Categories. Beginning Course (in Russian)

Êàòåãîðèè. Íà ÷àëüíûé êóðñ  .Â. Êîíäðàòüåâ 23 îêò ÿáð ÿ 2018 ã . Àííîò àöèÿ Ò åîðèÿ ê àòåãîðèé â  îññèè íå âõ î äèò â ó÷åáíûå ïðîãðàììû óíèâåðñèòå- òîâ è â òî æ å âðåìÿ ÿâëÿåòñ ÿ óíäàìåíò àëüíîé è íåîá õ î äèìîé ÷àñòüþ ìà- òåìàòè÷åñê îãî îáðàçîâàíèÿ. Ó÷åáíîå ïîñîáèå ðàññ÷èò àíî íà ïåðâîå îçíî- ê îìëåíèå ñ òåîðèåé ê àòåãîðèé øèðîê îãî êðóã à ÷èò àòåëåé, øê îëüíèê îâ, ñòó äåíòîâ, íà ó÷íûõ ðàáîòíèê îâ ðàçíûõ ñïåöèàëüíîñòåé. Îã ëàâëåíèå 1 Êàòåãîðèè è óíêòîðû 2 1.1 Îïðåäåëåíèå ê àòåãîðèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Ñïåöèàëüíûå îáúåêòû è ñòðåëêè . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Ôóíêòîðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Åñòåñòâåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 2-ê àòåãîðèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Ýêâèâàëåíòíîñòè â 2-ê àòåãîðèè . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Ïðåäñò àâèìûå óíêòîðû 19 2.1 Ïðåäñò àâèìûå óíêòîðû. Âëî æ åíèå Éîíåäû . . . . . . . . 19 2.2 Ïðåäåëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Êîïðåäåëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4 Ñîïð ÿæ åííûå óíêòîðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5 Ñîïð ÿæ åííîñòü â 2-ê àòåãîðèè . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 Ò åíçîðíûå ê àòåãîðèè 42 3.1 Îïðåäåëåíèå òåíçîðíîé ê àòåãîðèè . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2 (Êî)ìîíîèäû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3 (Êî)ìîíàäû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.4 (Êî)àëãåáðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.5 Àëãåáðû Õîïà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1  ëàâà 1 Êàòåãîðèè è óíêòîðû Êàòåãîðèè ãðàè÷åñêè ïðåäñò àâëÿþò ñîáîé îðèåíòèðîâàííûå ãðàû, ðåá- ðà ê îòîðûõ ìî æíî ïåðåìíî æ àòü, è ýòî óìíî æ åíèå àññîöèàòèâíî. Íî â îò ëè÷èè îò òåîðèè ãðàîâ â òåîðèè ê àòåãîðèé íå èíòåðåñóþòñ ÿ ò àêèìè ãåîìåòðè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè ê àê, íàïðèìåð, ÷èñëî ê îìïîíåíòîâ ñâÿçíî- ñòè ãðàà èëè äëèíà ìèíèìàëüíîãî ïóòè ìåæäó âåðøèíàìè, à ïåðåõ î äÿò íà áîëåå àáñòðàêòíóþ òî÷êó çðåíèÿ, íàïðèìåð, ñóùåñòâîâàíèÿ îïðåäå- ëåííûõ îáúåêòîâ, ïîñòðîåíèÿ íîâûõ ê àòåãîðèé èç çàäàííîé, âçàèìîîò- íîøåíèÿ ìåæäó îáúåêò àìè, ê àòåãîðèÿìè, è ò àê äàëåå. Ò åîðèÿ ê àòåãîðèé ïðåäëàã àåò ÿçûê äîñò àòî÷íî âûðàçèòåëüíûé äëÿ ìíîãèõ ïîíÿòèé, ê îí- ñòðóêöèé è òåîðèé â ìàòåìàòèê å, ê îòîðûé ÷àñòî äåëàåò ÿâíûìè ê àêèå-òî ñêðûòûå ñòîðîíû òåîðèè è ïîçâîëÿåò ïî íîâîìó âçã ëÿíóòü íà âåùè. 1.1 Îïðåäåëåíèå ê àòåãîðèè Îïðåäåëåíèå 1. Êàòåãîðèÿ K ñîñòîèò èç äâóõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ êëàññîâ K 0 (îáúåêòû) è K 1 (ñòðå ëêè). Êàæäîé ñòðå ëêå f îäíîçíà÷íî ñîïîñòàâëÿåòñÿ åå íà÷àëî d f è êîíåö cf , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ îáúåêòà- ìè, à êàæäî ìó îáúåêòó X åäèíè÷íàÿ ñòðå ëêà 1 X . Ñòðå ëêè îáîçíà÷àþòñÿ f : X → Y èëè X f → Y , ãäå X = d f , Y = cf . Åñ ëè cf = dg , êàê äëÿ ñòðå ëîê f : X → Y è g : Y → Z , òî îïðåäå ëåíà êî ìïîçèöèÿ g ◦ f : X → Z , ÿâëÿþùàÿñÿ ñòðå ëêîé. Ïðè ýòî ì • ( h ◦ g ) ◦ f = h ◦ ( g ◦ f ) 2 (àññîöèàòèâíîñòü) X f / / g ◦ f $ $ I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ( h ◦ g ) ◦ f   = h ◦ ( g ◦ f )   Y g   h ◦ g z z u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u W Z h o o • 1 Y ◦ f = f ◦ 1 X = f (ñâîéñòâî åäèíèöû) X 1 X / / f 7 7 X f / / f # # Y 1 Y / / Y Êàê îáû÷íî, ïî óìî÷àíèþ áó äåì ïðåäïîëàã àòü, ÷òî åñëè çàäàíà äàãðàì- ìà, ñîñòî ÿùàÿ èç îáúåêòîâ è ñòðåëîê, òî îíà êî ììóòàòèâíà , òî åñòü ïðîèçâåäåíèÿ âñåõ ñòðåëîê, âçÿòûõ âäîëü ðàçíûõ ïóòåé ìåæäó äâóìÿ âåðøèíàìè, ñîâïàäàþò . Èíîã äà ó äîáíî ïðèíÿòü ñîã ëàøåíèå, ÷òî ê àæ- äûé îáúåêò äèàãðàììû ñíàá æ åí åùå åäèíè÷íîé ñòðåëê îé.  ýòîì ñëó÷àå ïðîèçâåäåíèå ñòðåëîê, âçÿòûõ âäîëü ïóòè, íà ÷èíàþùåìñ ÿ è çàê àí÷èâà- þùåìñ ÿ â î äíîé âåðøèíå, äîëæíî ðàâíÿòüñ ÿ åäèíèöå, äëÿ òîãî ÷òîáû äèàãðàììà áûëà ê îììóò àòèâíîé. Äðóãîå íàçâàíèå äëÿ ñòðåëîê  ìîðèçìû .  äàëüíåéøåì áó äåì ïîëü- çîâàòüñ ÿ îáîèìè. Ïðèìåðû. 1. Set , ê àòåãîðèÿ ìíî æ åñòâ è óíêöèé ìåæäó íèìè. 2. Set ∗ , ê àòåãîðèÿ ìíî æ åñòâ ñ îòìå÷åííîé òî÷ê îé è óíêöèé, ñî õðà- íÿþùèõ îòìå÷åííóþ òî÷êó . 3. Mon , ê àòåãîðèÿ ìîíîèäîâ è ãîìîìîðèçìîâ. Ìîíîèä ýòî ìíî æ å- ñòâî ñ î äíîé áèíàðíîé àññîöèàòèâíîé îïåðàöèåé è åäèíèöåé.  îìî- ìîðèçì  óíêöèÿ, ñî õðàíÿþùàÿ îïåðàöèþ è åäèíèöó . 4. Grp , ê àòåãîðèÿ ãðóïï è ãîìîìîðèçìîâ. ðóïïà ýòî ìîíîèä, â ê î- òîðîì ê àæäûé ýëåìåíò îáðàòèì. 5. Ab , ê àòåãîðèÿ àáåëåâûõ ãðóïï è ãîìîìîðèçìîâ. Àáåëåâà ãðóïïà ýòî ãðóïïà ñ ê îììóò àòèâíûì ñëî æ åíèåì. 3 6. V ect , ê àòåãîðèÿ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ è ëèíåéíûõ îòîáðàæ åíèé. Âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî ýòî ìíî æ åñòâî, ýëåìåíòû ê îòîðîãî ìî æ- íî ñêëàäûâàòü è óìíî æ àòü íà ÷èñëà. Ëèíåéíîå îòîáðàæ åíèå ýòî îòîáðàæ åíèå, ñî õðàíÿþùåå ñëî æ åíèå è óìíî æ åíèå íà ÷èñëà. 7. T op , ê àòåãîðèÿ òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ è íåïðåðûâíûõ îòîá- ðàæ åíèé. Ò îïîëîãè÷åñê îå ïðîñòðàíñòâî ýòî ìíî æ åñòâî, â ê îòîðîì âûäåëåíû íåê îòîðûå îòêðûòûå ìíî æ åñòâà, ïðåäñò àâëÿþùèå îêðåñò- íîñòè òî÷åê, ó äîâëåòâîð ÿþùèå íåê îòîðûì åñòåñòâåííûì àê ñèîìàì (ê àê, íàïðèìåð, ÷òî ïåðåñå÷åíèå äâóõ îòêðûòûõ ìíî æ åñòâ ñíîâà îòêðûòî, è ò . ä.). Íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ ýòî óíêöèÿ, ó ê îòîðîé ïðîîáðàçû îòêðûòûõ ìíî æ åñòâ îòêðûòû. 8. Graph , ê àòåãîðèÿ (îðèåíòèðîâàííûõ) ãðàîâ è îòîáðàæ åíèé ìåæ- äó íèìè. ðà ïðåäñò àâëÿåò ñîáîé ìíî æ åñòâî âåðøèí, íåê îòîðûå èç ê îòîðûõ ñîåäèíåíû î äíèì èëè áîëåå ðåáðàìè. Îòîáðàæ åíèå ãðà- îâ ýòî îòîáðàæ åíèå, ïåðåâî äÿùåå âåðøèíû â âåðøèíû, à ðåáðà â ðåáðà ñ òîé æ å îðèåíò àöèåé. 9. ( L, < ) , ïðåäóïîð ÿäî÷åííîå ìíî æ åñòâî, ðàññìàòðèâàåìîå ê àê ê àòå- ãîðèÿ. Èìåííî, ñê àæ åì, ÷òî åñòü î äíà ñòðåëê à ìåæäó x, y ∈ L , åñëè x < y , è íè î äíîé ñòðåëêè â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.  ïðåäóïîð ÿäî- ÷åííîì ìíî æ åñòâå ýëåìåíòû ìî æíî ñðàâíèâàòü äðóã ñ äðóãîì, ïðè ýòîì âñåã äà âûïîëíÿåòñ ÿ x < x (ðåëåê ñèâíîñòü) è x < y , y < z äàþò x < z (òðàíçèòèâíîñòü). 10. ∗ , ê àòåãîðèÿ, ñîñòî ÿùàÿ èç î äíîãî îáúåêò à.  ýòîì ñëó÷àå âñå ñòðåë- êè ìî æíî ïåðåìíî æ àòü, è ýòî óìíî æ åíèå àññîöèàòèâíî, òî åñòü ìíî æ åñòâî ñòðåëîê îáðàçó åò ìîíîèä. Çàìå÷àíèå. Âî âñåõ ïðèìåðàõ íå õâàò àåò àê ñèîì â îïðåäåëåíèÿõ îáúåêòîâ ê àòåãîðèè. Åñëè ÷èò àòåëü íå çíàê îì ñ íèìè, òî îí ëåãê î ñìî æ åò èõ íàéòè â ê àê îì-íèáó äü ó÷åáíèê å àëãåáðû èëè òîïîëîãèè. Ââåäåì ìíî æ åñòâî K ( X , Y ) := { f | d f = X , cf = Y } è íàçîâåì åãî H om -ìíî æ åñòâîì. H om -ìíî æ åñòâî îïðåäåëåíî äëÿ ëþáûõ äâóõ îáúåê- òîâ ê àòåãîðèè. Îïðåäåëåíèå 2. Ïî äê àòåãîðèÿ M êàòåãîðèè K ýòî êàòåãîðèÿ, ó êîòîðîé M 0 ⊂ K 0 , M 1 ⊂ K 1 , à çàêîí óìíîæåíèÿ è åäèíè÷íûå ñòðå ëêè òàêèå æå êàê â K . Ïîäêàòåãîðèÿ íàçûâàåòñÿ ïîëíîé , åñ ëè äëÿ ëþáûõ îáúåêòîâ X , Y ∈ M 0 M ( X , Y ) = K ( X , Y ) . 4 Ïîëíàÿ ïî äê àòåãîðèÿ îïðåäåëåíà íàáîðîì ñâîèõ îáúåêòîâ. Íàïðèìåð, åñëè ìû âîçüìåì äâà ìíî æ åñòâà A è B è âñå óíêöèè èç A â A , èç A â B , èç B â A è èç B â B , òî ýòè äàííûå çàäàþò íåê îòîðóþ ïîëíóþ ïî äê àòåãîðèþ ê àòåãîðèè Set .  çàêëþ÷åíèå ïàðàãðàà ïðèâåäåì îðìàëüíîå îïðåäåëåíèå äâîé- ñòâåííîé ê àòåãîðèè, ê îòîðîå óïðîùàåò îðìó ëèðîâêè îïðåäåëåíèé è òåî- ðåì, ã äå ïðèõ î äèòñ ÿ èìåòü äåëî ñ îòîáðàæ åíèÿìè, ìåíÿþùèìè íàïðàâ- ëåíèå ñòðåëîê íà ïðîòèâîïîëî æíîå. Îïðåäåëåíèå 3. Êàòåãîðèÿ K op íàçûâàåòñÿ äâîéñòâåííîé êàòåãî- ðèè K , åñ ëè îíà èìååò òå æå îáúåêòû è ñòðå ëêè, íî óíêöèè âçÿòèÿ íà÷àëà è êîíöà ñòðå ëêè ïåðåñòàâëåíû ìåñòàìè, òî åñòü d K op := c K è c K op := d K (íà÷àëî ì íàçûâàåòñÿ êîíåö, à êîíöî ì íà÷àëî ñòðå ëêè â K ). Ñîîòâåòñòâåííî ïðîèçâåäåíèå ìåíÿåòñÿ íà ïðîòèâîïî ëîæíîå g ◦ K op f := f ◦ K g . Óïðàæíåíèÿ 1. 