traction satisfait l’iden tit ´ e remarquable s u iv ante de T amarkin-Tsygan ([T-T]). ( T T ) ι [ α,β ] = [[ B , ι α ] g r , ι β ] g r , o dans le membre de droite de cette expression, les cro c hets [ , ] g r d ´ esignen t des comm uta- teurs gradu´ es. 2) L’in v erse D = ( V dB ) − 1 de l’isomorphisme de dualit ´ e de V an d en Bergh satisfait l’identi t ´ e remarquable d e Ginzbur g ([Gi] , 3.4.3). ( G ) D ( z ∩ α ) = D ( z ) ∪ α. Soit d la dimension de l’alg ` ebre de Cala bi-Y au. A partir des iden tit´ es remarqu ables ( T T ) et ( G ), il est facile de v´ erifier qu’en p osant ∆ = ( − 1) d D B D − 1 , on a la relation de Batalin-Vilk o viski ˇ ı ( B V ) [ α, β ] = ∆ ( α ∪ β ) − ( − 1) p α ∪ ∆( β ) − ∆( α ) ∪ β . Autremen t dit le th ´ eor ` eme de V. Ginzb u rg affirme que le c onjugu´ e du b ord de Connes en homologie de Ho c hs child par l’in v erse de l’isomorphisme d e du alit ´ e de V an der Bergh est u n g ´ en´ erateur du cro c het d e Gerstenhab er d e l’alg ` ebr e de cohomologie de Ho c hsc hild H ∗ ( A, A ) de l’alg ` eb r e de Cabali-Y au A . Nous ´ enonons et employ ons dans ce texte u n e g ´ en´ eralisation de ce ph´ enom` ene p our les calculs de T amarkin-Tsygan ` a dualit ´ e, ob jets satisfaisan t dans un certain cadre de g ´ en´ eralit ´ e les r elati ons ( T T ) et ( G ). Th´ eor ` eme 1.6. Soit ( H ∗ , H ∗ , κ, c ) un calcul de T amarkin-Tsygan ` a dualit ´ e, de classe fondamen tale c ∈ H d (v oir d ´ efinition 1.3). Notons D = ( c ∩ − ) − 1 l’in verse de l’isomorphisme de dualit ´ e. Alors un g´ en´ erateur du croc het de Gerstenhab er d e H ∗ est ∆ = ( − 1) d D κD − 1 et l’alg ` ebre d e Gerstenhab er H ∗ est u ne B V -alg ` ebr e. 2 P our exploiter ce r´ esultat g ´ en ´ eral dans le cadr e de la d u alit ´ e d e V an den Bergh d es alg ` ebr es, nous mon trons que l’isomorphisme d e dualit ´ e de V an den Bergh s ’exprime co mme le cap - pro duit par u ne certaine classe fondament ale canoniquemen t asso ci ´ ee aux alg` ebres con- sid ´ er ´ ees. Th´ eor ` eme 4.2. Soit A u ne alg ` ebre ` a dualit ´ e de V an d en Bergh, de mod ule d ualisan t D = H d ( A, A e ) , de classe fondamenta le c ∈ H d ( A, D ) . Alors, p our tout A e -mo dule M et p our tout en tier p ≥ 0 , le cap-pro duit c ∩ − : H p ( A, M ) → H d − p ( A, D ⊗ A M ) est u n isomorphisme. Les r ´ esu ltats 1.6 et 4.2 p ermetten t de fournir une d ´ emonstration du th ´ eor` eme de V. Ginzburg. Dans dive rses situations analogues, une d u alit ´ e en terme de cap -pro duit est bien connue. C’est le cas n otamment en cohomolog ie des group es ([B-E]) mais aussi dans u n cadre de g ´ eom´ etrie de Po isson (v oir par exemple [H] et [X]). Dans ces diff ´ eren ts conte xtes (group es, alg ` ebres ou g´ eom ´ etrie de Poi sson), le cap -pro duit par une certaine classe fondamenta le est un isomorph ism e. En ce sens, les alg ` ebres de Calabi-Y au appara ˆ ıssen t comme l’analogue alg ´ eb rique des group es ` a du alit ´ e de P oincar ´ e o rient ables . Pour se conv aincre de la p ertinence de cette affirmation, il p eut tre u tile de s’aider d u dictionnaire analogique suiv an t. Group es ` a dualit ´ e Alg ` ebres ` a dualit ´ e Z A Z [ G ] A e = A ⊗ k A op Cohomologie des group es Cohomologie des alg ` ebres H p ( G, M ) = Ext p Z [ G ] ( Z , M ) H p ( A, M ) = E x t p A e ( A, M ) Group e d e t yp e FP Alg ` ebre de t yp e FP Dimension cohomolog ique d = p d im Z [ G ] ( Z ) d = p dim A e ( A ) Mo dule dualisant D = Ext d Z [ G ] ( Z , Z [ G ]) D = Ext d A e ( A, A e ) Classe fondamental e H d ( G, D ) ∼ = Hom Z [ G ] ( D , D ) H d ( A, D ) ∼ = Hom A e ( D , D ) 3 Th ´ eor ` eme de du alit ´ e Bieri-Ec kmann (1973) V an den Bergh (1998) si G de t yp e FP