Une nouvelle r`egle de combinaison repartissant le conflit - Applications en imagerie Sonar et classification de cibles Radar

Une nouv elle règle de om binaison répartissan t le onit - Appliations en imagerie Sonar et lassiation de ibles Radar Arnaud MAR TIN et Christophe OSSW ALD Résumé Le problème du onit in trinsèque à la om binaison d'informations a p oussé à de nom breuses réexions es dernières années, en partiulier dans le adre de la théorie des fon- tions de ro y ane. Nous p ouv ons résumer les solutions app ortées par trois façons de onsidérer le problème : premièremen t, nous p ouv ons  her her à réduire v oire supprimer le onit a v an t la om binaison d'informations, deuxièmemen t nous p ouv ons gérer le onit de façon à e qu'il n'in tervienne pas lors de la om binaison et nous le onsidérons seulemen t lors de la déision nale, et troisièmemen t nous p ouv ons tenir ompte du onit lors de l'étap e de om binaison. Si la première solution paraît la meilleure elle n'est pas toujours réalisable ou susan te. Il p eut être diile de  her her à départager philosophiquemen t les deux dernières stratégies. Cep en- dan t d'un p oin t de vue appliatif seule la déision ompte, et 'est don dans ette optique que nous  her herons à les omparer. Nous prop osons ii une nouv elle règle qui a p our prinip e de répartir le onit prop ortionnellemen t sur les élémen ts pro duisan t e onit. Nous omparons les diéren tes règles à partir de données réelles en imagerie Sonar et en lassiation de ibles Radar. Mots Clés : F ontions de ro y ane, Conit, Règle de Com binaison, Imagerie Sonar, Classiation de ibles Radar Abstrat These last y ears, there w ere man y studies on the problem of the onit oming from information om bination, esp eially in evidene theory . W e an summarise the solutions for manage the onit in to three dieren t approa hes : rst, w e an try to suppress or redue the onit b efore the om bination step, seondly , w e an manage the onit in order to giv e no inuene of the onit in the om bination step, and then tak e in to aoun t the onit in the deision step, thirdly , w e an tak e in to aoun t the onit in the om bination step. The rst approa h is ertainly the b etter, but not alw a ys feasible. It is diult to sa y whi h approa h is the b est b et w een the seond and the third. Ho w ev er, the most imp ortan t is the pro dued results in appliations. W e prop ose here a new om bination rule that distributes the onit prop ortionally on the elemen t giv en this onit. W e ompare these dieren t om bination rules on real data in Sonar imagery and Radar target lassiation. Key W ords : Belief F untions, Conit, Com bination Rule, Sonar Imagery , Ra- dar T arget Classiation 1 1 In tro dution La fusion d'informations a depuis plusieurs années p ermis d'app orter des solutions à la om binaison d'informations issues de div erses soures an d'améliorer la prise de déision par exemple dans un système de lassiation. Le fait de dev oir tenir ompte de plusieurs soures a p oussé le dév elopp emen t de plusieurs théories p ermettan t de mo déliser nemen t les informations issues de es soures en terme de abilité, inertitude, impréision ou enore inomplétude. P armi es théories de l'inertain, la théorie des fontions de ro y ane issue des re her hes de Dempster et Shafer [4, 17 ℄ a onn u es dernières années un dév elopp emen t imp ortan t notammen t dans sa mise en forme p our de nom breuses appliations. La théorie des fontions de ro y ane est fondée sur la manipulation des fontions de masse (ou masse élémen taire de ro y ane). Les fontions de masse son t dénies sur l'ensem ble de toutes les disjontions du adre de disernemen t Θ = { C 1 , . . . , C n } et à v aleurs dans [0 , 1] , où les C i représen ten t les h yp othèses supp osées exhaustiv es et exlusiv es. Cet ensem ble est noté 2 Θ . Généralemen t, il est a jouté une ondition de normalité, donnée par : X X ∈ 2 Θ m j ( X ) = 1 , (1) où m j ( . ) représen te la fontion de masse p our une soure (ou un exp ert) S j , j = 1 , ..., M . Les élémen ts X tels que m ( X ) > 0 son t app elés les élémen ts fo aux. La première diulté est don de dénir es fontions de masse selon le problème. A partir de es fontions de masse, d'autres fontions de ro y ane p euv en t être dénies, telles que les fontions de rédibilité, représen tan t l'in tensité que toutes les soures roien t que les élémen ts fo aux d'une soure armen t la ro y ane en un élémen t. Elles son t données p our tout X ∈ 2 Θ par : b el( X ) = X