1. Óáåäèòüñÿ, ÷òî àêñèî ìû êàòåãîðèè (àññîöèàòèâ- íîñòü è åäèíèöà) âûïî ëíÿþòñÿ äëÿ âñåõ ïðèìåðîâ. 2. Äîêàçàòü, ÷òî Ab ⊂ Grp è Grp ⊂ Mon ïî ëíûå ïîäêàòåãîðèè. 3. Ïîêàçàòü, ÷òî êàæäî ìó ìîíîèäó ñîîòâåòñâóåò êàòåãîðèÿ ñ îä- íèì îáúåêòî ì. 4. Óáåäèòüñÿ, ÷òî íèêàêîãî ñîäåðæàòå ëüíîãî ñ ìûñ ëà ñòðå ëêàì â Set ñ ïðîòèâîïî ëîæíûìè íà÷àëî ì è êîíöî ì íå ìîæåò áûòü ïî- ñòàâëåíî. 1.2 Ñïåöèàëüíûå îáúåêòû è ñòðåëêè Îïðåäåëåíèå 4. Ñòðå ëêà f : X → Y íàçûâàåòñÿ • ìîíîñòðåëê îé , åñ ëè íà íåå ìîæíî ñîêð àùàòü ñ ëåâà: f ◦ g = f ◦ h ⇒ g = h , • ýïèñòðåëê îé , åñ ëè íà íåå ìîæíî ñîêð àùàòü ñïð àâà: g ◦ f = h ◦ f ⇒ g = h , • èçîñòðåëê îé , åñ ëè ñóùåñòâóåò îáð àòíàÿ ñòðå ëêà: ∃ f − 1 : Y → X òàêàÿ ÷òî f − 1 ◦ f = 1 X , f ◦ f − 1 = 1 Y . Åñëè ñóùåñòâó åò (õ îò ÿ áû î äíà) èçîñòðåëê à ìåæäó îáúåêò àìè X è Y , òî îíè íàçûâàþòñ ÿ èçîìîðíûìè, è ýòî îáîçíà ÷àåòñ ÿ X ≃ Y . 5 Óïðàæíåíèÿ 2. 1. Ïîêàçàòü, ÷òî â Set ìîíîñòðå ëêè ñîîòâåòñâó- þò èíúåêòèâíûì îòîáð àæåíèÿì (èíúåêòèâíûå îòîáð àæåíèÿ ð àç- äå ëÿþò ý ëå ìåíòû: x 6 = y ⇒ f ( x ) 6 = f ( y ) ), ýïèñòðå ëêè ñþðúåêòèâ- íûì îòîáð àæåíèÿì (îòîáð àæåíèÿì íà), à èçîñòðå ëêè áèåêöèÿì. 2. Äîêàçàòü, ÷òî èçîñòðå ëêà âñåãäà ìîíî- è ýïè-. Ïîêàçàòü, ÷òî îáð àòíîå íåâåðíî íà ïðèìåðå êàòåãîðèè ïðåäïîðÿäêà ( L, < ) . 3. Ïðèâåñòè ïðèìåð èçîñòðå ëîê â êàòåãîðèè. 4. Äîêàçàòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ìîíîñòðå ëîê åñòü ìîíîñòðå ëêà, ïðî- èçâåäåíèå ýïèñòðå ëîê åñòü ýïèñòðå ëêà, ïðîèçâåäåíèå èçîñòðå ëîê åñòü èçîñòðå ëêà. 5. Äîêàçàòü, ÷òî îòíîøåíèå èçî ìîð èçìà ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèå ì ýêâèâàëåíòíîñòè (òî åñòü ðå  ëåêñèâíî X ≃ X , ñèììåòðè÷íî X ≃ Y ⇒ Y ≃ X è òð àíçèòèâíî X ≃ Y è Y ≃ Z ⇒ X ≃ Z ). Îïðåäåëåíèå 5. Îáúåêò 0 íàçûâàåòñÿ íà ÷àëüíûì , åñ ëè ñóùåñòâóåò ðîâíî îäíà ñòðå ëêà èç íåãî â ëþáîé äðóãîé îáúåêò êàòåãîðèè: ∀ X ∈ K 0 ∃ ! f : 0 → X . Åñ ëè, íàîáîðîò, ñóùåñòâóåò òî ëüêî îäíà ñòðå ëêà èç ëþ- áîãî îáúåêòà â äàííûé, òî îí íàçûâàåòñÿ ê îíå÷íûì è îáîçíà÷àåòñÿ 1 . Îáúåêò, ÿâëÿþùèéñÿ îäíîâðå ìåííî íà÷àëüíûì è êîíå÷íûì íàçûâàåòñÿ íó ëåâûì è îáîçíà÷àåòñÿ òàêæå íóëå ì 0 .  ê àòåãîðèè ìî æ åò íå ñóùåñòâîâàòü íè î äíîãî èç ýòèõ îáúåêòîâ, èëè ñóùåñòâîâàòü, äîïó ñòèì, òîëüê î î äèí èç íèõ. Óòâåð æäåíèå 1. Íà÷àëüíûé îáúåêò 0 îïðåäå ëåí îäíîçíà÷íî ñ òî÷íî- ñòüþ äî èçî ìîð èçìà, òî åñòü åñ ëè èìååòñÿ äðóãîé íà÷àëüíûé îáúåêò 0 ′ , òîãäà ñóùåñòâóåò (åäèíñòâåííûé) èçî ìîð èçì ìåæäó íèìè 0 ∃ ! ≃ 0 ′ . Ò î æå ñ àìîå ñïð àâåäëèâî äëÿ êîíå÷íîãî è íóëåâîãî îáúåêòîâ. Óïðàæíåíèÿ 3. 1. Äîêàçàòü ïðèâåäåííîå óòâåðæäåíèå. 2. Íàéòè íà÷àëüíûé è êîíå÷íûé îáúåêòû â êàòåãîðèÿõ ìíîæåñòâ Set è ìíîæåñòâ ñ îòìå÷åííîé òî÷êîé Set ∗ . 3. Íàéòè íóëåâûå îáúåêòû â êàòåãîðèÿõ ãðóïï Grp è âåêòîðíûõ ïðîñòð àíñòâ V ect . 6 1.3 Ôóíêòîðû Ôóíêòîðû èãðàþò ðîëü îòîáðàæ åíèé ìåæäó ê àòåãîðèÿìè, ñî õðàíÿþùèõ ê àòåãîðíóþ ñòðóêòóðó . Îïðåäåëåíèå 6. Ôóíêòîð F : K → L ýòî îòîáð àæåíèå, ïåðåâîäÿùåå îáúåêòû â îáúåêòû, à ñòðå ëêè â ñòðå ëêè, òî åñòü åñ ëè X ∈ K 0 , òî F X ∈ L 0 , è åñ ëè f ∈ K 1 , òî F f ∈ L 1 . Ïðè ýòî ì • F ( d f ) = d ( F f ) , F ( cf ) = c ( F f ) (ñîõð àíåíèå íà÷àëà è êîíöà ñòðå ë- êè), • F ( g ◦ f ) = F g ◦ F f (ñîõð àíåíèå óìíîæåíèÿ äëÿ ñòðå ëîê, äëÿ êî- òîðûõ îíî îïðåäå ëåíî), • F (1 X ) = 1 F X (ñîõð àíåíèå åäèíè÷íûõ ñòðå ëîê). Äðóãèìè ñëîâàìè F ( f : X → Y ) = F f : F X → F Y , F ( X f → Y g → Z ) = F X F f → F Y F g → F Z è F ( X 1 X → X ) = F X 1 F X → F X . Ïðèìåðû. 1. 1 K : K → K , åäèíè÷íûé óíêòîð , ê îòîðûé íàçíà ÷àåò ê àæäî- ìó îáúåêòó ê àòåãîðèè ñàì ýòîò îáúåêò è ê àæäîé ñòðåëê å ñàìó ýòó ñòðåëêó . 2. U : Grp → Set : ( G 7→ | G | ( íà îáúåêò àõ ) ( G f → G ′ ) 7→ ( | G | | f | → | G ′ | ) ( íà ñòðåëê àõ ) ã äå ñèìâîë, îêðóæ åííûé âåðòèê àëüíûìè ëèíèÿìè, îçíà ÷àåò ìíî æ å- ñòâî èëè óíêöèþ, ðàññìàòðèâàåìóþ áåç ê àê îé-ëèáî äîïîëíèòåëü- íîé ñòðóêòóðû. Ôóíêòîð U íàçûâàåòñ ÿ çàáûâàþùèì . Îí çàáûâà- åò ãðóïïîâóþ îïåðàöèþ íà ìíî æ åñòâàõ è òî, ÷òî óíêöèè ìåæäó ãðóïïàìè, ãîìîìîðèçìû. Çàáûâàþùèå óíêòîðû ñâÿçûâàþòñ ÿ îáû÷íî ñ ê àæäîé ê àòåãîðè- åé ñòðóêòóðèðîâàííûõ ìíî æ åñòâ. Ò àê ñóùåñòâóþò T op → Set , V ect → Ab , V ect → Set , è ò àê äàëåå. 3. Ïîñòî ÿííûé óíêòîð ∆ C : K → L ïðèíèìàåò íà âñåõ îáúåêò àõ çíà ÷åíèå C ∈ L 0 è íà âñåõ ìîðèçìàõ çíà ÷åíèå 1 C ∈ L 1 . 4. Íåóáûâàþùàÿ óíêöèÿ f : ( L, < ) → ( L ′ , < ) èç î äíîãî ïðåäóïîð ÿ- äî÷åííîãî ìíî æ åñòâà â äðóãîå ÿâëÿåòñ ÿ óíêòîðîì. 7 5. H om -óíêòîð, îïðåäåëåííûé îáúåêòîì K ∈ K 0 , çàäàåòñ ÿ ê àê H om ( K , − ) : K → Set : ( X 7→ H om ( K , X ) ( íà îáúåêò àõ ) ( X f → Y ) 7→ ( H om ( K , X ) f ∗ → H om ( K , Y )) ( íà ñòðåëê àõ ) ã äå f ∗ ( g ) := f ◦ g . Ôóíêòîð F : K → L èíäóöèðó åò äëÿ ê àæäîé ïàðû îáúåêòîâ X , Y ∈ K 0 îòîáðàæ åíèå F X,Y : K ( X , Y ) → L ( F X , F Y ) . Åñëè äëÿ ê àæäîé ïà- ðû îáúåêòîâ ýòî îòîáðàæ åíèå èíúåêòèâíî (ïåðåâî äèò ðàçíûå ýëåìåíòû â ðàçíûå), òî óíêòîð íàçûâàåòñ ÿ èíúåêòèâíûì , åñëè ñþðúåêòèâíî (îòîáðàæ åíèå íà), òî ñþðúåêòèâíûì èëè ïîëíûì . Óòâåð æäåíèå 2. Êàæäûé óíêòîð ñîõð àíÿåò èçî ìîð èçìû, òî åñòü åñ ëè f åñòü èçî ìîð èçì, òî F f òîæå èçî ìîð èçì. Ýòî ïðîñòîå ïðåäëî æ åíèå ÷àñòî ÿâëÿåòñ ÿ êëþ÷åâûì äëÿ äîê àçàòåëü- ñòâà òîãî, ÷òî äâà îáúåêò à íåèçîìîðíû (èìåííî, åñëè ó äàåòñ ÿ ïîñòðî- èòü óíêòîð â ê àòåãîðèþ, ã äå îáðàçû ýòèõ îáúåêòîâ íåèçîìîðíû). Íà- ïðèìåð, ãðóïïà ñîñòî ÿùàÿ èç äâóõ ýìåíòîâ íå ìî æ åò áûòü èçîìîðíà ãðóïïå, ñîñòî ÿùåé èç òðåõ ýëåìåíòîâ, ò àê ê àê (ïðèìåíÿåì çàáûâàþùèé óíêòîð) ìíî æ åñòâà íåñóùèå ãðóïïîâóþ îïåðàöèþ ýòèõ ãðóïï íå íàõ î- äÿòñ ÿ â áèåêòèâíîì ñîîòâåòñòâèè. Óïðàæíåíèÿ 4. 1. Äîêàçàòü ïðèâåäåííîå óòâåðæäåíèå. 2. Ïîêàçàòü, ÷òî ïî ëíûé óíêòîð ìîæåò íå ñîõð àíÿòü ìîíî- è ýïè- ñòðå ëêè. 3. Äîêàçàòü, ÷òî íåóáûâàþùàÿ óíêöèÿ ìåæäó ïðåäóïîðÿäî÷åííû- ìè ìíîæåñòâàìè ÿâëÿåòñÿ óíêòîðî ì. 4. Äîêàçàòü, ÷òî âëîæåíèå ïîäêàòåãîðèè (â êàòåãîðèþ) ÿâëÿåòñÿ óíêòîðî ì. Ýòîò óíêòîð ïî ëíûé, åñ ëè è òî ëüêî åñ ëè ïîäêàòå- ãîðèÿ ïî ëíàÿ. 5. Óáåäèòüñÿ, ÷òî Set ÿâëÿåòñÿ îáúåêòî ì, à òàêæå ïîäêàòåãîðèåé êàòåãîðèè Cat . 6. Äîêàçàòü, ÷òî H om -óíêòîð ÿâëÿåòñÿ óíêòîðî ì. Óòâåð æäåíèå 3. Ñóùåñòâóåò êàòåãîðèÿ Cat , îáúåêòû êîòîðîé êà- òåãîðèè, à ñòðå ëêè  óíêòîðû ìåæäó íèìè. 8 Ýòî ïðåäëî æ åíèå ïîçâîëÿåò ïðèìåíÿòü òåîðèþ ê àòåãîðèé ê ñàìîé ñåáå. ×àñòî âñòðå÷àþòñ ÿ îòîáðàæ åíèÿ ìåæäó ê àòåãîðèÿìè, ê îòîðûå ó äî- âëåòâîð ÿþò âñåì ñâîéñòâàì óíêòîðà, íî ìåíÿþò ìåñò àìè íà ÷àëî è ê î- íåö ñòðåëîê. Ò àêèå îòîáðàæ åíèÿ íàçûâàþò ê îíòðàâàðèàíòíûìè óíê- òîðàìè èëè ïðåäïó÷ê àìè . Îáû÷íûå óíêòîðû íàçûâàþòñ ÿ òîã äà ê î- âàðèàíòíûìè . Ïðèìåðû. 1. Ò î æäåñòâåííûé ê îíòðàâàðèàíòíûé óíêòîð I : K → K op äåéñòâó åò òî æäåñòâåííî íà îáúåêò àõ è ñòðåëê àõ, íî íà ÷àëî è ê î- íåö ñòðåëîê â K op çàäàþòñ ÿ íàîáîðîò c op := d , d op := c . Ôóíêòîð I èìååò îáðàòíûé I − 1 : K op → K , ê îòîðûé äåéñòâó åò â òî÷íîñòè ïî ò àê îìó æ å ïðàâèëó ê àê è I . Ïîýòîìó , ëþáîìó ê îíòðà- âàðèàíòíîìó óíêòîðó F : K → L áèåêòèâíî ñîîòâåòñâó åò ê îâà- ðèàíòíûé óíêòîð F ◦ I − 1 : K op → L , ê îòîðûé îáîçíà ÷àþò òîé æ å áóêâîé F , è ê îòîðûé îïðåäåëåí íà äâîéñòâåííîé ê àòåãîðèè K op (äðóãèìè ñëîâàìè, ê îíòðàâàðèàíòíûé óíêòîð F : K → L è ê îâà- ðèàíòíûé óíêòîð F : K op → L ñ÷èò àþòñ ÿ î äèíàê îâûìè). 2. Êîíòðàâàðèàíòíûé H om -óíêòîð, îïðåäåëåííûé îáúåêòîì K ∈ K 0 , çàäàåòñ ÿ ê àê H om ( − , K ) : K → Set : ( X 7→ H om ( X , K ) ( íà îáúåêò àõ ) ( X f → Y ) 7→ ( H om ( Y , K ) f ∗ → H om ( X , K )) ( íà ñòðåëê àõ ) ã äå f ∗ ( g ) := g ◦ f . 3. Ìíî æ åñòâî-ñòåïåíü óíêòîð P : Set → Set : ( X 7→ P ( X ) ( íà îáúåêò àõ ) ( X f → Y ) 7→ ( P ( Y ) P ( f ) → P ( X )) ( íà ñòðåëê àõ ) ã äå P ( X ) := { S | S ⊂ X } (ìíî æ åñòâî âñåõ ïî äìíî æ åñòâ), P ( f )( S ′ ) := { x ∈ X | f ( x ) ∈ S ′ } (ïðîîáðàç ïî äìíî æ åñòâà S ′ ⊂ Y ). Óïðàæíåíèÿ 5. 