si A d e type FP si G de dimension cohomologique d si A d e dimension cohomologique d si Ext i Z [ G ] ( Z , Z [ G ]) = 0 , i 6 = d si Ext i A e ( A, A e ) = 0 , i 6 = 0 si D est sans torsion su r Z si D est A e -in v ersible alors le cap-pro d u it par la classe fondament ale est un isomorphism e Group e ` a dualit ´ e de Po incar ´ e orient able Alg ` ebre d e Calabi-Y au D ∼ = Z comme Z [ G ]-mo dule D ∼ = A comme A e -mo dule a vec action triviale de G a vec action triviale de A e Ce texte est organis ´ e co mme su it. 1. Structure BV p our les calculs de T amarkin-Tsygan ` a du alit ´ e. 2. Rapp els su r les stru ctures multi plicativ es en th´ eorie de Ho c h sc hild. 3. Alg ` ebres de t yp e F P . 4. Dualit ´ e de V an d en Bergh. 5. Une d ´ emonstration du th ´ eor ` eme de V. Ginzburg. 6. Une d ´ emonstration d’un r´ esultat de M. Kontsevic h. 1. Structure BV p our les calculs de T amarkin-Tsygan ` a dualit´ e. D ´ efinition 1.1. Soit H ∗ = ⊕ p ≥ 0 H p un k -espace v ectoriel gradu´ e. O n n ote L ∗ le k -espace v ectoriel gradu ´ e d´ ecal ´ e, L p = H p +1 . Pour α ∈ H p , on p ose | α | = p et deg ( α ) = p − 1 . On dit qu e H ∗ est un e alg ` ebre de Gerstenhab er s’il existe des op´ erations ∪ et [ , ] telles que : 1) ( H ∗ , ∪ ) est une alg ` ebre gradu´ ee comm u tativ e, c’est-` a-dire une alg ` ebre dan s laquelle on a la relation α ∪ β = ( − 1) | α |·| β | β ∪ α . 2) ( L ∗ , [ , ]) est une alg ` ebr e de Lie gradu ´ ee, c’est-` a-dire qu’on a la relation d’an tisym´ etrie gradu ´ ee [ α, β ] = ( − 1) deg ( α ) · deg ( β ) [ β , α ] et l’identit ´ e de Jacobi gradu´ ee ( − 1) deg ( α ) deg ( γ ) [ α, [ β , γ ]] + ( − 1) deg ( β ) deg ( α ) [ β , [ γ , α ]] + ( − 1) deg ( γ ) deg ( β ) [ γ , [ α, β ]] = 0 . 4 3) P our tout α ∈ L p , [ α, − ] est une d ´ eriv ation de degr´ e deg ( α ) d e l’alg ` ebre gradu ´ ee comm u tativ e ( H ∗ , ∪ ) , c’est-` a-dire qu’on a la relation [ α, β ∪ γ ] = [ α, β ] ∪ γ + ( − 1) deg ( α ) | β | β ∪ [ α, γ ] . D ´ efinition 1.2. Un calcul de T amarkin-Tsygan est la donn ´ ee d’un triplet ( H ∗ , H ∗ , κ ) d’espaces vect oriels g radu´ es satisfaisan t aux conditions a), b ) et c) ci-dessous. a) ( H ∗ , ∪ , [ , ]) est une alg ` ebre de Gerstenhab er telle que k ⊂ H 0 . b) H ∗ est un ( H ∗ , ∪ ) -mo du le gradu´ e, c’est-` a-dire qu’il existe u ne application k -lin ´ eaire H p ⊗ k H r → H r − p α ⊗ z → z ∩ α telle que p our z ∈ H r et α ∈ H p , en p osan t ι α ( z ) = ( − 1) r p z ∩ α , on a la relation ι α ◦ ι β = ι α ∪ β . c) Il existe une application κ : H ∗ → H ∗ +1 telle qu e κ 2 = 0 et telle qu’en p osant L α = [ κ, ι α ] g r = κ ι α − ( − 1) | α | ι α κ, la relation su iv ante est satisfaite : ( T T ) [ L α , ι β ] g r = ι [ α,β ] . Remarque : Dans un calcul de T amarkin-Tsygan ( H ∗ , H ∗ , κ ), l’espace vec toriel gradu ´ e H ∗ est u n ( L ∗ , [ , ])-modu le de Lie gradu´ e p our l’op´ eration L p − 1 × H r → H r − ( p − 1) α ⊗ z → L α ( z ) , c’est-` a-dire qu’on a la relation L [ α,β ] = [ L α , L β ] g r = L α L β − ( − 1) deg ( α ) deg ( β ) L β L α . D ´ efinition 1.3. S oit ( H ∗ , H ∗ , κ ) u n calcul de T amarkin-Tsygan. O n d it que ce calcul e st un calcul de T amarkin-Tsygan ` a d u alit ´ e s’il existe c ∈ H d tel que c ∩ 1 = c et tel que p our tout entier p , c ∩ − : H p → H d − p est u n isomorphisme. 