Y ∈ 2 X ,Y 6 = ∅ m ( Y ) , (2) ou enore les fontions de plausibilité, représen tan t l'in tensité a v e laquelle on ne doute pas en un élémen t, données p our tout X ∈ 2 Θ par : pl( X ) = X Y ∈ 2 Θ ,Y ∩ X 6 = ∅ m ( Y ) = b el(Θ) − b el( X c ) = 1 − m ( ∅ ) − b el( X c ) , (3) où X c est le omplémen taire de X . An de onserv er un maxim um d'informations, il est préférable de rester à un niv eau rédal ( i.e. de manipuler des fontions de ro y ane) p endan t l'étap e de om binaison des informations p our prendre la déision sur les fontions de ro y ane issues de la om binaison. Si la déision prise par le maxim um de rédibilité p eut être trop p essimiste, la déision issue du maxim um de plausibilité est bien souv en t trop optimiste. Le maxim um de la probabilité pignistique, in tro duite par [20℄, reste le ompromis le plus emplo y é. La probabilité pignistique est donnée p our tout X ∈ 2 Θ , a v e X 6 = ∅ par : b etP( X ) = X Y ∈ 2 Θ ,Y 6 = ∅ | X ∩ Y | | Y | m ( Y ) 1 − m ( ∅ ) . (4) 2 Notons que nous obtenons ainsi une probabilité p eu onforme à la notion de fontion de masse. Le maxim um de probabilité pignistique est généralemen t onsidéré uniquemen t sur les h yp o- thèses singletons C i à ause de l'additivité des probabilités. En eet : b etP( C 1 ∪ C 2 ) ≥ b etP( C i ) , i = 1 , 2 . De la même façon la roissane des fontions de rédibilité et de plausibilité p ousse à prendre une déision uniquemen t sur les singletons. Si l'appliation autorise à prendre une déision nale sur une disjontion, il est alors préférable de onsidérer les fontions de masse diretemen t ou de dév elopp er une autre fontion de ro y ane non roissan te adaptée à l'appliation. Dans un as général une fontion de ro y ane non roissan te sur le treillis d'inlusion mène à des résultats rapidemen t on tre in tuitif. Il p eut égalemen t être in téressan t de ne plus onsidérer l'unique h yp othèse la plus vraisem blable, mais un sous-ensem bles des h yp othèses les plus vraisem blables [2℄. Cher her à om biner des informations issues de plusieurs soures qui ne son t pas en aord fait bien souv en t apparaître un onit en tre les soures. Ce onit p eut pro v enir d'un manque d'exhaustivité des soures, ou enore d'un manque de abilité de elles-i [1 ℄. Plusieurs ap- pro  hes son t en visageables p our gérer e onit. Dans le as d'un manque d'exhaustivité des soures, une appro  he lassique est la te hnique du he dging qui onsiste à a jouter un élémen t au adre de disernemen t. Lorsque la abilité des soures p eut être estimée, une appro  he onsiste à aaiblir les masses selon ette abilité. Cep endan t, depuis le problème p osé par Zadeh, que nous reprendrons plus loin, de nom breuses règles de om binaison on t été prop osées an de manager le onit [23, 7 , 19, 10, 21, 12, 11 , 3 , 18, 8℄. Nous prop osons ii une nouv elle règle qui a p our prinip e de répartir le onit prop or- tionnellemen t sur les élémen ts pro duisan t e onit. Dans un premier temps nous rapp elons les diéren tes règles de om binaison, puis nous mon trons en quoi il p eut être in téressan t de onsidérer ette nouv elle règle. Les diéren tes règles prop osées au ours de es dernières années p euv en t être p erforman tes selon les appliations onsidérées. Dans une dernière partie, nous étudions le omp ortemen t de es règles en terme de déision, dans le adre de deux appliations à partir de données réelles : en imagerie Sonar et en reonnaissane de ibles Radar. 2 La om binaison Diéren tes appro  hes de om binaison des fontions de masse on t été prop osées. La règle orthogonale de Dempster-Shafer non normalisée prop osée par Smets [19℄, est dénie p our deux fontions de masse m 1 et m 2 et p our tout A ∈ 2 Θ par : m Conj ( A ) = X B ∩ C = A m 1 ( B ) m 2 ( C ) := ( m 1 ⊕ m 2 )( A ) . (5) Elle est donnée p our M exp erts, p our tout X ∈ 2 Θ par : m Conj ( X ) = X Y 1 ∩ ... ∩ Y M = X M Y j =1 m j ( Y j ) := ( M ⊕ j =1 m j )( A ) , (6) 3 où Y j ∈ 2 Θ est un élémen t fo al de la fontion de masse de l'exp ert j , et m j ( Y j ) la masse asso iée. Cette op érateur est asso iatif et omm utatif. La masse aetée sur l'ensem ble vide s'in ter- prète omme une mesure de onit. Ce onit p eut pro v enir d'un manque d'exhaustivité des soures, ou enore d'un manque de abilité [1 ℄. Dans le premier as le fait d'a v oir une masse non n ulle sur l'ensem ble vide (as d'un monde ouv ert) est onev able. Si l'on souhaite rester en monde fermé, la te hnique du he dging onsiste à répartir le onit sur le nouv el élémen t e , et la