1. Äîêàçàòü óòâåðæäåíèå 3. 2. Ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò çàáûâàþùèé óíêòîð èç êàòåãîðèè Cat â êàòåãîðèþ îðèåíòèðîâàííûõ ãð àîâ Graph (îòîáð àæåíèå ìåæäó ãð à àìè ýòî óíêöèÿ, ïåðåâîäÿùàÿ âåðøèíû â âåðøèíû, 9 à ðåáð à â ðåáð à òàê, ÷òî îïåð àöèè âçÿòèÿ íà÷àëà è êîíöà ðåáð à ñîõð àíÿþòñÿ). 3. Óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðîèçâåäåíèå óíêòîðîâ îäèíàêîâîé âàðèàíòíî- ñòè äàåò êîâàðèàíòíûé óíêòîð, à ð àçíîé âàðèàíòíîñòè  êîí- òð àâàðèàíòíûé. 4. Íàéòè êîâàðèàíòíóþ âåðñèþ óíêòîð à ìíîæåñòâî-ñòåïåíü. 1.4 Åñòåñòâåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ Åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå ìî æíî ïðåäñò àâëÿòü ñåáå ê àê äåîðìàöèþ î äíîãî óíêòîðà â äðóãîé âäîëü ñòðåëîê. Ñî äåð æ àòåëüíî ýòè ñòðåëêè ïðåäñò àâëÿþò îáû÷íî ê àê îå-òî èíâàðèàíòíîå î äèíàê îâîå äëÿ âñåõ îáú- åêòîâ ïðàâèëî. Îïðåäåëåíèå 7. Ïóñòü F : K → L , G : K → L äâà óíêòîð à ìåæäó êàòåãîðèÿìè K è L . Ò îãäà ñå ìåéñòâî L -ñòðå ëîê { F X µ X → GX | X ∈ K 0 } , ïî îäíîé äëÿ êàæäîãî îáúåêòà X èç K , íàçûâàåòñÿ åñòåñòâåííûì ïðåîáðàçîâàíèåì óíêòîð à F â óíêòîð G , åñ ëè äëÿ ëþáîé ñòðå ë- êè ( f : X → Y ) ∈ K 1 äèàãð àììà F Y µ Y / / GY F X µ X / / F f O O GX Gf O O êî ììóòàòèâíà, òî åñòü µ Y ◦ F f = Gf ◦ µ X . Åñòåñòâåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ îáîçíà ÷àþòñ ÿ îáû÷íî äâîéíûìè ñòðåëê à- ìè µ : F ⇒ G . Ñòðåëêè µ X íàçûâàþòñ ÿ ê îìïîíåíò àìè åñòåñòâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ µ . Ïðèìåðû. 1. Åäèíè÷íîå åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå óíêòîðà F : K → L â ñåá ÿ çàäàåòñ ÿ åäèíè÷íûìè ñòðåëê àìè 1 F X , X ∈ K 0 . 2.  àññìîòðèì äâà óíêòîðà: òîæäåñòâåííûé 1 Ab : A b → Ab è óíêòîð êðó÷åíèÿ T or : A b → A b . Ôóíêòîð êðó÷åíèÿ íàçíà ÷àåò ê àæäîé àáåëåâîé ãðóïïå A ïî äãðóïïó êðó÷åíèÿ T or ( A ) := { a ∈ A | ∃ n ∈ N , n 6 = 0 , na = 0 } , à ê àæäîé ñòðåëê å A f → B åå îãðàíè÷åíèå íà ïî äãðóïïó ýëåìåíòîâ íåíó ëåâîãî êðó÷åíèÿ T or ( A ) f | → T or ( B ) . Ò îã äà åñòåñòâåííûì ïðåîáðàçîâàíèåì ÿâëÿåòñ ÿ âêëþ÷åíèå ãðóïï T or ( A ) ֒ → A äëÿ ê àæäîé àáåëåâîé ãðóïïû A . 10 3. Ïó ñòü Rng îáîçíà ÷àåò ê àòåãîðèþ ê îììóò àòèâíûõ ê îëåö è ãîìî- ìîðèçìîâ. Êîììóò àòèâíîå ê îëüöî ýòî ìíî æ åñòâî ñ äâóìÿ ê îììó- ò àòèâíûìè îïåðàöèÿìè, ñëî æ åíèÿ è óìíî æ åíèÿ, ñîã ëàñîâàííûìè ìåæäó ñîáîé äèñòðèáóòèâíûì çàê îíîì a · ( b + c ) = a · b + a · c . Ïó ñòü GL R ( n ) è R ∗ îáîçíà ÷àþò ñîîòâåòñòâåííî ãðóïïó ïî óìíî- æ åíèþ n × n -ìàòðèö ñ ýëåìåíò àìè èç ê îììóò àòèâíîãî ê îëüöà R è ãðóïïó åäèíèö (îáðàòèìûõ ýëåìåíòîâ) ê îëüöà R .  àññìîòðèì äâà óíêòîðà Gl ( − ) ( n ) , ( − ) ∗ : Rng → Grp . Ïåðâûé ñî- ïîñò àâëÿåò ê îëüöó R ãðóïïó Gl R ( n ) , à ê îëüöåâîìó ãîìîìîðèçìó R f → S ãîìîìîðèçì ãðóïï GL R ( n ) → GL S ( n ) : ( a ij ) 7→ ( f ( a ij )) . Âòîðîé ñîïîñò àâëÿåò ê îëüöó R ãðóïïó R ∗ , à ê îëüöåâîìó ãîìîìîð- èçìó åãî îãðàíè÷åíèå íà îáðàòèìûå ýëåìåíòû ê îëüöà. Ò îã äà îïå- ðàöèÿ âçÿòèÿ îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû det : GL R ( n ) → R ∗ ÿâëÿåòñ ÿ åñòåñòâåííûì ãîìîìîðèçìîì ãðóïï. 4. Åñëè H om ( K , − ) , H om ( K ′ , − ) : K → Set äâà ê îâàðèàíòíûõ H om - óíêòîðà, òî ëþáàÿ ñòðåëê à f : K → K ′ çàäàåò åñòåñòâåííîå ïðå- áðàçîâàíèå H om ( f , − ) : H om ( K ′ , − ) ⇒ H om ( K , − ) ïî ïðàâèëó ∀ X ∈ K H om ( f , X ) : H om ( K ′ , X ) → H om ( K , X ) : g 7→ g ◦ f . Àíàëîãè÷íî çàäàåòñ ÿ åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå ê îíòðàâàðèàíò- íûõ H om -óíêòîðîâ H om ( − , f ) : H om ( − , K ) → H om ( − , K ′ ) : ∗ 7→ f ◦ ∗ . Óòâåð æäåíèå 4. Äëÿ ëþáûõ äâóõ êàòåãîðèé K è L óíêòîðû èç K â L îáð àçóþò êàòåãîðèþ, îáúåêòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ñ àìè óíêòîðû, à ñòðå ëêàìè åñòåñòâåííûå ïðåîáð àçîâàíèÿ ìåæäó íèìè ñ óìíîæåíèå ì îïðåäå ëåííûì ñ ëåäóþùèì îáð àçî ì: åñ ëè K F µ ⇓ $ $ G ν ⇓ / / H : : L äâà åñòåñòâåí- íûõ ïðåîáð àçîâàíèÿ èç F â G è èç G â H , òîãäà ïîêî ìïîíåíòíàÿ êî ìïî- çèöèÿ ñòðå ëîê ñîñòàâëÿþùèõ åñòåñòâåííûå ïðåîáð àçîâàíèÿ çàäàåò íî- âîå åñòåñòâåííîå ïðåîáð àçîâàíèå ν ◦ µ : F ⇒ H ñ êî ìïîíåíòàìè ν X ◦ µ X , X ∈ K 0 . Åäèíèöàìè â êàòåãîðèè ñ ëóæàò åäèíè÷íûå åñòåñòâåííûå ïðå- îáð àçîâàíèÿ. Äîê àçàòåëüñòâî. Àê ñèîìà åäèíèöû î÷åâèäíî ó äîâëåòâîð ÿåòñ ÿ, ê àê è àê ñèîìà àññîöèàòèâ- íîñòè, ïîòîìó ÷òî ê îìïîçèöèÿ îïðåäåëåíà ïîê îìïîíåíòíî. Ïðîâåðèì ÿâ- ëÿåòñ ÿ ëè ê îìïîçèöèÿ ν ◦ µ åñòåñòâåííûì ïðåîáðàçîâàíèåì. Äëÿ ýòîãî âíåøíèé ïð ÿìîóãîëüíèê äîëæ åí áûòü ê îììóò àòèâåí 11 F Y µ Y / / GY ν Y / / H Y F X F f O O µ X / / GX Gf O O ν X / / H X H f O O ÷òî ò àêæ å âûïîëíÿåòñ ÿ, ïîòîìó ÷òî ñîñò àâ- ëÿþùèå åãî êâàäðàòû ê îììóò àòèâíû ïî ó ñëîâèþ.  Êàòåãðèÿ óíêòîðîâ èç K â L îáîçíà ÷àåòñ ÿ ÷åðåç ñòåïåíü L K . Êîí- òðàâàðèàíòíûå óíêòîðû ò àêæ å ñîñò àâëÿþò (ñâîþ) ê àòåãîðèþ L K op . Óòâåð æäåíèå 5. Äëÿ ëþáîé êàòåãîðèè K èìåþòñÿ • êîíòð àâàðèàíòíûé óíêòîð K op → Set K , • êîâàðèàíòíûé óíêòîð K → Set K op , ãäå Set K , Set K op ñîîòâåòñòâåííî êàòåãîðèè êîâàðèàíòíûõ è êîí- òð àâàðèàíòíûõ óíêòîðîâ èç K â Set . Äîê àçàòåëüñòâî. Íàçíà ÷àåì îáúåêò àì è ñòðåëê àì H om -óíêòîðû ê àê â ïðèìåðå 4. Ïðî- âåðê à òîãî, ÷òî ýòî äàåò óíêòîðû, îñò àåòñ ÿ â ê à ÷åñòâå óïðàæíåíèÿ.  Óïðàæíåíèÿ 6. 1. Óáåäèòüñÿ, ÷òî â ïðèâåäåííûõ ïðèìåð àõ äåé- ñòâèòå ëüíî îïðåäå ëåíû åñòåñòâåííûå ïðåîáð àçîâàíèÿ. 2. Íàðèñîâàòü êî ììóòàòèâíûé êâàäð àò äëÿ åñòåñòâåííîãî ïðåîá- ð àçîâàíèÿ êîíòð àâàðèàíòíûõ óíêòîðîâ. 3. Âîñïî ëíèòü íåäîñòàþùèå äåòàëè â äîêàçàòå ëüñòâàõ óòâåðæäå- íèé. 1.5 2-ê àòåãîðèè Åñòåñòâåííåé è ïðîùå ðàññìàòðèâàòü ê àòåãîðèþ Cat ê àê ñîñòî ÿùóþ èç ê àòåãîðèé â ê à ÷åñòâå îáúåêòîâ, óíêòîðîâ â ê à ÷åñòâå ñòðåëîê è åñòå- ñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé â ê à ÷åñòâå äâóìåðíûõ ñòðåëîê (2-ñòðåëîê). Ýòî ïðèâî äèò ê ïîíÿòèþ 2-ê àòåãîðèè. Îïðåäåëåíèå 8. 2-êàòåãîðèÿ K ñîñòîèò èç òðåõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ êëàññîâ K 0 (îáúåêòû), K 1 (1-ñòðå ëêè), K 2 (2-ñòðå ëêè), ïðè ýòî ì • äëÿ ý ëå ìåíòîâ êëàññîâ K 0 è K 1 ñóùåñòâóþò åäèíè÷íûå ñòðå ë- êè, íà åäèíèöó áî ëüøåé ð àçìåðíîñòè, ÷å ì èñõîäíûé îáúåêò èëè ñòðå ëêà, 12 • íà êëàññ àõ K 1 è K 2 îïðåäå ëåíû îïåð àöèè d (âçÿòèÿ íà÷àëà) è c (âçÿòèÿ êîíöà) ñòðå ëêè, òàêèå ÷òî dc = dd , cd = cc (ñ ìîòðèòå êàðòèíêó • ⇓ ( ( 6 6 • ), • íà 1-ñòðå ëêàõ è 2-ñòðå ëêàõ îïðåäå ëåíî îáû÷íîå óìíîæåíèå f ◦ g (èëè µ ◦ ν ), åñ ëè êîíåö ïåðâîé ñòðå ëêè ñîâïàäàåò ñ íà÷àëî ì âòî- ðîé, òî åñòü cg = d f (èëè cν = dµ ) (íà äèàãð àììàõ ýòî áó- äåò • g / / • f / / • èëè • ν ⇓ µ ⇓ / / ? ? • ). Ïðè ýòî ì óìíîæåíèå ◦ äëÿ 1-ñòðå ëîê íàçûâàåòñÿ ãîðèçîíò àëüíûì , à äëÿ 2-ñòðå ëîê âåðòè- ê àëüíûì , • äëÿ 2-ñòðå ëîê îïðåäå ëåíî ãîðèçîíò àëüíîå óìíîæåíèå µ ∗ ν , åñ ëè ddµ = ccν (òî åñòü • F ν ⇓ ( ( G 6 6 • H µ ⇓ ( ( J 6 6 • ), ïðè ýòî ì  òèï ïðîèçâåäåíèÿ åñòü µ ∗ ν : H ◦ F ⇒ J ◦ G ,  1 H ∗ 1 F = 1 H ◦ F äëÿ ëþáûõ óìíîæàå ìûõ 1-ñòðå ëîê F è H , • (àêñèî ìà åäèíèöû) äëÿ f : X → Y è äëÿ µ : f ⇒ g âûïî ëíÿåòñÿ 1 Y ◦ f = f = f ◦ 1 X , 1 g ◦ µ = µ = µ ◦ 1 f , 1 1 Y ∗ µ = µ = µ ∗ 1 1 X , • (àêñèî ìà àññîöèàòèâíîñòè) f ◦ ( g ◦ h ) = ( f ◦ g ) ◦ h , µ ◦ ( ν ◦ η ) = ( µ ◦ ν ) ◦ η , α ∗ ( β ∗ γ ) = ( α ∗ β ) ∗ γ (äëÿ âñåõ ñòðå ëîê, äëÿ êîòîðûõ ïðîèçâåäåíèÿ îïðåäå ëåíû), • (ïåðåñòàíîâêà îïåð àöèé) ( δ ◦ γ ) ∗ ( β ◦ α ) = ( δ ∗ β ) ◦ ( γ ∗ α ) äëÿ 2-ñòðå ëîê, ð àñïî ëîæåííûõ ñ ëåäóþùèì îáð àçî ì • α ⇓ β ⇓ / / ? ? • γ ⇓ δ ⇓ / / ? ? • Ýòî äëèííîå îïðåäåëåíèå ââî äèò åñòåñòâåííûå ïðàâèëà, ñ ïîìîùüþ ê îòîðûõ ìî æíî ïðîèçâî äèòü âû÷èñëåíèÿ ñî ñòðåëê àìè. Ïî ñóùåñòâó , óòâåð æäàåòñ ÿ, ÷òî âû÷èñëåíèå ñ î äíîé îïåðàöèåé ◦ èëè ∗ íå çàâèñèò îò ðàññò àíîâêè ñê îáîê, ÷òî åäèíèöà ïîã ëîùàåòñ ÿ îáû÷íûì îáðàçîì, è ÷òî îïåðàöèè ◦ è ∗ ê îììóòèðóþò (ïåðåñò àíîâî÷íû). Äðóãîå îïðåäåëåíèå ìî æíî íàéòè â óïðàæíåíèè 1. Ïðèìåðû. 