5 Cet isomorphisme est app el ´ e isomorphisme de dualit ´ e. L’ ´ el ´ ement c est app el ´ e classe fonda- men tale du calcul de T amarkin-Tsygan ` a dualit ´ e. Prop osition 1.4. (form ule de Ginzburg, [G], 3.4.3. ( i )) S oit ( H ∗ , H ∗ , κ, c ) un calcul de T amarkin-Tsygan ` a dualit ´ e, de classe fond amentale c ∈ H d . Soit D = ( c ∩ − ) − 1 l’in verse de l’isomorphisme d e dualit ´ e. Alors p our tout α ∈ H p et tout z ∈ H r , dans H r − p , on a l’ ´ egalit ´ e ( G ) D ( z ∩ α ) = D ( z ) ∪ α. D ´ emonstr ation. Soit z ∈ H r . P ar l’isomorph isme de d u alit ´ e, il existe β ∈ H d − r tel que z = c ∩ β , ce qui s ’´ ecrit encore D ( z ) = β . Po ur tout α ∈ H p , on a d on c z ∩ α = ( c ∩ β ) ∩ α = ( − 1) r p ι α ( c ∩ β ) = ( − 1) r p ( − 1) d ( d − r ) ι α ι β ( c ) = ( − 1) r p + d ( d − r ) ι α ∪ β ( c ) = ( − 1) r p + d ( d − r ) ( − 1) ( p + d − r ) d c ∩ ( α ∪ β ) = ( − 1) r p + d ( d − r )+( p + d − r ) d ( − 1) p ( d − r ) c ∩ ( β ∪ α ) = c ∩ ( D ( z ) ∪ α ) , ce qui s’ ´ ecrit en core D ( z ∩ α ) = D ( z ) ∪ α. Lemme 1.5. S oit ( H ∗ , H ∗ , κ, c ) u n calcul d e T amarkin-Tsygan ` a dualit ´ e, de classe f onda- men tale c ∈ H d . Soit D = ( c ∩ − ) − 1 l’in verse de l’isomorphisme de du alit ´ e. On d´ efinit ∆ : H ∗ → H ∗− 1 par ∆ = ( − 1) d D κ D − 1 . Soien t z ∈ H r , α ∈ H p et β ∈ H q . Alors on a la r elation D ( z ) ∪ [ α, β ] = ( − 1) ( d − r ) ∆( D ( z ) ∪ α ∪ β ) − ( − 1) p ( r + d +1)+ d − r α ∪ ∆( D ( z ) ∪ β ) − ( − 1) ( d − r ) ∆( D ( z ) ∪ α ) ∪ β − ( − 1) pq − 1+ d − r ∆( D ( z )) ∪ ( α ∪ β ) . D ´ emonstr ation. D’apr ` es la formule de Ginzbu rg 1.4, on a D ( z ∩ [ α, β ]) = D ( z ) ∪ [ α, β ] . P ar ailleurs, z ∩ [ α, β ] = ( − 1) ( p + q − 1) r ι [ α,β ] ( z ) . On a donc D ( z ∩ [ α, β ]) = ( − 1) ( p + q − 1) r D ( ι [ α,β ] ( z )) . 6 La r elati on ( T T ) de 1.2 s’ ´ ecrit ι [ α,β ] = [[ κ, ι α ] g r , ι β ] g r d’o D ( z ∩ [ α, β ]) = ( − 1) ( p + q − 1) r D ( ι [ α,β ] ( z )) = ( − 1) ( p + q − 1) r ( A − B − C − D ) a vec A = D κ ι α ∪ β ( z ) , B = ( − 1) p D ι α κ ι β ( z ) , C = ( − 1) ( p − 1) q D ι β κ ι α ( z ) et D = ( − 1) ( p − 1)( q +1) D ι α ∪ β κ ( z ) . Calculons successiv emen t ces qu atre t ermes en utilisant sans ce sse la relation ∆ D = ( − 1) d D κ ainsi q u e la formule de Ginzburg. Les calculs cond uisen t ` a A = D κ ι α ∪ β ( z ) = ( − 1) d ( − 1) ( p + q ) r ∆( D ( z ∩ ( α ∪ β )) ) = ( − 1) d +( p + q ) r ∆( D ( z ) ∪ α ∪ β ) . De mani` ere analogue B = ( − 1) p D ( ι α ( κ ι β ( z ))) = ( − 1) p ( − 1) ( r − q +1) p D ( κ ι β ( z ) ∩ α ) = ( − 1) p +( r − q + 1) p ( D κ ι β ( z )) ∩ α = ( − 1) p +( r − q + 1) p ( − 1) d ∆ D ( ι β ( z )) ∪ α = ( − 1) p +( r − q + 1) p + d ( − 1) r q ∆ D ( z ∩ β ) ∪ α = ( − 1) p +( r − q + 1) p + d + rq ∆( D ( z ) ∪ β ) ∪ α = ( − 1) p +( r − q + 1) p + d + rq ( − 1) ( d − r + q − 1) p α ∪ ∆( D ( z ) ∪ β ) = ( − 1) p + dp + r q + d α ∪ ∆( D ( z ) ∪ β ) . De mani` ere analogue, on obtien t C = ( − 1) r ( p − q )+ d ∆( D ( z ) ∪ α ) ∪ β . Enfin, on a D = ( − 1) ( p − 1)( q +1) D ι α ∪ β κ ( z ) = ( − 1) ( p − 1)( q +1) ( − 1) ( r +1)( p + q ) D ( κ ( z ) ∩ ( α ∪ β )) = ( − 1) ( p − 1)( q +1)+( r +1)( p + q ) D ( κ ( z )) ∪ ( α ∪ β ) = ( − 1) ( p − 1)( q +1)+( r +1)( p + q ) ( − 1) d ∆( D ( z )) ∪ ( α ∪ β ) . 7 Ces quatre calculs ac h` eve nt la d ´ emonstration du lemme 1.5. Corollaire 1.6. Soit ( H ∗ , H ∗ , κ, c ) u n calcul de T amarkin-Tsygan ` a dualit ´ e. Alors H ∗ est une BV-alg ` ebre. Plus pr´ ecis ´ emen t, en s upp osan t c ∈ H d et en n otan t D = ( c ∩ − ) − 1 l’in verse de l’isomorphisme de dualit ´ e, un g ´ en ´ erateur du crochet d e Gerstenhab er de H ∗ est ∆ = ( − 1) d D κD − 1 et la relation [ α, β ] = ∆ ( α ∪ β ) − ( − 1) p α ∪ ∆( β ) − ∆( α ) ∪ β est satisfaite. D ´ emonstr ation. On applique la form u le 1.5 ` a z = c , classe fondamental e du calcul de T amarkin-Tsygan. Grˆ ace ` a c ∈ H d , D ( c ) = 1 et ∆(1) = 0, on ab outit ` a [ α, β ] = ∆ ( α ∪ β ) − ( − 1) p α ∪ ∆( β ) − ∆( α ) ∪ β , ce qui mont re que ∆ est un g ´ en ´ erateur du cro c het de Gerstenhab er de H ∗ . 