règle est alors donnée par : m h ( X ) = m Conj ( X ) , ∀ X 6 = ∅ m h ( e ) = m Conj ( ∅ ) . (7) Si les soures ne son t pas ables, lorsqu'il est p ossible de quan tier la abilité de  haune des soures il est imp ortan t de pro éder à un aaiblissemen t en redénissan t les fontions de masse par :  m ′ j ( X ) = α j m j ( X ) , ∀ X ∈ 2 Θ m ′ j (Θ) = 1 − α j (1 − m j (Θ)) . (8) α j ∈ [0 , 1] est le o eien t d'aaiblissemen t de la soure S j qui est alors une estimation de la abilité de l'exp ert S j , év en tuellemen t omme une fontion de X ∈ 2 Θ . Les exp erts p ouv an t s'exprimer dans 2 Θ (s'ils ne son t ni sûrs ni préis), l'apparition de onit est inévitable. En eet, la règle orthogonale n'est pas idemp oten te, ainsi nous p ouv ons dénir un auto- onit d'ordre n p our  haque soure j par : a n ( j ) = n ⊕ k =1 m j ( ∅ ) , (9) où l'op érateur ⊕ est l'op érateur de om binaison onjontiv e de l'équation ( 6) et nous a v ons la propriété : a n ( j ) ≤ a n +1 ( j ) . (10) Initialemen t, Dempster et Shafer on t prop osé une règle orthogonale normalisée, an de rester en monde fermé. Ainsi la répartition du onit se fait de manière uniforme lors de la om binaison, p our tout X ∈ 2 Θ , X 6 = ∅ par : m DS ( X ) = 1 1 − m Conj ( ∅ ) X Y 1 ∩ ... ∩ Y M = X M Y j =1 m j ( Y j ) = m Conj ( X ) 1 − m Conj ( ∅ ) , (11) où Y j ∈ 2 Θ est la rép onse de l'exp ert j , et m j ( Y j ) la fontion de masse asso iée. Smets ne répartit le onit établi sur l'ensem ble vide lors de la om binaison, qu'à l'étap e de déision en prenan t le maxim um de la probabilité pignistique. Il m ultiplie toutes les masses par 1 1 − m Conj ( ∅ ) ( f. équation (3)). Ce ritère de déision présen te un ompromis en tre une déision p essimiste par le maxim um de rédibilité et une déision optimiste par le maxim um de 4 plausibilité, aussi bien en monde ouv ert qu'en monde fermé. Mais es trois ritères pro duisen t la même déision que l'on normalise lors de l'étap e de om binaison ou bien lors de la déision. La gestion du onit p eut ep endan t être réalisée lors de la om binaison de manière diéren te que dans le as de la règle orthogonale normalisée, omme nous le v errons en rapp elan t l'exemple de Zadeh. Ainsi Y ager [23℄ répartit le onit sur l'ignorane totale ( i.e. sur la masse de Θ ) an de rester en monde fermé et onsidère qu'on ne sait rien en as de onit. Ainsi la règle qu'il prop ose est donnée par : m Y ( X ) = m Conj ( X ) , ∀ X ∈ 2 Θ , X 6 = ∅ , X 6 = Θ m Y (Θ) = m Conj (Θ) + m Conj ( ∅ ) m Y ( ∅ ) = 0 . (12) Dans la plupart des appliations, nous  her hons à prendre une déision sur les singletons et non sur l'ensem ble 2 Θ . C'est e qui est réalisé par la déision du maxim um de probabilité pignistique. Ainsi, le problème soulev é par Zadeh ( f. tableau 1) lors d'un fort onit n'est pas résolu, et la déision sur les singletons reste C . T ab. 1  Exemple de Zadeh ∅ A B A ∪ B C Θ m 1 0 0.9 0 0 0.1 0 m 2 0 0 0.9 0 0.1 0 m DS 0 0 0 0 1 0 m Conj 0.99 0 0 0 0.01 0 m Y 0 0 0 0 0.01 0.99 Dub ois et Prade [7 ℄ on t prop osé une gestion plus ne du onit en répartissan t le onit partiel (par exemple issu uniquemen t de deux soures, l'une annonçan t A et l'autre B ) sur les ignoranes partielles ('est-à-dire A ∪ B ). Cette règle est donnée p our tout X ∈ 2 Θ , X 6 = ∅ par : m DP ( X ) = X Y 1 ∩ ... ∩ Y M = X M Y j =1 m j ( Y j ) + X Y 1 ∪ ... ∪ Y M = X Y 1 ∩ ... ∩ Y M = ∅ M Y j =1 m j ( Y j ) , (13) où Y j ∈ 2 Θ est un élémen t fo al de l'exp ert j , et m j ( Y j ) la fontion de masse asso iée. Si nous reprenons l'exemple de Zadeh, nous obtenons : 5 ∅ A B A ∪ B C A ∪ C B ∪ C Θ m DP 0 0 0 0.99 0.01 0 0 0 b el DP 0 0 0 0.99 0.01 0.01 0.01 1 pl DP 0 0.99 0.99 0.99 0.01 1 1 1 b etP DP 0 0.495 0.495 0.99 0.01 0.505 0.505 1 Ainsi a v e le maxim um de probabilité pignistique ou de la plausibilité nous  hoisissons A ou B sans p ouv oir les distinguer à ause de l'égalité des masses données par les diéren ts exp erts sur A et B . Si es masses son t diéren tes la déision est alors p ossible, omme l'illustre l'exemple  hoisi suiv an t : ∅ A B A ∪ B C A ∪ C B ∪ C Θ m 1 0 0.5421 0.0924 0 0.2953 0 0 0.0702 m 2 0 0.2022 0.0084 0 0.6891 0 0 0.1003 m DP 0 0.1782 0.0106 0.0233 0.2815 0.4333 0.0662 0.007 b el DP 0 0.1782 0.0106 0.2120 0.2815 0.8929 0.3583 1 pl DP 0 0.6417 0.1071 0.7185 0.7880 0.9894 0.8218 1 b etP DP 0 0.4088 0.0577 0.4665 0.5335 0.9423 0.5912 1 Sur et exemple la déision prise sera don la lasse C . De manière générale, la répartition du onit p eut s'érire [10, 12, 13 ℄ : m c ( X ) = m Conj ( X ) + w ( X ) m Conj ( ∅ ) , (14) où X X ∈ 2 Θ w ( X ) = 1 . T outes les règles prééden tes p euv en t être vues omme un as partiulier de elle-i, la diulté étan t le  hoix de p oids w ( X ) . De plus ette règle ne fait pas apparaître la gestion ne des onits partiels telle quelle est onsidérée dans la règle de Dub ois et Prade, même s'il est toujours p ossible d'en tenir ompte selon la dénition des p oids w ( X ) . A notre onnaissane les seules règles répartissan t les onits partiels sur les élémen ts don t la om binaison rée le onit, son t la règle du minC prop osée par [ 3℄ et elles prop osées par Dezert et Smaranda he [18 , 8℄. Ces règles p euv en t égalemen t être vues omme des as partiuliers de la répartition du onit total de l'équation (14 ) a v e des p oids  hoisis de manière adéquate. La règle la plus ab outie de Dezert et Smaranda he est la PCR5 donnée p our 2 exp erts par : m PCR5 ( X ) = m 12 ( X )+ X Y ∈ 2 Θ , X ∩ Y = ∅  m 1 ( X ) 2 m 2 ( Y ) m 1 ( X ) + m 2 ( Y ) + m 2 ( X ) 2 m 1 ( Y ) m 2 ( X ) + m 1 ( Y )  , (15) 6 où m 12 ( . ) est la om binaison orthogonale p our deux exp erts, et le dénominateur est non n ul. L'extension à M exp erts p eut s'érire : m PCR5 ( X ) = m Conj ( X ) + M X i =1 m i ( X ) X M − 1 ∩ k =1 Y σ i ( k ) ∩ X = ∅ ( Y σ i (1) ,...,Y σ i ( M − 1) ) ∈ (2 Θ ) M − 1 M − 1 Y j =1 m σ i ( j ) ( Y σ i ( j ) ) 1 l j >i ! Y Y σ i ( j ) = X m σ i ( j ) ( Y σ i ( j ) ) X Z ∈{ X,Y σ i (1) ,...,Y σ i ( M − 1) } Y Y σ i ( j ) = Z  m σ i ( j ) ( Y σ i ( j ) ) .T ( X = Z,m i ( X ) )  , (16) où σ i prend des v aleurs de 1 à M selon i :  σ i ( j ) = j si j < i, σ i ( j ) = j + 1 si j ≥ i, (17) et :  T ( B , x ) = x si B est vraie , T ( B , x ) = 1 si B est fausse . (18) Si nous reprenons l'exemple de Zadeh, ette règle donne : m PCR5 ( A ) = 0 . 486 , m PCR5 ( B ) = 0 . 486 , m PCR5 ( C ) = 0 . 028 . La masse équiv alen te sur A et B pro vien t des masses initiales des deux exp erts, p our lev er l'indétermination il sut d'une légère diérene en tre les deux exp erts. 3 Une nouv elle règle de om binaison répartissan t le onit La règle prééden te (équation (16)) n'est pas toujours satisfaisan te omme nous le mon trons dans les onsidérations i-dessous. Ainsi nous a v ons prop osé une autre extension à M exp erts (équiv alen te dans le as de deux exp erts) : m PCR MO ( X ) = m Conj ( X ) + M X i =1 m i ( X ) 2 X M − 1 ∩ k =1 Y σ i ( k ) ∩ X = ∅ ( Y σ i (1) ,...,Y σ i ( M − 1) ) ∈ (2 Θ ) M − 1        M − 1 Y j =1 m σ i ( j ) ( Y σ i ( j ) ) m i ( X ) + M − 1 X j =1 m σ i ( j ) ( Y σ i ( j ) )        , (19) où σ est déni par l'équation (17 ). 7 Nous p ouv ons prop oser deux règles enore plus générales données par : m PCR MOf ( X ) = m c ( X )+ M X i =1 m i ( X ) f ( m i ( X )) . X ( Y 1 ,...,Y M − 1 ) ∈ (2 Θ ) M − 1 \{ X M − 1 } ∩ M − 1 k =1 Y k ∩ X = ∅ M − 1 Y j =1 m σ i ( j ) ( Y σ i ( j ) ) f ( m i ( X )) + M − 1 X j =1 f ( m σ i ( j ) ( Y σ i ( j ) )) , (20) a v e les mêmes notations que dans l'équation (19), et f est une fontion roissan te dénie sur ]0 , 1] et à v aleurs dans I R + ∗ . m PCR MOg ( X ) = m c ( X )+ M X i =1 m i ( X ) g ( m i ( X )) . X ( Y 1 ,...,Y M − 1 ) ∈ (2 Θ ) M − 1 \{ X M − 1 } ∩ M − 1 k =1 Y k ∩ X = ∅ M − 1 Y j =1 m σ i ( j ) ( Y σ i ( j ) ) g m i ( X ) + M − 1 X j =1 m σ i ( j ) ( Y σ i ( j ) ) ! , (21) a v e les mêmes notations que dans l'équation (19), et g est une fontion roissan te dénie sur ]0 , 1] et à v aleurs dans I R + ∗ . P ar exemple, f ( x ) = g ( x ) = x α , a v e α ∈ I R + . Sur es deux dernières règles, la diulté du  hoix de la fontion f ou g s'apparen te à elle du  hoix des p oids dans l'équation (14 ). 3.1 Remarques sur ette nouv elle règle de om binaison  Le problème prinipal des règles de redistribution du onit est p eut-être la non-asso iativité. Prenons l'exemple de trois exp erts et de deux lasses donné par : ∅ A B Θ Exp ert 1 0 1 0 0 Exp ert 2 0 0 1 0 Exp ert 3 0 0 1 0 En fusionnan t l'exp ert 1 et 2 puis l'exp ert 3, la règle donne : m 12 ( A ) = 0 . 5 , m 12 ( B ) = 0 . 5 , et m (12)3 ( A ) = 0 . 25 , m (12)3 ( B ) = 0 . 75 . 8 Main tenan t, si nous fusionnons l'exp ert 2 et 3 puis l'exp ert 1, la règle donne : m 23 ( A ) = 0 , m 23 ( B ) = 1 , et m (12)3 ( A ) = 0 . 5 , m (12)3 ( B ) = 0 . 