1. Êàòåãîðèÿ Cat ÿâëÿåòñ ÿ 2-ê àòåãîðèåé ñ ãîðèçîíò àëüíûì óìíî æ å- íèåì äëÿ 2-ñòðåëîê • F α ⇓ ( ( G 6 6 • H β ⇓ ( ( J 6 6 • , îïðåäåëåííûì ñëåäóþùèì îá- ðàçîì ( β ∗ α ) X := J ( α X ) ◦ β F X (÷òî ò àêæ å ðàâíî β GX ◦ H ( α X ) , ïîñê îëüêó β åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå. Äåéñòâèòåëüíî, êâàäðàò 13 H F X β F X / / H α X   J F X J α X   H GX β GX / / J GX ê îììóò àòèâíûé ïî îïðåäåëåíèþ åñòåñòâåííî- ãî ïðåîáðàçîâàíèÿ β ). Äîê àçàòåëüñòâî àññîöèàòèâíîñòè ∗ è ïåðåñò àíîâî÷íîãî çàê îíà äëÿ ∗ è ◦ îñò àâëÿåì ÷èò àòåëþ â ê à ÷åñòâå óïðàæíåíèÿ. Cat , ðàññìàòðèâàåìàÿ ê àê 2-ê àòåãîðèÿ, îáîçíà ÷àåòñ ÿ 2 - Cat . 2. H om -óíêòîð 2 - Cat ( K , − ) : 2 - Cat → 2 - Cat ÿâëÿåòñ ÿ ò àê íàçû- âàåìûì 2-óíêòîðîì (ê îòîðûé îòîáðàæ àåò îáúåêòû â îáúåêòû, 1- ñòðåëêè â 1-ñòðåëêè, 2-ñòðåëêè â 2-ñòðåëêè, ñî õðàíÿåò åäèíèöû è îáå îïåðàöèè). Îí íàçíà ÷àåò ê àòåãîðèè L 1-ê àòåãîðèþ óíêòîðîâ èç K â L , òî åñòü 2 - Cat ( K , L ) , óíêòîðó F : L → M óíêòîð 2 - Cat ( K , F ) : 2 - Cat ( K , L ) → 2 - Cat ( K , M ) : G 7→ F ◦ G , è åñòå- ñòâåííîìó ïðåîáðàçîâàíèþ µ : F ⇒ H , ã äå F , H : K → L óíêòî- ðû, åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå 2 - Cat ( K , µ ) : G 7→ µ ∗ 1 G , ã äå G ïðîáåã àåò îáúåêòû (óíêòîðû) â 2 - Cat ( K , L ) . 3. 2 - T op ñîñòîèò èç òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ â ê à ÷åñòâå îáúåê- òîâ, íåïðåðûâíûõ îòîáðàæ åíèé â ê à ÷åñòâå 1-ñòðåëîê è ãîìîòîïèé (òî÷íåå, êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè ãîìîòîïèé) â ê à ÷åñòâå 2-ñòðåëîê.  îìîòîïèÿ (=äåîðìàöèÿ) α : f ⇒ g ìåæäó äâóìÿ íåïðåðûâíûìè îòîáðàæ åíèÿìè f : X → Y è g : X → Y îïðåäåëÿåòñ ÿ ê àê 'ïóòü' α t : X → Y , t ∈ [0 , 1 ] , ò àê îé ÷òî α 0 ( x ) = f ( x ) , α 1 ( x ) = g ( x ) äëÿ âñåõ òî÷åê x ∈ X , è óíêöèÿ α − ( − ) : [0 , 1] × X → Y íåïðåðûâíà.  îðèçîíò àëüíîå óìíî æ åíèå äëÿ íåïðåðûâíûõ óíêöèé îáû÷íàÿ ê îì- ïîçèöèÿ ( f ◦ g ) := f ( g ( x )) , x ∈ X , âåðòèê àëüíîå óìíî æ åíèå äëÿ ãîìîòîïèé ( β ◦ α ) t ( x ) :=  α 2 t ( x ) t ∈ [0 , 1 / 2] β 2 t − 1 ( x ) t ∈ [1 / 2 , 1] (òî åñòü ïåðâóþ ïîëîâèíó 'âðåìåíè' âûïîëíÿåòñ ÿ α , à âòîðóþ β ).  îðèçîíò àëüíîå óìíî æ åíèå ∗ äëÿ ãîìîòîïèé ïî õ î æ å íà ñîîòâåòñòâóþùåå óìíî æ å- íèå â 2 - Cat è îñò àâëÿåòñ ÿ â ê à ÷åñòâå óïðàæíåíèÿ. 4. 2-óíêòîð 2 - T op ( 1 , − ) : 2 - T op → 2 - Cat , ã äå 1 î äíîòî÷å÷íîå òî- ïîëîãè÷åñê îå ïðîñòðàíñòâî, íàçûâàåòñ ÿ óíêòîðîì âçÿòèÿ óí- äàìåíò àëüíîãî ãðóïïîèäà . Îí íàçíà ÷àåò òîïîëîãè÷åñê îìó ïðî- ñòðàíñòâó 2-ê àòåãîðèþ, îáúåêò àìè ê îòîðîé ÿâëÿþòñ ÿ òî÷êè ïðî- ñòðàíñòâà, 1-ñòðåëê àìè íåïðåðûâíûå ïóòè ìåæäó òî÷ê àìè, 2-ñòðåë- ê àìè ãîìîòîïèè (êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè ãîìîòîïèé) ìåæäó ïóò ÿ- ìè. Ýòîò óíêòîð èìååò âàæíûå ïðèìåíåíèÿ â òîïîëîãèè. 14 Óïðàæíåíèÿ 7. 1. Ñóùåñòâóåò áî ëåå àáñòð àêòíîå îïðåäå ëåíèå 2- êàòåãîðèè. Èìåííî, 2-êàòåãîðèÿ K ñîñòîèò èç êëàññ à îáúåêòîâ K 0 , äëÿ êàæäûõ äâóõ ý ëå ìåíòîâ êîòîðîãî X , Y ∈ K 0 íàçíà÷åíà êàòåãîðèÿ K ( X , Y ) , îáúåêòû êîòîðîé íàçûâàþòñÿ 1-ñòðå ëêàìè, à ñòðå ëêè 2-ñòðå ëêàìè. Äëÿ êàæäîé êàòåãîðèè âèäà K ( X , X ) èìå- åòñÿ óíêòîð I : 1 → K ( X, X ) , ãäå 1 êàòåãîðèÿ ñîñòîÿùàÿ èç îä- íîãî îáúåêòà è îäíîé ñòðå ëêè, (âûäå ëÿþùèé 1 X è 1 1 X â K ( X , X ) ). Äëÿ êàæäîé òðîéêè îáúåêòîâ X , Y , Z èìååòñÿ óíêòîð óìíîæå- íèÿ ∗ : K ( Y , Z ) × K ( X, Y ) → K ( X , Z ) . Ïðè ýòî ì âûïî ëíÿþòñÿ (àêñèî ìà åäèíèöû) K ( X , X ) × K ( X , Y ) ∗ / / K ( X , Y ) 1 × K ( X , Y ) I × 1 K ( X,Y ) O O pr 2 6 6 l l l l l l l l l l l l l K ( X , Y ) × K ( X , X ) ∗ / / K ( X , Y ) K ( X , Y ) × 1 1 K ( X,Y ) × I O O pr 1 6 6 l l l l l l l l l l l l l è (àêñèî ìà àññîöèàòèâíîñòè) K ( Z , W ) × ( K ( Y , Z ) × K ( X , Y )) ∼ → / / 1 K ( Z,W ) ×∗   ( K ( Z , W ) × K ( Y , Z )) × K ( X , Y ) ∗× 1 K ( X,Y )   K ( Z , W ) × K ( X , Z ) ∗   K ( Y , W ) × K ( X , Y ) ∗ r r f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f K ( X , W )  îïðåäå ëåíèè èñïî ëüçóþòñÿ ïðîèçâåäåíèÿ êàòåãîðèé âèäà K × L è ïðîèçâåäåíèÿ óíêòîðîâ âèäà F × G . Íå äàâàÿ îð ìàëüíîãî îïðå- äå ëåíèÿ, òî ëüêî îòìåòèì, ÷òî îáúåêòû ïðîèçâåäåíèÿ êàòåãîðèé ýòî ïàðû îáúåêòîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ êàòåãîðèé, ñòðå ëêè ïàðû ñòðå ëîê, è âñå îïåð àöèè âûïî ëíÿþòñÿ ïîêî ìïîíåíòíî. Ïðîèçâåäå- íèå óíêòîðîâ äåéñòâóåò ïî îð ìóëå ( F × G )( K, L ) := ( F K , GL ) (íà îáúåêòàõ) è ( F × G )( f , g ) := ( F f , Gg ) (íà ñòðå ëêàõ). Ôóíêòî- ðû ïðîåêöèè pr 1 : K × L → K è pr 2 : K × L → L âûäå ëÿþò ñî- îòâåòñòâåííî ïåðâóþ è âòîðóþ êî ìïîíåíòó ïàðû (îáúåêòîâ èëè ñòðå ëîê). Ñ òî÷êè çðåíèÿ ýòîãî îïðåäå ëåíèÿ ãîðèçîíòàëüíîå óìíîæåíèå 1- ñòðå ëîê ñ ëåäîâàëî áû îáîçíà÷àòü ÷åðåç ∗ . ×èòàòå ëþ ïðåäëàãàåòñÿ ïðî àíàëèçèðîâàòü ýòî îïðåäå ëåíèå è óáå- äèòüñÿ, ÷òî îíî ýêâèâàëåíòíî äàííî ìó â òåêñòå. 2. Äîêàçàòü àññîöèàòèâíîñòü è ïåðåñòàíîâî÷íûé çàêîí äëÿ ∗ â êà- òåãîðèè 2 - Cat . 15 3. Âûïèñ àòü ÿâíóþ îð ìóëó äëÿ ãîðèçîíòàëüíîãî óìíîæåíèÿ ãî ìî- òîïèé. 4. Óáåäèòüñÿ, ÷òî óíêòîð âçÿòèÿ óíäàìåíòàëüíîãî ãðóïïîèäà íà- çíà÷àåò íåïðåðûâíûì îòîáð àæåíèÿì óíêòîðû, à ãî ìîòîïèÿì åñòåñòâåííûå ïðåîáð àçîâàíèÿ. Çàìå÷àíèå. Îáû÷íûå ê àòåãîðèè ìîãóò áûòü íàäåëåíû ñòðóêòóðîé 2-ê àòåãîðèè ïî êðàéíåé ìåðå äâóìÿ ðàçíûìè ñïîñîáàìè. Êîã äà ââî äÿòñ ÿ òîëüê î åäèíè÷íûå 2-ñòðåëêè äëÿ ê àæäîé 1-ñòðåëêè ê àòåãîðèè. È ê îã äà ñ÷èò àåòñ ÿ, ÷òî ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòðåëê àìè (òî åñòü ñ îáùèì íà ÷àëîì è ê îíöîì) ñóùåñòâó åò î äíà è òîëüê î î äíà 2-ñòðåëê à. 1.6 Ýêâèâàëåíòíîñòè â 2-ê àòåãîðèè ×àñòî â ìàòåìàòèê å èíòåðåñóþòñ ÿ âîïðîñîì, ñóùåñòâó åò ëè îáð àòèìîå ïðåîáðàçîâàíèå î äíîãî îáúåêò à â äðóãîé, ïðè ýòîì ïðåîáðàçîâàíèÿ ìî- ãóò áûòü áîëåå èëè ìåíåå îáðàòèìûìè. Ñîîòâåòñòâåííî ââî äÿòñ ÿ ñòðîãèå ýêâèâàëåíòíîñòè (èëè èçîìîðèçìû) è ñëàáûå ýêâèâàëåíòíîñòè. Îïðåäåëåíèå 9. 1-ñòðå ëêà f : X → Y â 2-êàòåãîðèè K íàçûâàåòñÿ • ñòðîãîé ýêâèâàëåíòíîñòüþ , åñ ëè ñóùåñòâóåò îáð àòíàÿ ñòðå ë- êà g : Y → X , òî åñòü òàêàÿ ñòðå ëêà, ÷òî g ◦ f = 1 X , f ◦ g = 1 Y , • ñëàáîé ýêâèâàëåíòíîñòüþ , åñ ëè ñóùåñòâóåò ñòðå ëêà g : Y → X , è ñóùåñòâóþò îáð àòèìûå 2-ñòðå ëêè α è ω òàêèå, ÷òî g ◦ f α ⇒ 1 X , f ◦ g ω ⇒ 1 Y .  îïðåäåëåíèè ñóùåñòâåííî, ÷òî α è ω îáðàòèìû (òî åñòü 2-èçîìîðèçìû). Ñèëüíûå ýêâèâàëåíòíîñòè îáîçíà ÷àþòñ ÿ X ≃ → Y , à ñëàáûå X ∼ → Y . Ñî- îòâåòñòâåííî èçîìîðíûå îáúåêòû îáîçíà ÷àþòñ ÿ X ≃ Y , à (ñëàáî) ýê- âèâàëåíòíûå X ∼ Y . Î÷åâèäíî, ñòðîãèå ýêâèâàëåíòíîñòè ÿâëÿþòñ ÿ ñëàáûìè (äîñò àòî÷íî ïîëî æèòü α = 1 1 X , ω = 1 1 Y ), íî íå íàîáîðîò . Ïðèìåðû. 1.  ê àòåãîðèè ìíî æ åñòâ Set , ðàññìàòðèâàåìîé ê àê 2-ê àòåãîðèÿ ñ åäè- íè÷íûìè òîëüê î 2-ñòðåëê àìè, âñå ñòðîãèå ýêâèâàëåíòíîñòè ñîâïà- äàþò ñî ñëàáûìè è ÿâëÿþòñ ÿ áèåêöèÿìè ìíî æ åñòâ. Åñëè ðàññìàò- ðèâàòü Set ñ 2-ñòðåëê àìè, ñóùåñòâóþùèìè ïî î äíîé äëÿ ê àæäîé ïàðû ïàðàëëåëüíûõ ñòðåëîê, òî ñòðîãèìè ýêâèâàëåíòíîñò ÿìè áó äóò áèåêöèè, à ñëàáûìè ëþáûå îòîáðàæ åíèÿ ìåæäó íåïó ñòûìè ìíî æ å- ñòâàìè.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå âñå íåïó ñòûå ìíî æ åñòâà ýêâèâàëåíòíû. 16 2.  ê àòåãîðèè 2 - Cat îòíîøåíèå èçîìîðèçìà ÿâëÿåòñ ÿ ñëèøê îì æ åñò- êèì, íî òåì íå ìåíåå ïîëåçíûì. Îíî âûðàæ àåò àêò , ÷òî äâå ê àòå- ãîðèè 'àáñîëþòíî' î äèíàê îâû, õ îò ÿ, ìî æ åò áûòü, îïèñàíû ïî ðàç- íîìó . Ò àê ê àòåãîðèÿ Ab èçîìîðíà ê àòåãîðèè Z -ìî äó ëåé Z - Mo d . Z -ìî äó ëü ýòî àáåëåâà ãðóïïà, ýëåìåíòû ê îòîðîé ìî æíî óìíî æ àòü íà öåëûå ÷èëà, ñ ïðîñòûìè àê ñèîìàìè. Êàçàëîñü áû, äîïîëíèòåëü- íàÿ ñòðóêòóðà óìíî æ åíèÿ íà ÷èñëà äîëæíà äåëàòü êëàññ Z -ìî äó ëåé ìåíüøå, ÷åì êëàññ àáåëåâûõ ãðóïï, íî ýòî óìíî æ åíèå âûâî äèòñ ÿ èç âíóòðåííåé ñòðóêòóðû ãðóïïû, ò àê ÷òî ê àæäàÿ àáåëâà ãðóïïà åñòü Z -ìî äó ëü ( n · a = a + · · · + a ( n ðàç)). Îòíîøåíèå ñëàáîé ýêâèâàëåíòíîñòè â 2 - Cat íàçûâàåòñ ÿ ïðîñòî îò- íîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè ê àòåãîðèé. Ñîã ëàñíî îïðåäåëåíèþ, åñ- ëè K F ) ) L G i i ýêâèâàëåíòíîñòü ê àòåãîðèé K è L , òî X ≃ GF X , Y ≃ F GY äëÿ âñåõ îáúåêòîâ X ∈ K 0 , Y ∈ L 0 . Íàïðèìåð, ê à- òåãîðèÿ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ V ect ýêâèâàëåíòíà ñâîåé ïîëíîé ïî äê àòåãîðèè, ñîñòî ÿùåé èç ê àíîíè÷åñêèõ ïðåäñò àâèòåëåé âåêòîð- íûõ ïðîñòðàíñòâ äëÿ ê àæäîé ðàçìåðíîñòè 0 , k , k 2 , . . . , k n , . . . , ã äå k åñòü ïî ëå ÷èñåë, íà ê îòîðûå óìíî æ àþòñ ÿ ýëåìåíòû âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ. 