2. Rapp els sur les structures m ultiplicativ es en th´ eorie de Ho c hsc hild. Soien t k un corps et A une k -alg ` ebre. O n p ose A e = A ⊗ k A op . Soit M un A e -mo dule ` a gauc he. La cohomologie et l’h omolog ie d e Ho c h sc hild de A ` a v aleur dans M son t resp ecti- v emen t donn´ ees par H ∗ ( A, M ) = E x t ∗ A e ( A, M ) et H ∗ ( A, M ) = T or A e ∗ ( A, M ). On sait qu’en p osan t C p ( A, M ) = H om k ( A ⊗ p , M ), on a H p ( A, M ) = H p ( C ∗ ( A, M ) , b ) o b : C p ( A, M ) → C p +1 ( A, M ) est le b ord de Ho c h s c hild d´ efin i p our f ∈ C ∗ ( A, M ) par bf ( a 1 , · · · , a p +1 ) = a 1 f ( a 2 , · · · , a p +1 ) − f ( a 1 a 2 , a 3 , · · · , a p +1 ) + · · · +( − 1) p f ( a 1 , · · · , a p − 1 , a p a p +1 ) + ( − 1) p +1 f ( a 1 , · · · , a p ) a p +1 . De man i` ere analogue, en p osan t C r ( A, M ) = M ⊗ k A ⊗ r , on a H r ( A, M ) = H r ( C ∗ ( A, M ) , b ) o b : C r ( A, M ) → C r − 1 ( A, M ) est donn´ e par la f orm u le b ( m, a 1 , · · · , a r ) = ( ma 1 , a 2 , · · · , a r ) − ( m, a 1 a 2 , a 3 , · · · , a r ) + · · · +( − 1) r − 1 f ( m, a 1 , · · · , a r − 2 , a r − 1 a r ) + ( − 1) r ( a r m, a 1 , · · · , a r − 1 ) . Rapp elons les d´ efinitions des diff´ eren ts pro du its pr ´ esen ts. Le cu p -pro duit. Il s’agit d’un e application k -lin ´ eaire ∪ : H p ( A, M ) ⊗ k H q ( A, N ) → H p + q ( A, M ⊗ A N ) . 8 ´ Ecriv ons α ∈ H p ( A, M ) sous la forme α = cl ( f ) et de m ˆ eme β ∈ H q ( A, N ) sous la forme β = cl ( g ) o f ∈ C p ( A, M ) et g ∈ C q ( A, N ) sont des b -co cycles. O n d ´ efinit l’´ el ´ emen t f ∪ g de C p + q ( A, M ⊗ A N ) par la formule f ∪ g ( a 1 , · · · , a p + q ) = ( − 1) pq f ( a 1 , · · · , a p ) ⊗ A g ( a p +1 , · · · a p + q ) . La f ormule b ( f ∪ g ) = bf ∪ g + ( − 1) p f ∪ bg mon tre que f ∪ g est un b -co cycle d` es que f et g le son t, ce qui p ermet d´ efi nir α ∪ β comme la classe d e cohomologi e du b -co cycle f ∪ g . Le cap-pr od uit. Il s’agit d’un e application k -lin ´ eaire ∩ : H r ( A, N ) ⊗ k H p ( A, M ) → H r − p ( A, N ⊗ A M ) . ´ Ecriv ons z ∈ H r ( A, N ) sous la forme z = cl ( z ) o z = ( n, a 1 , · · · , a r ) est un b -cycle de C r ( A, N ). Ecriv ons α ∈ H p ( A, M ) sous la forme α = cl ( f ) o f est un b -co cycle de C p ( A, M ). D ´ efin issons l’´ el ´ emen t z ∩ f de C r − p ( A, N ⊗ A M ) par la relation z ∩ f = ( − 1) r p ( n ⊗ A f ( a 1 , · · · , a p ) , a p +1 , · · · , a r ) . La relation b ( z ) ∩ f = z ∩ bf +( − 1) p b ( z ∩ f ) mon tr e que z ∩ f est un b -cycle de C r − p ( A, N ⊗ A M ). Ceci p ermet de d´ efi n ir z ∩ α = cl ( z ∩ f ) comme la classe d’homologie d e ce cycle. Le cup -pro duit et le cap -pro duit sont reli´ es p ar la formule suiv an te, de d ´ emonstr atio n imm ´ ediate ` a partir d es d ´ efinitions ci-dessus. P our z ∈ H r ( A, N ), α ∈ H p ( A, M ) et β ∈ H q ( A, M ′ ), d ans H r − ( p + q ) ( A, N ⊗ A M ⊗ A M ′ ), on a l’ ´ egalit ´ e ( z ∩ α ) ∩ β = z ∩ ( α ∪ β ) . Le cro chet de Gerstenhab er . Soien t α ∈ H p ( A, A ) et β ∈ H q ( A, A ). ´ Ecriv ons α = cl ( f ) et β = cl ( g ) a v ec f et g c o cycles resp ectifs de C p ( A, A ) et d e C q ( A, A ). P our d´ efinir le cro chet de Gerstenhab er [ α, β ] ∈ H p + q − 1 ( A, A ) de α et β , on in tro d u it les applications k − lin´ eaires f ◦ i g : A ⊗ p + q − 1 → A , d ´ efinies p our 1 ≤ i ≤ p par f ◦ i g ( a 1 , · · · , a p + q − 1 ) = f ( a 1 , · · · , a i − 1 , g ( a i , · · · , a i + q − 1 ) , a i + q , · · · a p − 1+ q ) . On p ose ensuite f ◦ g = p X i =1 ( − 1) ( i − 1)( q − 1) f ◦ i g 9 et enfi n [ f , g ] = f ◦ g − ( − 1) ( p − 1)( q − 1) g ◦ f . Gerstenhab er a montr ´ e la formule b ( f ◦ g ) = f ◦ b ( g ) + ( − 1) q − 1 b ( f ) ◦ g + ( − 1) q − 1 ( g ∪ f − ( − 1) pq f ∪ g ) . Ceci