5 . Ainsi le résultat est bien diéren t. De plus a v e l'équation (16) nous obtenons : m (123) ( A ) = 1 / 2 , m (123) ( B ) = 1 / 2 , et a v e la règle PCR MO nous obtenons : m (123) ( A ) = 1 / 3 , m (123) ( B ) = 2 / 3 , qui est un résultat plus in tuitif. L'asso iativité p eut être imp ortan te en fusion dynamique. Cep endan t, lors de la fusion dynamique il est ouran t d'aaiblir les masses an de tenir ompte plus faiblemen t des a vis des exp erts s'étan t exprimé il y a longtemps. La PCR MO le fait naturellemen t, ertes sans a v oir le  hoix des p oids d'aaiblissemen t, mais il est aussi reommandable dans la mesure du p ossible de pro éder à un aaiblissemen t a v an t la om binaison.  Le onit n'est pas seulemen t redistribué sur les singletons. En eet, prenons par exemple trois exp erts : A ∪ B B ∪ C A ∪ C Θ Exp ert 1 0.7 0 0 0.3 Exp ert 2 0 0 0.6 0.4 Exp ert 3 0 0.5 0 0.5 Le onit est ii donné par 0.7 × 0.6 × 0.5=0.21, a v e la règle PCR MO nous obtenons : m (123) ( A ) = 0 . 21 , m (123) ( B ) = 0 . 14 , m (123) ( C ) = 0 . 09 , m (123) ( A ∪ B ) = 0 . 14 + 0 . 21 . 7 18 ≃ 0 . 2 2 2 , m (123) ( B ∪ C ) = 0 . 06 + 0 . 21 . 6 18 = 0 . 13 , m (123) ( A ∪ C ) = 0 . 09 + 0 . 21 . 5 18 ≃ 0 . 1 4 7 , m (123) (Θ) = 0 . 06 . Nous obtenons ainsi la lasse A quelque soit le ritère de déision : 9 ∅ A B A ∪ B C A ∪ C B ∪ C Θ m (123) 0 0.21 0.14 0.2217 0.09 0.1483 0.13 0.06 b el (123) 0 0.21 0.14 0.5717 0.09 0.4483 0.36 1 pl (123) 0 0.64 0.5517 0.91 0.4283 0.86 0.79 1 b etP (123) 0 0.415 0.3358 0.7508 0.2492 0.6642 0.585 1  La PCR MO app orte des déisions qui p euv en t être diéren tes des autres règles de om bi- naison répartissan t le onit. Reprenons l'exemple  hoisi prééden t : ∅ A B A ∪ B C A ∪ C B ∪ C Θ m 1 0 0.5421 0.0924 0 0.2953 0 0 0.0702 m 2 0 0.2022 0.0084 0 0.6891 0 0 0.1003 m PCR MO 0 0.5421 0.0924 0 0.2953 0 0 0.0702 b el PCR MO 0 0.5421 0.0924 0.6345 0.2953 0.8374 0.3877 1 pl PCR MO 0 0.6123 0.1626 0.7047 0.3655 0.9076 0.4579 1 b etP PCR MO 0 0.5655 0.1158 0.6813 0.3187 0.8842 0.4345 1 Sur et exemple la lasse reten ue par la PCR MO sera don la lasse A , on trairemen t à la règle de om binaison de Dub ois et Prade (équation ( 13 ) qui donne la lasse C . En dehors des onsidérations philosophiques sur l'in térêt de rep orter les onits partiels sur les ignoranes partielles puis sur les singletons lors de l'étap e de déision ou l'in térêt de rep orter eux-i diretemen t sur les singletons lors de l'étap e de om binaison, e qui imp orte est la règle donnan t les meilleures p erformanes. L'exemple prééden t mon tre qu'il existe des situations dans lesquelles la déision est diéren te sans p our autan t qu'il soit p ossible de dire quelle règle est la meilleure. P our e faire nous allons étudier le omp ortemen t de es règles dans le adre de deux appliations où la réalité est supp osée onn ue dans la setion 4. 3.2 La om binaison des fontions de ro y ane à v aleurs réelles en répartissan t le onit L'artile réen t de Ph. Smets [22℄ prop ose l'extension des fontions de ro y ane sur les nom bres réels. Cette extension ouvre la p orte à de nom breuses appliations des fontions de ro y ane dans le domaine on tin u telles que l'estimation ou le suivi de ibles. Les fontions de masse à v aleurs réelles son t dénies sur des in terv alles, par exemple de I R. P our les mêmes raisons que dans le domaine disret, les exp erts donnan t une masse sur des in terv alles disjoin ts en tren t en onit. La om binaison de Smets [22℄ p our deux exp erts s'expriman t sur [ a 1 , b 1 ] et sur [ a 2 , b 2 ] , 10 don t l'in tersetion non vide est donnée par [ a 1 , b 1 ] ∩ [ a 2 , b 2 ] = [max( a 1 , a 2 ) , min( b 1 , b 2 )] = [ a, b ] est donnée par : m Conj ([ a, b ]) = Z a x = −∞ Z + ∞ y = b m 1 ([ x, b ]) m 2 ([ a, y ]) dy dx + Z a x = −∞ Z + ∞ y = b m 1 ([ a, y ]) m 2 ([ x, b ]) dy dx + m 1 ([ a, b ]) Z a x = −∞ Z + ∞ y = b m 2 ([ x, y ]) dy dx + m 2 ([ a, b ]) Z a x = −∞ Z + ∞ y = b m 1 ([ x, y ]) dy dx. (22) Ainsi le onit total, étan t la masse attribuée sur l'ensem ble vide, est donné par : m Conj ( ∅ ) = Z + ∞ z = −∞  Z z x = −∞ Z + ∞ y = z m 1 ([ x, z ]) m 2 ([ z , y ]) dy dx + Z z x = −∞ Z + ∞ y = z m 1 ([ z , y ]) m 2 ([ x, z ]) dy dx  dz . (23) Cette règle de om binaison reste non idemp oten te. Ainsi nous p ouv ons redénir l'auto-onit par l'équation (9 ). La PCR MO p eut don a v oir un in térêt, partiulièremen t dans les as de onit imp ortan t. Elle s'érit dans le as de deux exp erts par : m PCR ([ a, b ]) = m Conj ([ a, b ]) + m 1 ([ a,b ]) 2 Z + ∞ x = b Z + ∞ y = x m 2 ([ x, y ]) dy dx m 1 ([ a,b ])+ Z + ∞ x = b Z + ∞ y = x m 2 ([ x, y ]) dy dx + m 2 ([ a,b ]) 2 Z + ∞ x = b Z + ∞ y = x m 1 ([ x, y ]) dy dx m 2 ([ a,b ])+ Z + ∞ x = b Z + ∞ y = x m 1 ([ x, y ]) dy