3. Âîçüìåì äâà îáúåêò à â 2 - T op , èìåííî, ïð ÿìóþ ëèíèþ è òî÷êó . Ò î- ã äà ýòè äâà îáúåêò à íå èçîìîðíû â 2 - T op , ò àê ê àê èçîìîðíûå îáúåêòû â 2 - T op äîëæíû áûòü èçîìîðíû â 2 - Set (ñ 2-ñòðåëê àìè, âûáðàííûìè ïî î äíîé äëÿ ê àæäîé ïàðû ïàðàëëåëüíûõ ñòðåëîê â Set ) íà òîì îñíîâàíèè, ÷òî ìû ïðèìåíÿåì çàáûâàþùèé óíê- òîð. Íî òî÷êè ïð ÿìîé è î äíà òî÷ê à íå ìîãóò áûòü âî âçàèìíî- î äíîçíà ÷íîì ñîîòâåòñòâèè. Ò åì íå ìåíåå, ïð ÿìàÿ è òî÷ê à ñëàáî ýê- âèâàëåíòíû â 2 - T op . Äîê àçàòåëüñòâî îñò àåòñ ÿ ÷èò àòåëþ. Óòâåð æäåíèå 6. Îòíîøåíèÿ èçî ìîð èçìà è ñ ëàáîé ýêâèâàëåíòíîñòè ÿâëÿþòñÿ îòíîøåíèÿìè ýêâèâàëåíòíîñòè (òî åñòü ðå  ëåêñèâíû, ñèì- ìåòðè÷íû è òð àíçèòèâíû). Äîê àçàòåëüñòâî. Äëÿ èçîìîðèçìà ýòî óæ å äîê àçàíî â óïðàæíåíèè 2.5 ïàðàãðàà 1.2. Äîê àæ åì ïðåäëî æ åíèå äëÿ ñëàáîé ýêâèâàëåíòíîñòè. (ðåëåê ñèâíîñòü) X ∼ X , äëÿ ýòîãî âûáèðàåì 1-ñòðåëêè X 1 X ) ) X 1 X i i è 2-ñòðåëêè α = β = 1 1 X , (ñèììåòðè÷íîñòü) X ∼ Y ⇒ Y ∼ X , äëÿ ýòîãî ìåíÿåì ìåñò àìè α è β , 17 (òðàíçèòèâíîñòü) X ∼ Y è Y ∼ Z äàþò X ∼ Z , äëÿ ýòîãî ðàññìîò- ðèì äèàãðàììó X F ) ) Y H ) ) G i i Z J i i è âû÷èñëèì 1 X α − 1 X ⇒ G ◦ F = ⇒ G ◦ 1 Y ◦ F 1 G ∗ α − 1 Y ∗ 1 F = ⇒ G ◦ J ◦ H ◦ F , òî åñòü 1 X ≃ ( G ◦ J ) ◦ ( H ◦ F ) . Àíàëîãè÷íî, 1 Z ≃ ( H ◦ F ) ◦ ( G ◦ J ) . Ñëåäîâàòåëüíî, X ∼ Z .  Óïðàæíåíèÿ 8. 1. Äîêàçàòü âñå óòâåðæäåíèÿ ïðèìåð à 1. 2. Äîêàçàòü, ÷òî ïðÿìàÿ è òî÷êà ñ ëàáî ýêâèâàëåíòíû â êàòåãîðèè 2 - T op . 3. Äîêàçàòü, ÷òî âåðòèêàëüíàÿ è ãîðèçîíòàëüíàÿ êî ìïîçèöèè 2- èçî ìîð èçìîâ äàþò 2-èçî ìîð èçìû. 4. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ 1-ñòðå ëîê F : Y → Z è G : W → X ãîðèçîí- òàëüíûå óìíîæåíèÿ F ∗ − : K ( X , Y ) → K ( X , Z ) :  H 7→ F ◦ H ( íà îáúåêòàõ ) µ 7→ 1 F ∗ µ ( íà ñòðå ëêàõ ) è − ∗ G : K ( X , Y ) → K ( W, Y ) :  H 7→ H ◦ G ( íà îáúåêòàõ ) µ 7→ µ ∗ 1 G ( íà ñòðå ëêàõ ) ÿâëÿ- þòñÿ óíêòîð àìè. 5. Äîêàçàòü, ÷òî âëîæåíèå ïî ëíîé ïîäêàòåãîðèè L ֒ → K òàêîé, ÷òî êàæäûé îáúåêò èç K èçî ìîð åí íåêîòîðî ìó îáúåêòó â L , ÿâëÿåò- ñÿ ýêâèâàëåíòíîñòüþ. 18  ëàâà 2 Ïðåäñò àâèìûå óíêòîðû Ïðåäñò àâèìûå óíêòîðû ÿâëÿþòñ ÿ ñàìûì ñò àðîìî äíûì ñðåäñòâîì â òåî- ðèè ê àòåãîðèé, íî ó äîáíû òåì, ÷òî ïîçâîëÿþò ðàññìàòðèâàòü ñ åäèíîé òî÷êè çðåíèÿ ðàçíûå âîïðîñû (ïðåäåëû, ê îïðåäåëû, ñîïð ÿæ åííîñòü è äðóãèå). 2.1 Ïðåäñò àâèìûå óíêòîðû. Âëî æ åíèå Éî- íåäû Îïðåäåëåíèå 10. • Êîâàðèàíòíûé óíêòîð F : K → Set íàçûâà- åòñÿ ïðåäñò àâèìûì , åñ ëè îí èçî ìîð åí H om -óíêòîðó K ( A, − ) : K → Set äëÿ íåêîòîðîãî îáúåêòà A ∈ K 0 , òî åñòü åñ ëè ñóùåñòâó- åò åñòåñòâåííîå ïðîåáð àçîâàíèå χ : K ( A, − ) ⇒ F âñå êî ìïîíåíòû êîòîðîãî χ X : K ( A, X ) ≃ → F ( X ) áèåêöèè. • À íàëîãè÷íî, êîíòð àâàðèàíòíûé óíêòîð F : K op → Set íàçûâà- åòñÿ ïðåäñò àâèìûì , åñ ëè îí èçî ìîð åí H om -óíêòîðó K ( − , A ) : K op → Set äëÿ íåêîòîðîãî îáúåêòà A ∈ K 0 , òî åñòü åñ ëè ñóùå- ñòâóåò åñòåñòâåííîå ïðîåáð àçîâàíèå χ : K ( − , A ) ⇒ F âñå êî ìïî- íåíòû êîòîðîãî χ X : K ( X , A ) ≃ → F ( X ) áèåêöèè. Îáúåêò A íàçûâàåòñ ÿ ïðåäñò àâëÿþùèì îáúåêòîì . Ìíî æ åñòâî F A ñî- äåð æèò õ àðàêòåðíûé ýëåìåíò χ A (1 A ) , ê îòîðûé íàçûâàåòñ ÿ óíèâåðñàëü- íûì ýëåìåíòîì . Èç îïðåäåëåíèÿ óíèâåðñàëüíîãî ýëåìåíò à è òîãî, ÷òî χ åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå, ñëåäó åò , ÷òî âñå ê îìïîíåíòû χ ïîëíîñòüþ îïðåäåëåíû ñàìèì óíêòîðîì F è óíèâåðñàëüíûì ýëåìåíòîì χ A (1 A ) . Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì äèàãðàììó (íàïðèìåð, äëÿ ê îíòðàâàðèàíòíîãî óíêòîðà F ) 19 X f   K ( X , A ) χ X / / F X A K ( A, A ) χ A / / K ( f ,A ) O O F A F ( f ) O O Ïîëó÷èì χ X ◦ K ( f , A )(1 A ) = F f ◦ χ A (1 A ) èëè χ X ( f ) = F ( f )( χ A (1 A )) . Èç ïîñëåäíåé îðìó ëû ò àêæ å ñëåäó åò , ÷òî óíêòîð F ñî çíà ÷åíèÿìè â ê àòåãîðèè ìíî æ åñòâ ïðåäñò àâèì òîã äà è òîëüê î òîã äà, ê îã äà ñóùåñòâóþò îáúåêò A ∈ K 0 è ýëåìåíò a ∈ F A ò à- êèå, ÷òî îòîáðàæ åíèå F ( − )( a ) : K ( X , A ) → F X áèåêòèâíî äëÿ ê àæ- äîãî X ∈ K 0 (äëÿ ê îâàðèàíòíîãî óíêòîðà îòîáðàæ åíèå áó äåò òèïà F ( − )( a ) : K ( A, X ) → F X ). Åñëè ââåñòè 'ê àòåãîðèþ ýëåìåíòîâ', îáúåêò àìè ê îòîðîé ÿâëÿþòñ ÿ ïà- ðû ( C , c ) , ã äå C ∈ K 0 , c ∈ F C , à ñòðåëê àìè f : ( B , b ) → ( C, c ) ñëóæ àò ñòðåëêè ( f : B → C ) ∈ K 1 ò àêèå, ÷òî F ( f )( c ) = b (äëÿ ê îíòðàâàðèàíò- íîãî óíêòîðà F ) èëè F ( f )( b ) = c (äëÿ ê îâàðèàíòíîãî óíêòîðà F ), òî ê îíòðàâàðèàíòíûé óíêòîð F : K op → Set ïðåäñò àâèì îáúåêòîì A ñ óíèâåðñàëüíûì ýëåìåíòîì a òîã äà è òîëüê î òîã äà, ê îã äà ( A, a ) ÿâëÿåòñ ÿ êîíå÷íûì îáúåêòî ì â ê àòåãîðèè ýëåìåíòîâ, è ñîîòâåòñòâåííî ê îâàðè- àíòíûé óíêòîð F : K → Set ïðåäñò àâèì îáúåêòîì A ñ óíèâåðñàëüíûì ýëåìåíòîì a òîã äà è òîëüê î òîã äà, ê îã äà ( A, a ) ÿâëÿåòñ ÿ íà÷àëüíûì îáú- åêòî ì â ê àòåãîðèè ýëåìåíòîâ. Ôóíêòîð F : K → Set ìî æ åò áûòü ïðåäñò àâèì ðàçíûìè îáúåêò àìè èç K ñ ñîîòâåòñòâåííî ðàçíûìè óíèâåðñàëüíûìè ýëåìåíò àìè. Îäíàê î, â ê àæäîì èç ýòèõ ñëó÷àåâ ïðåäñò àâëÿþùàÿ ïàðà ÿâëÿåòñ ÿ íà ÷àëüíûì îáúåêòîì â ê àòåãîðèè ýëåìåíòîâ, è ýòî çíà ÷èò , ÷òî åñëè ( A, a ) è ( A ′ , a ′ ) äâå ïðåäñò àâëÿþùèå ïàðû äëÿ óíêòîðà F , òî ñóùåñòâó åò åäèíñòâåííûé èçîìîðèçì ìåæäó íèìè f : ( A, a ) ≃ → ( A ′ , a ′ ) . Àíàëîãè÷íî, äëÿ ê îíòðà- âàðèàíòíîãî ïðåäñò àâèìîãî óíêòîðà F : K op → Set ïàðà ( A, a ) îïðåäå- ëåíà îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî èçî ìîð èçìà . Ïðèìåðû. 1. H om -óíêòîð K ( A, − ) ÿâëÿåòñ ÿ ïðåäñò àâèìûì ñ ïðåäñò àâëÿþùèì îáúåêòîì A , ò àê ê àê îí èçîìîðåí ñàìîìó ñåáå. Âëî æ åíèå ê àòå- ãîðèè H om -óíêòîðîâ â ê àòåãîðèþ âñåõ ïðåäñò àâèìûõ óíêòîðîâ ÿâëÿåòñ ÿ ýêâèâàëåíòíîñòüþ. 2. Êîíòðàâàðèàíòíûé óíêòîð ìíî æ åñòâî-ñòåïåíü P : Set → Set ïðåäñò àâèì äâóõýëåìåíòíûì ìíî æ åñòâîì, íàïðèìåð, { 0 , 1 } (â òî æ å âðåìÿ ê îâàðèàíòíûé óíêòîð ìíî æ åñòâî-ñòåïåíü íå ÿâëÿåòñ ÿ ïðåäñò àâèìûì). Óíèâåðñàëüíûì ýëåìåíòîì ÿâëÿåòñ ÿ î äíîýëåìåíò- íîå ïî äìíî æ åñòâî { 0 } ∈ P ( { 0 , 1 } ) èëè { 1 } ∈ P ( { 0 , 1 } ) . Äåéñòâè- òåëüíî, P ( − )( { 0 } ) : Set ( X , { 0 , 1 } ) → P ( X ) : f 7→ f − 1 ( { 0 } ) ÿâëÿåòñ ÿ 20 áèåêöèåé (îáðàòíîå îòîáðàæ åíèå ñîïîñò àâëÿåò ïî äìíî æ åñòâó ìíî- æ åñòâà X óíêöèþ, ðàâíóþ íó ëþ íà ýòîì ïî äìíî æ åñòâå è åäèíèöå âíå åãî). 3. Çàáûâàþùèé óíêòîð U : T op → Set ÿâëÿåòñ ÿ ïðåäñò àâèìûì î ä- íîòî÷å÷íûì òîïîëîãè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì 1 . Äëÿ óíèâåðñàëüíî- ãî ýëåìåíò à íåò âûáîðà, êðîìå ñàìîé ýòîé òî÷êè. Îáîçíà ÷èì åå ∗ ( ∗ ∈ U ( 1 ) ). Ïðîâåð ÿåì, U ( − )( ∗ ) : T op ( 1 , X ) → U ( X ) : f 7→ f ( ∗ ) ÿâëÿåòñ ÿ áèåêöèåé (îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå íàçíà ÷àåò ýëåìåíòó x ∈ U ( X ) ∈ Set 0 íåïðåðûâíóþ óíêöèþ f : 1 → X ñ åäèíñòâåí- íûì çíà ÷åíèåì x ). 