mon tre que le cro c het [ f , g ] ∈ C p + q − 1 ( A, A ) de deux co cycles f et g est ´ egalemen t un co cycle. La classe de cohomologie d u cocycle [ f , g ] est par d´ efi n ition le cro c het [ α, β ] des classes α et β . M. Gerstenh ab er a mon tr ´ e Th´ eor ` eme 2.1. ([Ge]) L’alg ` ebre de cohomologie de Ho c hsc hild H ∗ ( A, A ) est une al g ` ebre de Gerstenhab er. Le b ord de C onnes. ([C], [L]) Le b ord B : C r ( A, A ) → C r − 1 ( A, A ) est donn´ e par la form ule B ( a 0 , a 1 · · · , a r ) = r X j =0 ( − 1) j r (1 , a j , · · · , a r , a 0 , · · · , a j − 1 ) . Compte ten u de la r elatio n B b + bB = 0, le b ord de Connes induit un morphisme de k -espaces vecto riels, qu’on note ´ egalemen t B p ar abus de language : B : H r ( A, A ) → H r +1 ( A, A ) . D’apr ` es un r´ esultat d e D. T amarkin et B. Tsygan, on a Th´ eor ` eme 2.2. ([T-T]) Le trip let ( H ∗ ( A, A ) , H ∗ ( A, A ) , B ) est un calcul de T amarkin- Tsygan. 3. Alg ` ebres de t yp e F P . D ´ efinition 3.1. Soient k u n corps et A u n k -alg ` ebre asso ciativ e. On dit que A est une alg ` ebre de t yp e F P si l’alg ` ebre A admet une r´ esolution p r o jectiv e de longueur finie par des A e -mo dules pr o jectifs de type fi n i. P our u ne alg ` ebr e A d e t yp e F P , la dim en sion cohomologique de A est d = p dim A e ( A ) . On p ose D = H d ( A, A e ) . Rapp elons ([B-T]) que le k -espace vect oriel D = H d ( A, A e ) est un A e -mo dule ` a gauc he. 10 On v´ erifie sans difficult´ e la prop osition s uiv ante. Prop osition 3.2. Le cap-pr od uit H d ( A, D ) ⊗ k H d ( A, A e ) → H 0 ( A, D ⊗ A A e ) z ⊗ α → z ∩ α fournit u n morphisme k -lin ´ eaire H d ( A, D ) → H om A e ( D , D ) . z → z ∩ − Prop osition 3.3. S oit A un e alg ` eb re de t yp e F P de d imension cohomologique d . Pour tout A e -mo dule M , l’application H d ( A, M ) → H om A e ( D , M ) z → ( z ∩ − ) | D est u n isomorphisme d e k -espace vect oriels. D ´ emonstr ation. Le cap -pro duit H d ( A, M ) ⊗ k H d ( A, A e ) → H 0 ( A, M ⊗ A A e ) ∼ = M fournit u n morphisme H d ( A, M ) → Hom( D , M ) z → ( z ∩ − ) | D et on v ´ erifie facilemen t que l’application z ∩ − est A e -lin ´ eaire. Soit P ∗ une A e -r ´ esolution pro jectiv e de t yp e fi n i de A , de longueur d . On a H i ( A, M ) = H i ( P ∗ ⊗ A e M ) . En p articulier on a la suite exacte cour te (1) 0 → H d ( A, M ) → P d ⊗ A e M → P d − 1 ⊗ A e M . P osons P ∗ = H om A e ( P ∗ , A e ). On a H i ( P ∗ ) = H i ( A, A e ) . En p articulier, on a la suite exacte courte (2) P d − 1 → P d → H d ( A, A e ) = D → 0 . 11 P ar ap p licatio n du f on cteur Hom A e ( − , M ) ` a la suite exacte c ourte (2), on obtien t la suite exacte (3) 0 → Hom A e ( D , M ) → Hom A e ( P d , M ) → Hom A e ( P d − 1 , M ) . Puisque les P i son t p ro jectifs de t yp e fi nis, on a des isomorphismes Hom A e ( P i , M ) ∼ = P i ⊗ A e M et la suite exacte (3) s’´ ecrit don c (4) 0 → Hom A e ( D , M ) → P d ⊗ A e M → P d − 1 ⊗ A e M . Les suites exactes (1) et (4) fourn iss en t l’isomorphisme H d ( A, M ) ∼ = H om A e ( D , M ) . Remarque : Pour M = D , la pr op osition 3.3 mont re que H d ( A, D ) → H om A e ( D , D ) . z → z ∩ − est u n isomorphisme. Ceci conduit ` a la d´ efinition suiv ante. D ´ efinition 3.4. S oit A une alg ` ebre de t yp e F P , de dimension cohomologique d . L’uniqu e ´ el ´ ement c de H d ( A, D ) tel que ( c ∩ − ) | D = id D s’app elle la classe f ondamen tale d e l’alg ` ebre A . Prop osition 3.5. Soit A un e alg ` ebre de t yp e F P , de dimension cohomologique d , de classe fondamen tale c ∈ H d ( A, D ) . Po ur tout A e -mo dule M , le cap-pro du it c ∩ − : H d ( A ; M ) → H 0 ( A, D ⊗ A M ) est u n isomorphisme. D ´ emonstr ation. Si