dx + m 1 ([ a,b ]) 2 Z a x = −∞ Z a y = x m 2 ([ x, y ]) dy dx m 1 ([ a,b ])+ Z a x = −∞ Z a y = x m 2 ([ x, y ]) dy dx + m 2 ([ a,b ]) 2 Z a x = −∞ Z a y = x m 1 ([ x, y ]) dy dx m 2 ([ a,b ])+ Z a x = −∞ Z a y = x m 1 ([ x, y ]) dy dx (24) 3.3 L'espae de dénition des fontions de masse Au lieu de onsidérer l'ensem ble de toutes les disjontions de l'espae de disernemen t 2 Θ , il est p ossible de onsidérer l'ensem ble de toutes les disjontions et de toutes les onjontions de l'espae de disernemen t, et ensem ble étan t noté D Θ [6℄. Nous autorisons ainsi des in tersetions non vide en tre deux élémen ts de l'espae de disernemen t. Les masses issues des onits partiels apparaissen t don sur des élémen ts de D Θ et ne son t don plus réparties sur les élémen ts de 2 Θ . 11 Selon les appliations, il est p ossible de ne onsidérer des in tersetions non n ulles seulemen t p our une partie des élémen ts de 2 Θ . Ainsi, les règles de om binaison préédemmen t présen tées p euv en t s'érire failemen t en onsidéran t des lasses d'équiv alene au lieu des égalités. Du fait de la roissane des fontions de déision (rédibilité, plausiblité et probabilité pignistique) la déision ne p eut être prise sur les élémen ts de D Θ orresp ondan t à des in terse- tions. Cep endan t, ertaines appliations, omme en traitemen t des images [ 16 ℄ où deux lasses p euv en t se renon trer sur la zone d'in térêt onsidérée, p euv en t néessiter la manipulation d'un tel espae. Dans le adre des fontions de masses on tin ues, lorsqu'il est p ossible de se on ten ter de la om binaison des in terv alles de manière disrète, l'in tersetion des in terv alles prend tout son sens et là enore il p eut être in téressan t de onsidérer D Θ . 4 Appliations Nous présen tons ii deux appliations dans lesquelles la répartition du onit p eut a v oir un in térêt. La première est liée à la aratérisation des fonds sous-marin à partir d'images Sonar, la seonde onerne la lassiation de ibles aériennes à partir de données Radar. 4.1 Classiation des images Sonar Les images Sonar son t obten ues à partir des mesures temp orelles faites en traînan t à l'arrière d'un bateau un Sonar qui p eut être latéral, fron tal, ou m ultifaiseaux. Chaque signal émis est réé hi sur le fond puis reçu sur l'an tenne du Sonar a v e un déalage et une in tensité v ariable. P our la reonstrution sous forme d'images un grand nom bre de données ph ysiques (géométrie du disp ositif, o ordonnées du bateau, mouv emen ts du Sonar, ...) est pris en ompte, mais es données son t en ta hées des bruits de mesures dues à l'instrumen tation. A ei viennen t s'a jouter des in terférenes dues à des tra jets m ultiples du signal (sur le fond ou la surfae), à des bruits de  hatoiemen t, ou enore à la faune et à la ore. Les images son t don en ta hées d'un grand nom bre d'imp erfetions telles que l'impréision et l'inertitude. Il est alors diile p our un exp ert h umain de aratériser préisémen t et a v e ertitude les fonds marins à partir de telles images. Cep endan t, en milieu sous-marin les apteurs optiques ne p ermetten t pas d'imager rapidemen t et de grandes surfaes les fonds, e qui est néessaire p our de nom breuses appliations telles que la na vigation de rob ots autonomes. Il est don néessaire de prop oser des appro  hes de lassiations automatiques des images Sonar. Nous p ouv ons distinguer 5 t yp es de sédimen ts : les ro  hes, le sable, la v ase, les ailloutis (zone de p etites ro  hes sur du sable ou v ase), et les rides (de sable ou de v ase, aratérisées par une texture partiulière). La réalité n'étan t pas onn ue préisémen t, nous a v ons onstitué une base de données à partir de l'a vis de diéren ts exp erts en leur demandan t d'indiquer la ertitude de l'information fournie (en terme de sûr, mo y ennemen t sûr et pas sûr). La gure 1 présen te le résultat de la segmen tation obten ue par deux exp erts, les ouleurs indiquan t les diéren ts t yp es de sédimen ts p our une ertitude. Nous onstatons ainsi le manque de préision de la segmen tation et l'inertitude des exp erts sur leur lassiation. 12 Fig. 1  A vis de deux exp erts sur la même image. 