4. Çàáûâàþùèé óíêòîð U : V ect → Set ÿâëÿåòñ ÿ ïðåäñò àâèìûì. Ïðåäñò àâëÿþùèé îáúåêò åñòü k (ïîëå ñê àëÿðîâ), ðàññìàòðèâàåìîå ê àê î äíîìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî. Óíèâåðñàëüíûì ýëåìåí- òîì ÿâëÿåòñ ÿ åäèíèöà ïîëÿ 1 ∈ k . Ïðîâåð ÿåì, U ( − )(1) : V ect ( k , X ) → U ( X ) : f 7→ f (1 ) ÿâëÿåòñ ÿ áèåêöèåé, ò àê ê àê äëÿ ëþáîãî ýëåìåí- ò à x âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà X íàéäåòñ ÿ åäèíñòâåííàÿ ëèíåéíàÿ óíêöèÿ, îòîáðàæ àþùàÿ 1 ∈ k â x . Çàäàâàÿ îðìó ëó åñòåñòâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ F ( − )( a ) H om -óíê- òîðà K ( A, − ) â ïðåäñò àâèìûé óíêòîð F , ìû íèê àê íå ó÷èòûâàëè çàðà- íåå, ÷òî ýòî åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå áó äåò èçîìîðèçìîì (ýòî ÿâ- ëÿëîñü äîïîëíèòåëüíûì ó ñëîâèåì äëÿ ïðîâåðêè, ÷òî îáúåêò A è ýëåìåíò a îïðåäåëÿþò ïðåäñò àâèìûé óíêòîð F ). Ýòî çíà ÷èò , ÷òî ïðîèçâîëüíîå åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå H om -óíêòîðà K ( A, − ) â ëþáîé óíêòîð F ñî çíà ÷åíèÿìè â ê àòåãîðèè ìíî æ åñòâ âûã ëÿäèò òî÷íî ò àêæ å F ( − )( a ) . Óòâåð æäåíèå 7 (Ëåììà Éîíåäû) . Ñóùåñòâóåò âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñâèå θ F ,A : Set K ( K ( A, − ) , F ) ≃ → F ( A ) (ìåæäó åñòåñòâåííûìè ïðåîáð àçîâàíèÿìè ëþáîãî H om -óíêòîð à â ïðîèçâî ëüíûé óíêòîð F ñî çíà÷åíèÿìè â Set è ìíîæåñòâî ì F ( A ) , êîòîðîå óíêòîð F íàçíà- ÷àåò ïðåäñòàâëÿþùå ìó îáúåêòó A ). Ýòî ñîîòâåòñòâèå åñòåñòâåííîå ïî îáîèì àðãóìåíòàì F ∈ ( Set K ) 0 è A ∈ K 0 . Äîê àçàòåëüñòâî. Îïðåäåëèì θ F ,A òåì æ å ñïîñîáîì, ê àêèì îïðåäåëÿëè óíèâåðñàëüíûé ýëå- ìåíò , òî åñòü θ F ,A ( α ) := α A (1 A ) , à îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå îðìó ëîé ¯ θ F ,A ( a ) := F ( − )( a ) . Äîê àæ åì, ÷òî θ F ,A è ¯ θ F ,A äåéñòâèòåëüíî âçàèìíî- îáðàòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ: θ F ,A ¯ θ F ,A ( a ) = θ F ,A ( F ( − )( a )) = F (1 A )( a ) = 1 F A ( a ) = a , ¯ θ F ,A θ F ,A ( α ) = ¯ θ F ,A ( α A (1 A )) = F ( − )( α A (1 A )) = α , òî åñòü ¯ θ F ,A = ( θ F ,A ) − 1 . 21 Äîê àæ åì åñòåñòâåííîñòü θ F ,A òîëüê î ïî àðãóìåíòó A .  àññìîòðèì äèà- ãðàììó A f   Set K ( K ( A, − ) , F ) θ F ,A / / Set K ( K ( f , − ) ,F )   F ( A ) F ( f )   B Set K ( K ( B , − ) , F ) θ F ,B / / F ( B ) Âû÷èñëÿåì θ F ,B ( Set K ( K ( f , − ) , F )( µ )) = θ F ,B ( µ ◦ K ( f , − )) = µ B ◦ ( K ( f , − )) B (1 B ) = µ B (( K ( f , − )) B (1 B )) = µ B (1 B ◦ f ) = µ B ( f ◦ 1 A ) = µ B ( K ( f , − )(1 A )) = µ B ◦ K ( f , − ) (1 A ) = [ µ åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå K ( A, − ) â F ] = F ( f ) ◦ µ A (1 A ) = F ( f )( θ F ,A ( µ )) , òî åñòü äèàãðàììà ê îììóò àòèâíà, è θ F ,A åñòå- ñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå â àðãóìåíòå A .  Ëåììà Éîíåäû äàåò õ îðîøåå îïèñàíèå ìíî æ åñòâà âñåõ åñòåñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé èç H om -óíêòîðà â íåê îòîðûé îòìå÷åííûé óíêòîð è äåéñòâèòåëüíî ïîëåçíà, ê îã äà ò àê àÿ çàäà ÷à âîçíèê àåò (íàïðèìåð, â òî- ïîëîãèè, â òåîðèè õ àðàêòåðèñòè÷åñêèõ êëàññîâ). Ïð ÿìûì ïðèëî æ åíèåì ëåììû ÿâëÿåòñ ÿ äîê àçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî óíê- òîðû X 7→ K ( X , − ) è X 7→ K ( − , X ) ÿâëÿþòñ ÿ áèåêòèâíûìè, òî åñòü îñó- ùåñòâëÿþò âëî æ åíèå (ñîîòâåòñòâåííî ê îíòðàâàðèàíòíîå èëè ê îâàðèàíò- íîå) ê àòåãîðèè K ê àê ïî äê àòåãîðèè ê àòåãîðèè óíêòîðîâ ñî çíà ÷åíèÿìè â Set . Óòâåð æäåíèå 8 (Âëî æ åíèå Éîíåäû) . • Êîâàðèàíòíûé óíêòîð Y : K → Set K op :  A 7→ K ( − , A ) ( f : A → B ) 7→ K ( − , f ) : K ( − , A ) → K ( − , B ) : g 7→ f ◦ g ÿâëÿåòñÿ èíúåêòèâíûì íà îáúåêòàõ è áèåêòèâíûì. • À íàëîãè÷íî, êîíòð àâàðèàíòíûé óíêòîð ¯ Y : K → Set K :  A 7→ K ( A, − ) ( f : A → B ) 7→ K ( f , − ) : K ( B , − ) → K ( A, − ) : g 7→ g ◦ f ÿâëÿåòñÿ èíúåêòèâíûì íà îáúåêòàõ è áèåêòèâíûì. Äîê àçàòåëüñòâî.  àññìîòðèì äëÿ îïðåäåëåííîñòè òîëüê î ê îâàðèàíòíûé ñëó÷àé. Èíúåê- òèâíîñòü íà îáúåêò àõ ñëåäó åò èç òîãî, ÷òî åñëè A 6 = B , òî äëÿ ëþáîãî îáúåêò à X ∈ K 0 ìíî æ åñòâà K ( X , A ) è K ( X , B ) ðàçëè÷íû, ò àê ê àê ñîñòî- ÿò èç ñòðåëîê ñ ðàçíûìè ê îíöàìè (õ îò ÿ ýòè ìíî æ åñòâà ìîãóò áûòü âî 22 âçàèìíî-î äíîçíà ÷íîì ñîîòâåòñòâèè). Ïî äñò àâèì â ëåììó Éîíåäû F = K ( − , B ) , ïîëó÷èì θ K ( − ,B ) ,A : Set K op ( K ( − , A ) , K ( − , B )) ≃ → K ( A, B ) , è ê àê áûëî îïðåäåëåíî ðàíüøå θ − 1 K ( − ,B ) ,A ( f ) := K ( − , B )( f ) . Íàïèøåì îðìó ëó äëÿ X -ê îìïîíåíòû ýòîãî åñòåñòâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ( θ − 1 K ( − ,B ) ,A ( f )) X := ( K ( − , B )( f )) X : K ( X , A ) → K ( X , B ) : g 7→ f ◦ g = ( Y ( f ) ) X ( g ) , ã äå f ∈ K ( A, B ) , g ∈ K ( X , A ) , òî åñòü ( θ − 1 K ( − ,B ) ,A ( f )) X = ( Y ( f ) ) X äëÿ ê àæäîãî X ∈ K 0 . Ýòî çíà ÷èò , ÷òî θ − 1 K ( − ,B ) ,A ( f ) = Y ( f ) äëÿ ê àæäîãî f ∈ K ( A, B ) , òî åñòü îòîáðàæ åíèå Éîíåäû áèåêòèâíî íà H om - ìíî æ åñòâàõ.  Óïðàæíåíèÿ 9. 1. Ïîêàçàòü, ÷òî ïàð à ( { 0 , 1 } , { 0 , 1 } ) , ãäå { 0 , 1 } ∈ P ( { 0 , 1 } ) = { Ø , { 0 } , { 1 } , { 0 , 1 }} , íå ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëÿþùåé äëÿ óíêòîð à ìíîæåñòâà-ñòåïåíü P . 2. Íàéòè ïðåäñòàâëÿþùèé îáúåêò è óíèâåðñ àëüíûé ý ëå ìåíò çàáû- âàþùåãî óíêòîð à U : Grp → Set . 3. Äîêàçàòü, ÷òî îð ìóëà F ( − )( a ) äåéñòâèòå ëüíî îïðåäå ëÿåò åñòå- ñòâåííîå ïðåîáð àçîâàíèå K ( A, − ) → F , a ∈ F ( A ) (äëÿ êîâàðèàíò- íîãî óíêòîð à F ) èëè K ( − , A ) → F , a ∈ F ( A ) (äëÿ êîíòð àâàðè- àíòíîãî óíêòîð à F ). 2.2 Ïðåäåëû Ïðåäåëû ïðåäñò àâëÿþò ñîáîé îáúåêòû, óíèâåðñàëüíî ïðèñîåäèíåííûå ê äèàãðàììàì. Äèàãðàììà ýòî ïðîñòî íàáîð îáúåêòîâ è íåê îòîðûõ ñòðå- ëîê ìåæäó íèìè, ê îòîðûå íåîá ÿçàòåëüíî ñîñò àâëÿþò ê àòåãîðèþ.  îâîð ÿ î ïðåäåëàõ (è ê îïðåäåëàõ), ìû íå áó äåì ïðåäïîëàã àòü, ÷òî äèàãðàììû ê îììóò àòèâíû. Ó äîáíî çàäàâàòü äèàãðàììó îòîáðàæ åíèåì ïî äõ î äÿùåãî îðèåíòèðîâàííîãî ãðàà â ê àòåãîðèþ.Òðåáó åòñ ÿ òîëüê î, ÷òîáû âåðøè- íû ïåðåõ î äèëè â âåðøèíû, ðåáðà â ñòðåëêè, è ÷òîáû íà ÷àëî è ê îíåö ðåáðà ïåðåõ î äèëè â íà ÷àëà è ê îíåö ñòðåëêè-îáðàçà. Íàïðèìåð, äëÿ ãðà- à, ñîñòî ÿùåãî òîëüê î èç î äíîé âåðøèíû • , äèàãðàììà ýòî ïðîñòî î äèí îáúåêò , íàïðèìåð, X . Äëÿ ãðàà, ñîñòî ÿùåãî èç äâóõ âåðøèí • • , äèàãðàììîé áó äåò ïàðà îáúåêòîâ, íàïðèìåð, X Y . Äëÿ ãðà- à • ( ( 6 6 • äèàãðàììîé áó äåò , íàïðèìåð, X f ) ) g 5 5 Y , è ò àê äàëåå. Åñòå- ñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå äèàãðàìì îïðåäåëÿåòñ ÿ ò àêæ å ê àê äëÿ óíêòî- ðîâ íàáîðîì ñòðåëîê, ïî î äíîé äëÿ ê àæäîé âåðøèíû ãðàà ò àê, ÷òî ýòè 23 ñòðåëêè ê îììóòèðóþò ñî ñòðåëê àìè äèàãðàììû. Íàïðèìåð, äëÿ ïîñëåä- íåãî ñëó÷àÿ åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå äèàãðàììû X f ) ) g 5 5 Y â äèà- ãðàììó X ′ f ′ * * g ′ 4 4 Y ′ çàäàåòñ ÿ ïàðîé ñòðåëîê α 1 : X → X ′ è α 2 : Y → Y ′ ò àêèõ, ÷òî êâàäðàòû X α 1 / / f   X ′ f ′   Y α 2 / / Y ′ è X α 1 / / g   X ′ g ′   Y α 2 / / Y ′ ê îììóò àòèâíû. Óòâåð æäåíèå 9. • Äèàãð àììû èç ãð à à G â êàòåãîðèþ K ñîñòàâ- ëÿþò êàòåãîðèþ, ñ îáúåêòàìè  äèàãð àììàìè è ñòðå ëêàìè  åñòå- ñòâåííûìè ïðåîáð àçîâàíèÿìè äèàãð àìì. Ýòà êàòåãîðèÿ îáîçíà÷à- åòñÿ Dgrm G, K . • Èìååòñÿ óíêòîð ∆ : K → Dgrm G, K , íàçíà÷àþùèé îáúåêòó X ∈ K 0 ïîñòîÿííóþ äèàãð àììó ∆( X ) (îòîáð àæàþùóþ âñå âåðøèíû ãð à à G â îáúåêò X è âñå ñòðå ëêè ãð à à G â åäèíè÷íóþ ñòðå ë- êó 1 X ) è ñòðå ëêå f : X → Y åñòåñòâåííîå ïðåîáð àçîâàíèå ∆( f ) : ∆( X ) → ∆( Y ) , ñîïîñòàâëÿþùåå êàæäîé âåðøèíå ãð à à G ñòðå ëêó f : X → Y . Äîê àçàòåëüñòâî ïðåäîñò àâëÿåòñ ÿ ÷èò àòåëþ. Îïðåäåëåíèå 11. Äèàãð àììà D : G → K èìååò ïðåäåë A ∈ K 0 , åñ ëè êîíòð àâàðèàíòíûé óíêòîð Dgrm G, K (∆( − ) , D ) := Dgrm G, K ( − , D ) ◦ ∆ : K op → Set ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâèìûì ñ ïðåäñòàâëÿþùèì îáúåêòî ì A . Äðóãèìè ñëîâàìè, äèàãðàììà D : G → K èìååò ïðåäåë A ∈ K 0 , åñ- ëè ñóùåñòâó åò åñòåñòâåííàÿ áèåêöèÿ ρ : K ( − , A ) ≃ → Dgrm G, K (∆( − ) , D ) . Óíèâåðñàëüíûé ýëåìåíò ρ A (1 A ) ∈ Dgrm G, K (∆( A ) , D ) íàçûâàåòñ ÿ óíè- âåðñàëüíûì ê îíó ñîì íàä äèàãðàììîé D ñ âåðøèíîé A . Ôèê ñèðó åì ê àê îé-íèáó äü îáúåêò B ∈ K 0 . Åñòåñòâåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ â Dgrm G, K (∆( B ) , D ) ñîñòî ÿò èç ñòðåëîê ñ íà ÷àëîì B è ê îíöîì â D , ïî î äíîé äëÿ ê àæäîãî îáúåêò à â D ò àê, ÷òî âñå ïîëó÷àþùèåñ ÿ òðåóãîëüíèêè ñ âåðøèíîé B è î äíîé èç ñòîðîí, ëåæ àùåé â D , ê îììóòèðóþò . Ïî îð- ìó ëå µ = F ( − )( a ) ïîëó÷àåì âûðàæ åíèå äëÿ ρ . Çàïèøåì B -ê îìïîíåíòó åñòåñòâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ρ . ρ B = ( Dgrm G, K (∆( − ) , D )( ρ A (1 A ))) B : K ( B , A ) → Dgrm G, K (∆( B ) , D ) : f 7→ ρ A (1 A ) ◦ ∆( f ) , ÷òî ñâî äèòñ ÿ ê ïðî- ñòîìó óìíî æ åíèþ ñïðàâà íà f ñòðåëîê óíèâåðñàëüíîãî ê îíó ñà ò àê, ÷òî 24 ïîëó÷àåòñ ÿ íîâûé ê îíó ñ ñ âåðøèíîé B .  