M = A e est libr e de r ang 1, par d´ efin ition de la classe fondament ale le cap -pro duit c ∩ − est l’app lication id : D → D . P our traiter le cas des mo dules libres, on regarde c ∩ − comme u ne transf orm ation naturelle du f on cteur H d ( A, − ) v ers le foncteur H 0 ( A, D ⊗ A − ). Ces deux foncteurs sont additifs. En outre, comme tout foncteur T or , le foncteur H 0 ( A, D ⊗ A − ) comm ute aux limites directes. Puisque A est d e t yp e F P , le foncteur E x t d A e ( A, − ) commute ´ egalemen t aux limites directes ([Br], VI I I, 4.8, p. 196). Ceci mon tr e que si M est un A e -mo dule libre, le cap -pro duit c ∩ − : H d ( A, M ) → H 0 ( A, D ⊗ A M ) est u n isomorphisme. Enfin, si M est un A e -mo dule quelconque, on obtien t le r ´ esultat grˆ ace ` a une suite exacte F ′ → F → M → 0, o F et F ′ son t lib res. 12 4. Dualit´ e de V an den Bergh. D ´ efinition 4.1. S oit A un e alg ` eb r e d e t yp e F P de dimension cohomologique d . On dit que A est un e alg ` ebre ` a d ualit ´ e de V an den Bergh si H i ( A, A e ) = 0 p our i 6 = d et si D = H d ( A, A e ) est un A e -mo dule inv ersible. Dans ce cas, D e st app el ´ e le mo du le dualisan t de l’alg ` ebre ` a d ualit ´ e de V an d en Bergh A . Th´ eor ` eme 4.2. Soit A u ne alg ` ebre ` a dualit ´ e de V an d en Bergh, de mod ule d ualisan t D = H d ( A, A e ) , de classe fondamenta le c ∈ H d ( A, D ) . Alors, p our tout A e -mo dule M et p our tout en tier p ≥ 0 , le cap-pro duit c ∩ − : H p ( A, M ) → H d − p ( A, D ⊗ A M ) est u n isomorphisme. D ´ emonstr ation. In tro du isons le s foncteurs H i = H i ( A, D ⊗ A − ) et T i = H d − i ( A, − ). De mani ` ere ´ eviden te, le foncteur T i est un foncteur homologique. Premi ` ere ´ etap e : Grce ` a H i ( A, A e ) = 0 p our i 6 = d , montrons que le foncteur T i est effa¸ cable p our i > 0 ([Br], I I I, 6, p . 72). P ar h yp oth` ese, on a T i ( A e ) = 0 p our i > 0. Par add itivit ´ e du foncteur T i , on en d´ ed uit T i ( L ) = 0 p our i > 0 et L li bre de rang fini, donc T i ( P ) = 0, p our i > 0 et P pro jectif de t yp e fini. D’apr ` es [Br], VI I I, 4.6, p. 195, T i comm u te aux limites d irectes. On en d ´ edu it T i ( L ) = 0, p our i > 0 et L libre et donc aussi T i ( P ) = 0 p our i > 0 et P pro jectif. Deuxi ` eme ´ etap e : Grˆ ace ` a D in v ersible, mon trons ` a pr´ esent que H i est u n foncteur ho- mologique. Soit 0 → M ′ → M → M ′′ → 0 une suite exacte courte de A e -mo dules. Pu isque D est in versible, D est un A -mo du le pro jectif ` a dr oite, donc plat. On a par cons´ equent la su ite exacte courte d e A e -mo dules 0 → D ⊗ A M ′ → D ⊗ A M → D ⊗ A M ′′ → 0 . Cette suite exacte courte fournit la suite exacte longue · · · → H i +1 ( A, D ⊗ A M ′′ ) → H i ( A, D ⊗ A M ′ ) → H i ( A, D ⊗ A M ) → H i ( A, D ⊗ A M ′′ ) → · · · c’est-` a-dire qu’on a la suite exacte longue · · · → H i +1 ( M ′′ ) → H i ( M ′ ) → H i ( M ) → H i ( M ′′ ) → H i − 1 ( M ′ ) → · · · ce qui mont re que H i est u n foncteur homologique. T roisi ` eme ´ etap e : Mon trons ` a pr´ esent que H i est un foncteur effa¸ cable p our i > 0. Puisque D est A e -in v ersible, il est A -pro jectif ` a gauc he. Donc si P est un A e -mo dule pro jectif, D ⊗ A P est encore pro jectif et par cons ´ equen t H i ( P ) = H i ( A, D ⊗ A P ) est nul p our i > 0. 13 Quatri ` eme ´ etap e : D’apr ` es la prop osition 3.5, c ∩ − : T 0 → H 0 est u n isomorphisme. Cinqui` eme ´ etap e : Par d´ ecalage d’indice (cf [B r], II I, 7.3, p. 75), on d´ ed uit de tout ce qui pr´ ec ` ede que p our tout i > 0, c ∩ − : T i → H i est u n isomorphisme. 