4.1.1 L'extration de aratéristiques disriminan tes La première étap e de la lassiation est l'extration de paramètres disriminan ts. Les images Sonar étan t texturées, nous allons  her her à aratériser ette texture. La texture d'une image ou d'une partie d'une image est dénie par une ressem blane globale qui p eut être vue omme la rép étition d'un motif plus ou moins grand, p ouv an t omp orter des diérenes lo ales très imp ortan tes. La texture doit don être aratérisée au niv eau de la globalité de la partie onsidérée et non au niv eau du pixel. Ainsi, des imagettes de taille v ariable (par exemple 16 × 16 pixels, ou 32 × 32 pixels) son t onsidérées p our la aratérisation de la texture. L'extration de aratéristiques de texture sur des images p eut être réalisée à partir de diéren tes métho des de déomp osition de l'image telle que les matries de o-o urrene, les déomp ositions en ondelettes, par exemple à partir des ltres de Gab or, ou enore les longueurs de plage [14℄. Une fois l'image déomp osée diéren ts paramètres p euv en t être alulés tels que énergie, en tropie, homogénéité, et. Dans et artile nous onsidérons une déomp osition à partir des matries de o-o urene qui par ailleurs on t donné de b ons résultats [14 ℄. Une matrie de o-o urrene est obten ue par une estimation des probabilités de transition de niv eaux gris en tre deux pixels situés à une distane donnée (ii de un pixel) selon diéren tes diretions d : 0, 45, 90 et 135 degrés. Cette matrie C d est don une matrie arrée a y an t p our taille le nom bre de niv eaux de gris onsidéré n g . A partir de ette déomp osition Harali k [9℄ a prop osé 14 paramètres, nous en a v ons reten u 6 : l'homogénéité, le on traste, l'en tropie, la orrélation, la diretivité, et l'uniformité. L' homo généité est donnée par : n g X i =1 n g X j =1 C 2 d ( i, j ) , (25) qui a une v aleur élev ée p our des images uniformes, ou p ossédan t une texture p ério dique dans le sens de la translation d . Le  ontr aste qui aratérise des probabilités de transition élev ées p our des pixels a y an t une 13 grande diérene de niv eau de gris, est donné par : 1 n g − 1 n g − 1 X k = o k 2 n g X i,j = 1 , | i − j | = k C d ( i, j ) . (26) L' entr opie qui reste faible s'il y a p eu de probabilités de transition élev ées dans la matrie, est estimée par : 1 − n g X i =1 n g X j =1 C d ( i, j ) ln( C d ( i, j )) . (27) La  orr élation en tre les lignes et les olonnes de la matrie est alulée par : 1 σ x σ y      n g X i =1 n g X j =1 ( i − m x )( j − m y ) C d ( i, j )      , (28) où m x , m y , σ x , et σ y son t resp etiv emen t les mo y ennes et éart-t yp es des lignes et de olonnes de la matrie C d . La dir e tivité sera élev ée si la texture présen te une diretion privilégiée dans le sens de la translation d : n g X i =1 C d ( i, i ) . (29) L' uniformité aratérise la prop ortion d'un même niv eau de gris dans l'image : n g X i =1 C 2 d ( i, i ) . (30) Après une étude de es paramètres sur les images Sonar, nous a v ons onstaté que la taille des imagettes a p eu d'inuene sur la séparation des histogrammes selon les lasses. De même la diretion de translation d n'inuene pas ou p eu la séparation des lasses. En eet, seules les rides p euv en t a v oir des diretions privilégiées, ep endan t nous ne  her hons pas à séparer les rides v ertiales des rides obliques, mais simplemen t les rides des autres lasses. Ainsi, nous a v ons  hoisi de onsidérer les six paramètres dérits i-dessus en prenan t la mo y enne arithmétique sur les quatre diretions de d . La gure 2 mon tre la diulté qu'il p eut déouler de la lassiation à partir de tels pa- ramètres p our les images Sonar. En eet, nous onstatons que p our l'en tropie seule la v ase se distingue des autres sédimen ts, alors que p our la orrélation il y a un fort reouvremen t. Cette onfusion du t yp e de sédimen t par un paramètre en traîne un auto-onit de e paramètre, e qui v a générer du onit lors de la om binaison. Ces deux gures résumen t bien le omp ortemen t des quatre autres paramètres. 14 Fig. 2  Corrélation et en tropie. 4.1.2 Mo délisation des fontions de masse Une première appro  he p ossible p our les fontions de masse est elle prop osée par Den÷ux [5, 24℄ :  m p ( C i | x ( t,k ) )( x ) = α ip exp  γ i d 2 ( x, x ( t,k ) )  m p (Θ | x ( t,k ) )( x ) = 1 − α ip exp  γ i d 2 ( x, x ( t,k ) )  (31) où C i est la lasse asso iée à x ( t,k ) ( i.e. d ( t,k ) = C i ), et x ( t,k ) son t les k v eteurs d'appren tissage les plus pro  hes de la v aleur x du paramètre p . α ip est un o eien t d'aaiblissemen t, et g amma i un o eien t de normalisation qui p euv en t être optimisés [24 ℄. Les fontions de masse des paramètres de texture p euv en t aussi être dénies à partir des histogrammes normalisés obten us p our un exp ert. Notons d p i ( x ) le nom bre d'imagettes de la lasse C i don t le paramètre de texture