àññìîòðèì äëÿ ïðèìåðà ðèñó- íîê B f / / A α 1 @ @ @ @ @ @ @ α 2 # # α 3   α 4   X / /   Y   Z / / W Çäåñü êâàäðàò X Y Z W ñî ñòðåëê àìè ýòî äèàãðàììà D , { α i } , i = 1 , .., 4 , ýòî óíèâåðñàëüíûé ê îíó ñ íàä D , f îïðå- äåëÿåò åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå ìåæäó ïîñòî ÿííûìè äèàãðàììàìè B è A , { α i ◦ f } , i = 1 , .., 4  íîâûé ê îíó ñ ñ âåðøèíîé B . Ïî ó ñëîâèþ ρ B ÿâëÿåòñ ÿ áèåêöèåé. Ýòî çíà ÷èò , ÷òî äëÿ ëþáîãî ê îíó ñà β íàä äèàãðàììîé D ñ âåðøèíîé B (èëè, ÷òî òî æ å ñàìîå, äëÿ ëþáîãî åñòåñòâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ β : ∆( B ) → D ) ñóùåñòâó åò åäèíñòâåí- íàÿ ñòðåëê à f : B → A ò àê àÿ, ÷òî β = ρ A (1 A ) ◦ ∆( f ) (òî åñòü, ãîâîð ÿò , ÷òî ê îíó ñ β åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðîïó ñê àåòñ ÿ ÷åðåç óíèâåðñàëüíûé ê îíó ñ α := ρ A (1 A ) ). Äðóãèìè ñëîâàìè, óíèâåðñàëüíûé ê îíó ñ ÿâëÿåòñ ÿ ê îíå÷íûì îáúåêòîì â ê àòåãîðèè ê îíó ñîâ íàä äèàãðàììîé D , è ïî ýòîé ïðè÷èíå îïðåäåëåí î äíîçíà ÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðèçìà. Ôîðìó ëè- ðîâê à òîãî, ÷òî ò àê îå ê àòåãîðèÿ ê îíó ñîâ íàä äèàãðàììîé, îñò àåòñ ÿ ÷èò à- òåëþ. Íèîòêó äà íå ñëåäó åò , ÷òî ïðåäåë òîé èëè èíîé äèàãðàììû ñóùåñòâó- åò . Äåéñòâèòåëüíî, íå âñå äèàãðàììû â ïðîèçâîëüíîé ê àòåãîðèè èìåþò ïðåäåë. Êàòåãîðèÿ, â ê îòîðîé âñå äèàãðàììû èìåþò ïðåäåë, íàçûâàåòñ ÿ ïîëíîé (â ñìûñëå ïðåäåëîâ), à óíêòîð, ñî õðàíÿþùèé ïðåäåëû, íåïðå- ðûâíûì . Ïðèìåðû. 1. Êîíå÷íûé îáúåêò 1 ê àòåãîðèè K ðàññìàòðèâàþò ê àê ïðåäåë ïó- ñòîé äèàãðàììû. Ïó ñò àÿ äèàãðàììà ýòî åäèíñòâåííûé îáúåêò ê à- òåãîðèè Dgrm Ø , K .  ýòîì ñëó÷àå âñå (â òîì ÷èñëå ïîñòî ÿííûå) äèàãðàììû ñîâïàäàþò ñ ïó ñòîé äèàãðàììîé, à âñå åñòåñòâåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåæäó äèàãðàììàìè ñîâïàäàþò ñ òî æäåñòâåííûì ïó ñòûì ïðåîáðàçîâàíèåì ïó ñòîé äèàãðàììû. Ïîýòîìó , K ( X , 1 ) ≃ → Dgrm Ø , K (∆( X ) , D ) (èçîìîðèçì ìåæäó î äíîýëåìåíòíûìè ìíî æ å- ñòâàìè, åñòåñòâåííûé â X ). 2. Ïðåäåë äèàãðàììû, ñîñòî ÿùåé èç äâóõ îáúåêòîâ X Y (äëÿ ãðàà G = • • ), íàçûâàåòñ ÿ ïðîèçâåäåíèåì (èëè èíîã äà ïð ÿìûì èëè äåê àðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì) îáúåêòîâ X è Y , è îáîçíà ÷àåòñ ÿ X × Y . 25 Óíèâåðñàëüíûé ê îíó ñ ñîñòîèò èç äâóõ ñòðåëîê X × Y pr 1 { { v v v v v v v v v pr 2 # # G G G G G G G G G X Y ê îòîðûå íàçûâàþòñ ÿ ïåðâîé è âòîðîé ïðîåêöèÿìè . Ïðîèçâåäåíèå õ àðàêòåðèçó åòñ ÿ òåì, ÷òî äëÿ ëþáûõ äâóõ ñòðåëîê g : Z → X è h : Z → Y ñóùåñòâó åò åäèíñòâåííàÿ ñòðåëê à f : Z → X × Y ò àê àÿ, ÷òî äèàãðàììà Z ∃ ! f      g { { v v v v v v v v v v h # # G G G G G G G G G G X X × Y pr 1 o o pr 2 / / Y ê îììóò àòèâíà. Åñëè â ê àê îé-òî ê àòåãîðèè ïðîèçâåäåíèå îê àæ åòñ ÿ ïîñòðîåííûì äâóìÿ ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè (÷òî èíîã äà ñëó÷àåòñ ÿ), òî ìåæäó ò àêèìè îáúåêò àìè ñóùåñòâó åò åäèíñòâåííûé èçîìîðèçì, ïåðåâî- äÿùèé î äèí óíèâåðñàëüíûé ê îíó ñ â äðóãîé.  ê àòåãîðèè Set ïðîèçâåäåíèå äâóõ ìíî æ åñòâ îïðåäåëÿåòñ ÿ ñò àí- äàðòíî ê àê X × Y := { ( x, y ) | x ∈ X , y ∈ Y } , à ïðîåêöèè ê àê pr 1 ( x, y ) := x , pr 2 ( x, y ) := y .  ê àòåãîðèè Cat ïðîèçâåäåíèå äâóõ ê àòåãîðèé K è L ÿâëÿåòñ ÿ ê àòå- ãîðèåé K ×L ñ îáúåêò àìè  ïàðàìè îáúåêòîâ ( K , L ) , K ∈ K 0 , L ∈ L 0 è ñòðåëê àìè  ïàðàìè ñòðåëîê ( f , g ) , f ∈ K 1 , g ∈ L 1 ñ ïîê îìïîíåíò- íûì óìíî æ åíèåì ( f 2 , g 2 ) ◦ ( f 1 , g 1 ) := ( f 2 ◦ f 1 , g 2 ◦ g 1 ) . Ïðîåêöèÿìè ÿâëÿþòñ ÿ óíêòîðû pr 1 : K × L → K è pr 2 : K × L → L , âûäåëÿ- þùèå ñîîòâåòñòâåííî ïåðâóþ è âòîðóþ ê îìïîíåíòû îáúåêòîâ èëè ñòðåëîê. Ïðîèçâåäåíèå òðåõ èëè áîëüøåãî ÷èñëà îáúåêòîâ îïðåäåëÿåòñ ÿ àíà- ëîãè÷íî ê àê ïðåäåë äèàãðàììû, ñîñòî ÿùåé èç n îáúåêòîâ. ×èò àòå- ëþ ðåê îìåíäó åòñ ÿ äîê àçàòü, íàïðèìåð, äëÿ òðåõ îáúåêòîâ, ÷òî 3 - êðàòíîå ïðîèçâåäåíèå îáúåêòîâ X × Y × Z è îáúåêòû X × ( Y × Z ) èëè ( X × Y ) × Z , ïîëó÷åííûå èòåðàöèåé áèíàðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, èçîìîðíû. 3. Óðàâíèòåëü ýòî ïðåäåë äèàãðàììû, ñîñòî ÿùåé èç äâóõ ïàðàëëåëü- íûõ ñòðåëîê X f / / g / / Y . Ýòî çíà ÷èò , ñóùåñòâó åò ïðåäåëüíûé îáúåêò Z è óíèâåðñàëüíûé ê îíó ñ Z u @ @ @ @ @ @ @ v # # X f / / g / / Y ò àêèå, ÷òî v = f ◦ u = g ◦ u . 26 Ïîñê îëüêó ê îìïîíåíò à v äëÿ óíèâåðñàëüíîãî ê îíó ñà (è äëÿ âñ ÿ- ê îãî äðóãîãî ê îíó ñà) ïîëíîñòüþ îïðåäåëåíà ê îìïîíåíòîé u , òî åå (ëèøíþþ ê îìïîíåíòó) îáû÷íî íå ðàññìàòðèâàþò , è íàçûâàþò óðàâ- íèòåëåì ñòðåëêó u : Z → X ò àêóþ, ÷òî • f ◦ u = g ◦ u , • äëÿ âñ ÿê îé äðóãîé ñòðåëêè w : W → X , ò àê îé, ÷òî f ◦ w = g ◦ w , ñóùåñòâó åò åäèíñòâåííàÿ ñòðåëê à k : W → Z , äåëàþùàÿ äèàãðàììó Z u / / X f / / g / / Y W w > > | | | | | | | | ∃ ! k O O    ê îììóò àòèâíîé. Êàê è âñå ïðåäåëû, óðàâíèòåëü, åñëè ñóùåñòâó åò , îïðåäåëåí î äíîçíà ÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðèçìà.  ê àòåãîðèè ìíî æ åñòâ Set óðàâíèòåëåì u áó äåò âëî æ åíèå ïî ä- ìíî æ åñòâà { x ∈ X | f ( x ) = g ( x ) } , íà ê îòîðîì f è g ñîâïàäàþò , â ìíî æ åñòâî X . Àíàëîãè÷íî, â ê àòåãîðèè V ect óðàâíèòåëåì áó äåò âëî æ åíèå ïî äïðîñòðàíñòâà { x ∈ X | f ( x ) = g ( x ) } , íà ê î- òîðîì ëèíåéíûå îòîáðàæ åíèÿ f è g ñîâïàäàþò , â âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî X . 4.  àññëîåííûì ïðîèçâåäåíèåì X × Z Y îáúåêòîâ X è Y íàä Z íàçûâàåòñ ÿ ïðåäåë äèàãðàììû âèäà Y g   X f / / Z Êàê è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, ñòðåëê à ê îíó ñà â îáúåêò Z âû÷èñ- ëÿåòñ ÿ ÷åðåç îñò àëüíûå ñòðåëêè ê îíó ñà íàä óê àçàííîé äèàãðàì- ìîé è íå ó÷èòûâàåòñ ÿ. Ò àêèì îáðàçîì, ðàññëîåííûì ïðîèçâåäåíè- åì íàçûâàåòñ ÿ îáúåêò X × Z Y è ïàðà ñòðåëîê α : X × Z Y → X , β : X × Z Y → Y ò àêèõ, ÷òî • f ◦ α = g ◦ β , • äëÿ ëþáûõ ñòðåëîê γ : W → X , δ : W → Y ñ ó ñëîâèåì f ◦ γ = g ◦ δ ñóùåñòâó åò åäèíñòâåííàÿ ñòðåëê à k : W → X × Z Y , äå- 27 ëàþùàÿ äèàãðàììó W γ   6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 δ ) ) T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T ∃ ! k $ $ I I I I I X × Z Y α   β / / Y g   X f / / Z ê îììóò àòèâíîé. Êâàäðàò ñî ñòîðîíàìè α, f , β , g íàçûâàåòñ ÿ óíèâåðñàëüíûì êâàäðàòîì .  ê àòåãîðèè ìíî æ åñòâ Set ðàññëîåííûì ïðîèçâåäåíèåì X × Z Y áó äåò ïî äìíî æ åñòâî äåê àðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ X × Y , íà ê îòîðîì óíêöèè f ◦ pr 1 è g ◦ pr 2 ñîâïàäàþò , òî åñòü X × Z Y = { ( x, y ) ∈ X × Y | f ( x ) = g ( y ) } . Ôóíêöèè α è β ÿâëÿþòñ ÿ ñîîòâåòñòâåííî îãðà- íè÷åíèÿìè ïðîåêöèé pr 1 : X × Y → X è pr 2 : X × Y → Y íà äàííîå ïî äìíî æ åñòâî. Ïðèâåäåííûå ïðèìåðû ïðåäñò àâëÿþò ñîáîé â íåê îòîðîì ñìûñëå ýëå- ìåíò àðíûå êèðïè÷èêè, èç ê îòîðûõ ñòðî ÿòñ ÿ áîëåå ñëî æíûå ïðåäåëû. Èìååòñ ÿ òåîðåìà, ÷òî ê àòåãîðèÿ ÿâëÿåòñ ÿ ê îíå÷íî-ïîëíîé (òî åñòü ïðå- äåëû âñåõ äèàãðàìì, ñîñòî ÿùèõ èç ê îíå÷íîãî ÷èñëà îáúåêòîâ è ñòðåëîê, ñóùåñòâóþò), åñëè ñóùåñòâóþò ê îíå÷íûé îáúåêò , áèíàðíûå ïðîèçâåäå- íèÿ è óðàâíèòåëè (èëè åñëè ñóùåñòâóþò ê îíå÷íûé îáúåêò è ðàññëîåííûå ïðîèçâåäåíèÿ). Óïðàæíåíèÿ 10. 1. Äîêàçàòü óòâåðæäåíèå 9. 2. Íàðèñîâàòü êî ììóòàòèâíûå äèàãð àììû, êîòîðûå äî ëæíû âûïî ë- íÿòüñÿ, äëÿ ñòðå ëîê êîíóñ à íàä äèàãð àììîé. 