5. Une d ´ emonstration du th´ eor ` eme de V. Ginzburg. D ´ efinition 5.1 . On dit que l’alg ` ebr e A est une alg ` ebre de Calabi-Y au de dimension d si A est une alg ` ebre ` a du alit ´ e de V an den B ergh de dimension cohomologique d dont le mo dule dualisan t D = H d ( A, A e ) est un A e -mo dule isomorph e ` a A . Soit A un e alg ` ebr e d e Calabi-Y au de dimension d . P osons H ∗ = H ∗ ( A, A ) et H ∗ = H ∗ ( A, A ). Soit B le b ord de C onnes. D’apr ` es le r ´ esultat de T amarkin et Tsygan rapp el ´ e en 2.2, ( H ∗ , H ∗ , B ) est un calcul d e T amarkin-Tsygan. Soit c ∈ H d ( A, D ) la cla sse fondamen tale de l’alg ` ebre A . Du th´ eor` eme 4.2, n ous d´ eduisons qu e ( H ∗ , H ∗ , B , c ) est u n calcul de T amarkin-Tsygan ` a dualit ´ e. Compte ten u du th ´ eor ` eme 1.6, on a d onc mon tr ´ e Th´ eor ` eme 5.2. (V. Ginzbu r g) Une alg ` ebre de C alabi-Y au est une BV-alg ` eb r e. Plus pr´ ecis ´ ement, soit A u n e alg ` ebre de Calabi-Y au de dimension d , d e classe fondamental e c . Soit D = c ∩ − l’isomorph isme de du alit ´ e de V an den Bergh. Alors ∆ := ( − 1) d D B D − 1 est u n g ´ en´ erateur du cro c het de Gerstenh ab er de H ∗ ( A, A ) , c’e st-` a-dire que p our tout α ∈ H p ( A, A ) et tout β ∈ H q ( A, A ) , on a l’´ egalit ´ e [ α, β ] = ∆ ( α ∪ β ) − ( − 1) p α ∪ ∆( β ) − ∆( α ) ∪ β . 6. Une d ´ emonstration d’un r´ esultat de M. Kon t sevic h. V. Ginzbu rg attribue le r´ esultat suiv ant ` a M. Kont sevic h . Th´ eor ` eme 6.1. ([G], 6.1. 1). Soit X une v ari´ et ´ e orien t ´ ee asph´ erique de dimension 3 . Alors C [ π 1 ( X )] , alg ` ebre du group e fon d amen tal de X est une alg ` ebr e de Calabi-Y au de dimension 3 . Nous pr op osons une d´ emonstration d e ce r´ esultat sous la forme suiv ant e. Lemme 6.2. Soit G un group e ` a dualit ´ e de P oincar ´ e. On sup p ose G orient able d e dimension cohomologi que d . Soit k un corp s de caract ´ eristique z´ ero ou premi ` ere ` a l’ordre du group e G . Alors l’alg ` ebre du group e A = k [ G ] est u ne alg ` ebre de Calabi-Y au de dimension d . P our d ´ emontrer ce lemme, rapp elons le vocabulaire des group es ` a dualit ´ e de Poi ncar ´ e ([B-E], [Br],VI I I, 10). On dit qu’un group e G est de t yp e F P si Z ad m et une Z [ G ]-r ´ esolution de longueur finie par des Z [ G ]-modules pro jectifs de type fin i. Dans ce cas, la d imension cohomolog ique d du group e G est d = p dim Z [ G ] Z . 14 Le group e G d e t yp e F P , d e dimension cohomolog ique d est ` a dualit ´ e de P oincar´ e si Ext i Z [ G ] ( Z , Z [ G ]) = 0 p our i 6 = 0 et si D G := Ext d Z [ G ] ( Z , Z [ G ]) est un Z -mo dule isomorp he ` a Z . Le Z [ G ]-modu le D G s’app elle le mo dule du alisan t du group e G . Le group e G est ` a du alit ´ e de Poincar ´ e orient able s’il est ` a d ualit ´ e de P oincar ´ e et si son mo dule du alisan t D G est u n Z [ G ]-mo dule isomorph e au Z [ G ]-mo dule trivial Z . Prop osition 6.3. Soien t G un group e, k un corps de caract ´ eristique z ´ ero ou p remi ` ere ` a l’ordre de G , et soit A l’alg ` ebre du group e k [ G ] . On supp ose qu e G est un group e de t yp e F P de dimension cohomologique d . Alors l’alg ` ebre A est un e alg ` ebre de t yp e F P de dimension cohomologique d et p our tout i on a des isomorphismes de A e -mo dules Ext i A e ( A, A e ) ∼ = Ext i Z [ G ] ( Z , Z [ G ]) ⊗ Z A. En particulier, si G est ` a dualit ´ e de Poincar ´ e de mo d ule dualisan t D G , alors A est une alg ` ebre ` a dualit ´ e de V an d en Bergh dont le mo dule d ualisan t D A est A e -isomorphe ` a D G ⊗ Z A . D ´ emonstr ation. Puisque k est de caract ´ eristique z ´ ero ou premi` ere ` a l’ordre de G , A est un Z [ G ]-mo dule p lat. Le foncteur − ⊗ Z [ G ] A : Z [ G ]-Mod → A -Mo d est d onc exact. Puisque A est un k -mo dule pr o jectif, il est plat. Le