p donne x . La normalisation prop osée est : d p i ( x ) / max x ( P i d p i ( x )) . Ainsi la masse p our un paramètre p et p our une lasse C i est don- née par :            m p ( C i ) = d p i ( x ) max x ( X i d p i ( x )) m p (Θ) = 1 − X i m p ( C i ) . (32) 4.1.3 Résultats Notre base d'images Sonar est omp osée de 42 images fournies par le GESMA (Group e d'Etudes Sous-Marines de l'A tlan tique). Ces images on t été obten ues à partir d'un Sonar latéral Klein 5400 a v e une résolution de 20 à 30 m en azim ut et 3 m en range dans des profondeurs allan t de 15 m à 40 m. Ces images on t été segmen tées par diéren ts exp erts. L'estimation des masses p our  haque paramètre et selon le t yp e de sédimen t est eetuée à partir de l'information 15 donnée par un exp ert, tandis que les tests son t réalisés à partir des informations fournies par un seond exp ert. Nous ne onsidérons ii que des imagettes de taille 32 × 32 pixels ne omp ortan t qu'un seul t yp e de sédimen t an d'obtenir des matries de onfusion lassiques. Nous obtenons ainsi une base de 30294 imagettes p our l'exp ert fournissan t l'appren tissage et de 30745 imagettes p our le seond exp ert. Cinq t yp es de sédimen ts son t onsidérés : ro  he (10%), ailloutis (5%), ride (13%), sable (27%) et v ase (45%). Le tableau 2 présen te les résultats de lassiation issue de la fusion selon les règles de om binaison orthogonale, de Dub ois et Prade et de la PCR MO , des fontions de masse dénies p our  haque paramètre par l'équation (31 ) ou par l'équation (32 ). Il faut prendre garde à es p ouren tages qui p euv en t paraître faibles. L'év aluation de la lassiation des images Sonar est déliate, p our une év aluation plus ne le leteur p eut se rep orter à [15℄. T ab. 2  P ouren tage de b onne lassiation par t yp e de sédimen t. Ro  he Cailloutis Ride Sable V ase Global m Conj 27.0388 18.4974 24.4464 11.3517 20.0870 18.78 équation (31 ) m DP 16.1290 22.8230 20.0174 21.8504 18.4912 19.72 m PCR MO 14.0993 19.1235 16.0226 26.5912 25.4023 22.64 m Conj 23.3323 0 4.7741 79.8283 79.7774 61.55 équation (32 ) m DP 23.3645 0 4.7741 79.8165 79.7774 61.55 m PCR MO 28.6819 0 8.1273 81.0280 77.2168 61.66 Nous onstatons que l'appro  he prop osée par l'équation (31 ) donne de faibles p ouren tages en général mais que les résultats p our les lasses faiblemen t représen tées son t meilleurs que eux donnés par l'équation (32 ) (par exemple p our les ailloutis ou les rides). La omparaison des trois appro  hes de om binaison mon tre que la répartition du onit app orte de meilleurs résultats qui son t signiativ emen t meilleurs même dans le as de l'équation ( 32 ) étan t donné le grand nom bre d'imagettes. Dans une optique d'amélioration des p ouren tages il est p ossible de om biner les masses issues des diéren tes métho des de om binaison ou bien de om biner es lassieurs tel que nous l'a v ons prop osé dans [ 14℄. 4.2 Classiation de ibles Radar 5 Conlusions Nous a v ons présen té une nouv elle règle de om binaison en répartissan t les onits partiels sur les élémen ts le pro duisan t. Les omp ortemen ts et propriétés de ette règle on t été étudiés en omparaison a v e les règles existan tes. Cette règle p eut être appliquée dans de nom breuses 16 situations lorsque le onit est imp ortan t ou non, en disret ou en on tin ue, ou enore dans le adre de la fusion statique ou dynamique. Nous a v ons présen té les résultats de ette nouv elle om binaison dans le adre de deux appliations : en imagerie Sonar et en lassiation de ibles Radar. Les taux de lassiation mon tren t que la répartition du onit app orte de meilleurs résultats que les règles préédemmen t in tro duites dans la littérature. Ces résultats ne garan- tissen t pas que les p erformanes de la nouv elle règle de om binaison seron t les meilleures dans toutes les appliations, mais mon tren t l'in térêt de elle-i dans ertaines appliations. Référenes [1℄ A. Appriou. Dé ision et R e  onnaissan e des formes en signal ,  hapter Disrimination m ultisignal par la théorie de l'évidene, pages 219258. Hermès Siene Publiation, 2002. [2℄ A. Appriou. Appro  he générique de la gestion de l'inertain dans les pro essus de fusion m ultisenseur. T r aitement du Signal , 22 :307319, 2005. [3℄ M. Daniel. Appli ations and A dvan es of DSmT for Information F usion ,  hapter Com- parison b et w een DSm and MinC om bination rules, pages 223241. Amerian Resear h Press Rehob oth, 2004. [4℄ A.P . Dempster. 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