foncteur − ⊗ k A : A -Mo d → A ⊗ 2 -Mod est ´ egalemen t exact. Le foncteur comp os´ e − ⊗ Z [ G ] A ⊗ 2 est donc exact. Puisque G est de t yp e FP , de d imension d , il existe une Z [ G ]-r ´ esolution d e longueur d 0 → P d → · · · → P 0 → ε Z → 0 du Z [ G ]-mod ule trivial Z par des Z -mo dules pro jectifs de t yp e fi ni. P ar ap p licatio n d u foncteur exact − ⊗ Z [ G ] A ⊗ 2 et compte tenu de l’isomorph isme de k -alg ` eb res A e ∼ = A ⊗ 2 , on obtien t u ne A e -r ´ esolution de longueur d de A par d es A e -mo dules pr o jectifs de t yp e fini. Ceci montre que A est de t yp e FP , de dimension cohomologique d . Les isomorphism es Ext i A e ( A, A e ) ∼ = Ext i Z [ G ] ( Z , Z [ G ]) ⊗ Z [ G ] A e ∼ = Ext i Z [ G ] ( Z , Z [ G ]) ⊗ Z [ G ] A ⊗ 2 ∼ = Ext i Z [ G ] ( Z , Z [ G ]) ⊗ Z A ac h` eve nt la d ´ emonstration de la p r op osition 6.3. D ´ emonstr ation du l emme 6. 2. D’apr` es 6.3, puisque G est ` a dualit ´ e de P oincar ´ e, A = k [ G ] est ` a du alit ´ e de V an d en Bergh et D A ∼ = D G ⊗ Z A. 15 Puisque G est orien table, l’action de G s ur D G = Z est triviale et on a donc u n isomorphime de A e -mo dules D A ∼ = A , ce qui montre que A est Calabi-Y au. Remarques. - De 6.2 et 5.1, on d´ eduit que sous les h yp oth ` eses 6.2, l’alg ` ebre de cohomolog ie de Hochsc hild de A = k [ G ] est un e BV-alg ` ebre. Dans le cas des v ari´ et ´ es orien t ´ ees asph´ eriques de dimension d , D. V aintrob [V] a mon tr´ e le lien en tre cette structure BV sur H ∗ ( A, A ) et la structure BV de Ch as-Sulliv an sur l’homologie singuli ` ere H ∗ ( L ( X )) d e l’espace des la cets libres sur X . - Si G est ` a dualit ´ e d e P oincar´ e non orien table , l’alg ` ebre A = k [ G ] est toujours une alg ` eb r e ` a dualit ´ e de V an den Bergh mais puisque l’ op ´ eration d e G su r D G = Z n’est pas trivial e, le modu le d ualisan t D A de l ’alg ` ebr e A est u n A e -mo dule isomorp he au mo dule tordu ϕ A , (c’est-` a-dire g · x · h = ϕ ( g ) xh ) o ϕ est l’isomorph ime ϕ : A → A d ´ efini par ϕ ( g ) = n g g a v ec n g = g · 1. Bibliographie. [B-T], R. Berger & R. T aillefer, P oincar´ e-Birkhoff-Witt deformations of Calabi-Y au alge- bras, J. Noncomm utativ e Geom. , 1 , 2007, 241-270. [B-E], R. Bieri & B. Ec kmann, Groups with homological dualit y generalizing P oincar´ e dualit y , I nv entio nes M ath. , 20 , 1973, 103-124. [Bi], N. Bourb aki, Alg ` ebre , c hap. 10, Alg ` ebr e homologique, Masson, 1980. [Br], K. Bro wn, Cohomology of group s , GTM 87, 1982, Spr inger. [C], A. C on n es, Non-Commutativ e different ial geometry , Pu bl. Math. IHES , 62 , 1985, 257-3 60. [Ge], M. Gerstenhab er, The cohomology stru cture of an asso ciativ e r ing, Ann. of Math. , 78 , 1963, 267-288. [Gi], V. Ginzburg, Calabi-Y au algebras, arXiv: 06 12 139, 2006. [H], J. Hu ebsc hman n , Dualit y for Lie-Rinehart algebras and the mo dular class, J. Reine Angew. Math. , 510 , 1999, 103-15 9. [L], J.-L. Lo da y , Cyclic homology , Grundlehr en der Math. Wissensc haften, 301, Springer, 1992. [T-T], D. T amarkin & B. Tsygan, The ring of differen tial op erators on forms in non- comm u tativ e calc ulus, P ro ceedings of Symp osia in Pure Math., Am. Math. So c. , vo l. 73, 2005, 105-131 . 16 [V], D. V ain trob, The string top olog y BV-alge bra, Hochsc hild cohomolog y and the Gold- mann b rac ket on s u rfaces, Arxiv, 07 02 859, 2007. [VdB], M. V an den Bergh, A relation b et w een Ho c h s c hild h omolog y and cohomology for Gorenstein rings, Pro ceedings of the Am. Math. So c. , 126 , 1998, 1345 -1348 and 130 , 200 2, 2809- 2810 (Er ratum). [X], P . Xu, Gerstenhab er alg ebras and BV-algebras in P oisson geomet ry , Com. Math. Ph ys. , 200 , 1999, 545-56 0. 17