3. Äëÿ êàòåãîðèè K è îáúåêòà K ∈ K 0 ñîñòàâèì íîâóþ êàòåãî- ðèþ, êîòîð àÿ îáîçíà÷àåòñÿ K /K è íàçûâàåòñÿ êàòåãîðèåé ñòðå- ëîê íàä îáúåêòî ì K . Åå îáúåêòàìè ÿâëÿþòñÿ âñå ñòðå ëêè ñ êîí- öî ì K , à ìîð èçìàìè èç îáúåêòà X f   K â îáúåêò Y g   K ñòðå ëêè êà- òåãîðèè K ñ íà÷àëî ì X è êîíöî ì Y , äëÿ êîòîðûõ òðåóãî ëüíèê X / / f A A A A A A A A Y g ~ ~ } } } } } } } K êî ììóòàòèâåí. Äîêàçàòü, ÷òî ýòà êîíñòðóê- öèÿ äåéñòâèòå ëüíî îïðåäå ëÿåò êàòåãîðèþ. Äîêàçàòü, ÷òî êàòå- ãîðèÿ êîíóñîâ íàä äèàãð àììîé D ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïî ëíóþ ïîä- 28 êàòåãîðèþ êàòåãîðèè ñòðå ëîê Dgrm G, K /D . Óáåäèòüñÿ, ÷òî óíè- âåðñ àëüíûé êîíóñ íàä D ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íûì îáúåêòî ì â ýòîé ïîä- êàòåãîðèè. 4.  àçîáð àòü ñ ëó÷àé ïðåäå ëà ïóñòîé äèàãð àììû (ïðèìåð 1). 5. Ïðîâåðèòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèÿ â êàòåãîðèÿõ ìíîæåñòâ Set è êà- òåãîðèé Cat îïðåäå ëåíû êîððåêòíî (ïðèìåð 2). 6. Íàéòè ïðîèçâåäåíèå â êàòåãîðèè âåêòîðíûõ ïðîñòð àíñòâ V ect è ïðåäóïîðÿäî÷åííî ì ìíîæåñòâå ( L, < ) . 7. Äîêàçàòü, ÷òî X × Y × Z ≃ X × ( Y × Z ) ≃ ( X × Y ) × Z . 8. Äîêàçàòü, ÷òî óð àâíèòå ëü ÿâëÿåòñÿ ìîíîñòðå ëêîé. 9. Îïðåäå ëèòü ñ ìûñ ë óíèâåðñ àëüíîãî êâàäð àòà â êàòåãîðèè Set , äëÿ êîòîðîãî f  ïðîèçâî ëüíàÿ óíêöèÿ, à g  âëîæåíèå ïîäìíîæå- ñòâà Y â ìíîæåñòâî Z (ïðèìåð 4). 10.  êàòåãîðèè K ñ áèíàðíûìè ïðîèçâåäåíèÿìè îïðåäå ëèòü óíêòîð óìíîæåíèÿ X × ( − ) : K → K íà èêñèðîâàííûé îáúåêò êàòåãîðèè X ∈ K 0 . 2.3 Êîïðåäåëû Êîïðåäåëîì äèàãðàììû ÿâëÿåòñ ÿ ïðåäåë äâîéñòâåííîé äèàãðàììû â äâîé- ñòâåííîé ê àòåãîðèè. Äâîéñòâåííàÿ äèàãðàììà, ê àê è äâîéñòâåííàÿ ê àòå- ãîðèÿ, ïîëó÷àåòñ ÿ çàìåíîé âñåõ ñòðåëîê íà ïðîòèâîïîëî æíûå. Èìååòñ ÿ ñëåäóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçîìîðèçìîâ K ( A, − ) ≃ K op ( − , A ) ≃ Dgrm G, K op (∆( − ) , D op ) ≃ Dgrm G, K ( D , ∆( − )) . Îïðåäåëåíèå 12. Îáúåêò A ∈ K 0 íàçûâàåòñÿ ê îïðåäåëîì äèàãð àììû D : G → K , åñ ëè ñóùåñòâóåò åñòåñòâåííûé èçî ìîð èçì ρ : K ( A, − ) ≃ → Dgrm G, K ( D , ∆( − )) . Óíèâåðñ àëüíûé ý ëå ìåíò ρ (1 A ) íàçûâàåòñÿ óíèâåð- ñàëüíûì ê îê îíó ñîì íàä äèàãð àììîé D . ðàè÷åñêè ê îê îíó ñ íàä äèàãðàììîé âûã ëÿäèò ê àê ñåìåéñòâî ñòðå- ëîê, íà ÷èíàþùèõ ñ ÿ â âåðøèíàõ äèàãðàììû D è çàê àí÷èâàþùèõ ñ ÿ â î ä- íîì îáúåêòå  âåðøèíå ê îê îíó ñà . Óíèâåðñ àëüíûé êîêîíóñ ÿâëÿåòñ ÿ íà ÷àëüíûì îáúåêòîì â ê àòåãîðèè ê îê îíó ñîâ íàä äèàãðàììîé, òî åñòü ëþáîé ê îê îíó ñ ïðîïó ñê àåòñ ÿ ÷åðåç íåãî åäèíñòâåííûì îáðàçîì. Ïðèìåðû. 29 1. Íà ÷àëüíûé îáúåêò 0 ÿâëÿåòñ ÿ ê îïðåäåëîì ïó ñòîé äèàãðàììû D : Ø → K . 2. Êîïðîèçâåäåíèåì X ` Y íàçûâàåòñ ÿ ê îïðåäåë äèàãðàììû, ñî- ñòî ÿùåé èç äâóõ îáúåêòîâ X è Y . Óíèâåðñàëüíûé ê îê îíó ñ ñîñòîèò èç äâóõ ñòðåëîê X i 1 / / X ` Y Y i 2 o o , íàçûâàåìûõ âëî æ åíèÿ- ìè . Ëþáîé ê îê îíó ñ íàä äèàãðàììîé X Y åäèíñòâåííûì îáðà- çîì ïðîïó ñê àåòñ ÿ ÷åðåç óíèâåðñàëüíûé ê îê îíó ñ Z X i 1 / / f ; ; w w w w w w w w w w X ` Y ∃ ! k O O    Y i 2 o o g c c G G G G G G G G G G  ê àòåãîðèè ìíî æ åñòâ Set ê îïðîèçâåäåíèåì ÿâëÿåòñ ÿ äèçúþíêòíîå îáúåäèíåíèå ìíî æ åñòâ X ` Y := ( X × { 0 } ) S ( Y × { 1 } ) (ýëåìåíòû ìíî æ åñòâà X áåðóòñ ÿ ñ ìåòê îé 0 , à ìíî æ åñòâà Y ñ ìåòê îé 1 , ÷òî- áû áûòü óâåðåííûì, ÷òî ìíî æ åñòâà íå ïåðåñåê àþòñ ÿ. Äèçúþíêòíîå îáúåäèíåíèå ýòî îáúåäèíåíèå íåïåðåñåê àþùèõ ñ ÿ ìíî æ åñòâ). 3. Êîóðàâíèòåëåì íàçûâàåòñ ÿ ê îïðåäåë äèàãðàììû, ñîñòî ÿùåé èç äâóõ ïàðàëëåëüíûõ ñòðåëîê X f / / g / / Y . Êàê è â ñëó÷àå ïðåäåëîâ, ê îê îíó ñ îïðåäåëÿåòñ ÿ î äíîé ñòðåëê îé, âûõ î äÿùåé èç îáúåêò à Y . Ò àêèì îáðàçîì, ê îóðàâíèòåëü ýòî îáúåêò Z âìåñòå ñî ñòðåëê îé u : Y → Z ò àêèìè, ÷òî • u ◦ f = u ◦ g , • äëÿ ëþáîé ñòðåëêè w : Y → W ñî ñâîéñòâîì w ◦ f = w ◦ g ñóùåñòâó åò åäèíñòâåííàÿ ñòðåëê à k : Z → W , äåëàþùàÿ äèàãðàììó W X f / / g / / Y u / / w > > } } } } } } } } Z ∃ ! k O O    ê îììóò àòèâíîé.  ê àòåãîðèè ìíî æ åñòâ Set ê îóðàâíèòåëè îïðåäåëÿþòñ ÿ ïîñëî æíåå, ÷åì óðàâíèòåëè. Èìåííî, Z îïðåäåëÿåòñ ÿ ê àê ìíî æ åñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè ïî îòíîøåíèþ ýêâèâàëåíòíîñòè, ïîðîæäåííî ìó ó ñëîâèÿìè y 1 ∼ y 2 , ã äå y 1 , y 2 ∈ Y , åñëè ñóùåñòâó åò ýëåìåíò x ∈ X ò àê îé, ÷òî f ( x ) = y 1 , g ( x ) = y 2 . Äðóãèìè ñëîâàìè, çíà ÷åíèÿ óíê- öèé f ( x ) è g ( x ) ñ÷èò àþòñ ÿ ýêâèâàëåíòíûìè â ê àæäîé òî÷ê å x ∈ X , è ñòðîèòñ ÿ (ìèíèìàëüíîå) îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè ïî ýòèì ó ñëî- âèÿì ò àê, ÷òîáû, íàïðèìåð, âûïîëíÿëîñü y ∼ y , f ( x ) ∼ f ( x ) , g ( x ) ∼ f ( x ) , ( f ( x ) ∼ g ( x ))&( f ( x ′ ) ∼ g ( x ′ ))&( f ( x ) = f ( x ′ )) ⇒ ( g ( x ) ∼ g ( x ′ )) , 30 è ò àê äàëåå. Åñëè íå ñòðîèòü îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè, òî íåëü- çÿ ïîëó÷èòü ìíî æ åñòâî Z . Óíèâåðñàëüíîé ñòðåëê îé u : Y → Z â ýòîì ñëó÷àå áó äåò ê àíîíè÷åñê àÿ ïðîåêöèÿ, ñîïîñò àâëÿþùàÿ ýëå- ìåíòó y ∈ Y åãî êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè. 4. Ïðèêëåèâàíèåì îáúåêò à Y ê îáúåêòó X ïî îáúåêòó Z íàçûâàåòñ ÿ ê îïðåäåë äèàãðàììû, ñîñòî ÿùåé èç äâóõ ñòðåëîê ñ îáùèì íà ÷àëîì Z f / / g   X Y Ýòîò ê îïðåäåë ÷àñòî îáîçíà ÷àåòñ ÿ X ` Z Y è ìî æ åò íà- çûâàòüñ ÿ äèçúþíêòíûì îáúåäèíåíèåì îáúåêòîâ X è Y íàä îáúåê- òîì Z . Êîê îíó ñû íàä äàííîé äèàãðàììîé îïðåäåëåíû äâóìÿ ñòðåë- ê àìè âûõ î äÿùèìè èç âåðøèí X è Y . Ò àêèì îáðàçîì, äèçúþíêòíîå îáúåäèíåíèå îáúåêòîâ X è Y íàä îáúåêòî ì Z ñîñòîèò èç îáúåêò à X ` Z Y âìåñòå ñ äâóìÿ ñòðåëê àìè X α   Y β / / X ` Z Y ò àêèìè, ÷òî • α ◦ f = β ◦ g , • äëÿ ëþáûõ äâóõ ñòðåëîê γ : X → W , δ : Y → W ñî ñâîéñòâîì γ ◦ f = δ ◦ g ñóùåñòâó åò åäèíñòâåííàÿ ñòðåëê à k : X ` Z Y → W , äåëàþùàÿ äèàãðàììó Z f / / g   X α   γ   6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 Y β / / δ ) ) T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T X ` Z Y ∃ ! k $ $ I I I I I W ê îììóò à- òèâíîé. Êâàäðàò f , α, g , β íàçûâàåòñ ÿ ê îóíèâåðñàëüíûì êâàäðàòîì .  ê àòåãîðèè ìíî æ åñòâ Set ðåçó ëü ò àò ïðèêëåèâàíèÿ ìî æíî îïèñàòü ê àê ìíî æ åñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè äèçúþíêòíîãî îáúåäèíå- íèÿ ìíî æ åñòâ X ` Y := X × { 0 } S Y × { 1 } ïî îòíîøåíèþ ýêâèâà- ëåíòíîñòè ∼ , ïîðî æäåííîìó ïàðàìè i 1 ◦ f ( z ) ∼ i 2 ◦ g ( z ) , z ∈ Z , ã äå i 1 è i 2 âëî æ åíèÿ ìíî æ åñòâ X è Y â äèçúþíêòíîå îáúåäèíåíèå X ` Y . Êàòåãîðèÿ, â ê îòîðîé âñå ê îïðåäåëû ñóùåñòâóþò , íàçûâàåòñ ÿ ê îïîë- íîé , à åñëè ñóùåñòâóþò òîëüê î ê îïðåäåëû ê îíå÷íûõ äèàãðàìì (äèà- ãðàìì ñ ê îíå÷íûì ÷èñëîì îáúåêòîâ è ñòðåëîê), òî ê îíå÷íî ê îïîëíîé . 31 Ôóíêòîð, ñî õðàíÿþùèé ê îïðåäåëû, íàçûâàåòñ ÿ ê îíåïðåðûâíûì . Êàê è â ñëó÷àå ïðåäåëîâ, äëÿ òîãî ÷òîáû ê àòåãîðèÿ áûëà ê îíå÷íî ê îïîë- íîé íåîá õ î äèìî è äîñò àòî÷íî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàëè íà ÷àëüíûé îáúåêò , áèíàðíûå ê îïðîèçâåäåíèÿ è ê îóðàâíèòåëè (èëè æ å íà ÷àëüíûé îáúåêò è ê îóíèâåðñàëüíûå êâàäðàòû). Óïðàæíåíèÿ 11. 1. Âûïèñ àòü ïîäðîáíî, ÷òî îçíà÷àåò îïðåäå ëåíèå êîïðåäå ëà äèàãð àììû, êàê ýòî áûëî ñäå ëàíî â ïàð àãð àå 2.2 äëÿ ïðåäå ëà. 2. Äîêàçàòü, ÷òî äèçúþíêòíîå îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ êî- ïðîèçâåäåíèå ì â êàòåãîðèè ìíîæåñòâ Set . 3. Óáåäèòüñÿ â òî ì, ÷òî ëþáîå áèíàðíîå îòíîøåíèå ρ íà ìíîæå- ñòâå A ïîðîæäàåò íåêîòîðîå îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè ∼ íà A , ñîäåðæàùåå ρ (Áèíàðíîå îòíîøåíèå ρ ýòî, ïî îïðåäå ëåíèþ, ëþáîå ïîäìíîæåñòâî A 2 := A × A . Âñåãäà ñóùåñòâóþò îòíîøå- íèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè (òî åñòü ðå  ëåêñèâíûå, ñèììåòðè÷íûå è òð àíçèòèâíûå îòíîøåíèÿ), ñîäåðæàùèå îòíîøåíèå ρ , íàïðèìåð, ∼ := A 2 . Ïåðåñå÷åíèå ëþáîãî ÷èñ ëà îòíîøåíèé ýêâèâàëåíòíîñòè ÿâëÿåòñÿ ñíîâà îòíîøåíèå ì ýêâèâàëåíòíîñòè). 4. Äîêàçàòü, ÷òî êîóð àâíèòå ëü â êàòåãîðèè Set êîððåêòíî îïðåäå- ëåí (ïðèìåð 3). 5. Óáåäèòüñÿ, ÷òî åñ ëè Z ⊂ X è Z ⊂ Y â êàòåãîðèè ìíîæåñòâ Set , òî X ` Z Y äåéñòâèòå ëüíî èìååò ñ ìûñ ë 'ïðèêëåèâàíèÿ' ìíîæå- ñòâà Y ê ìíîæåñòâó X ïî òî÷êàì ïîäìíîæåñòâà Z .  åêî ìåí- äóåòñÿ òàêæå ïðîâåðèòü ýòî â êàòåãîðèè òîïî ëîãè÷åñêèõ ïðî- ñòð àíñòâ T op . 2.4 Ñîïð ÿæ åííûå óíêòîðû Ñîïð ÿæ åííûå óíêòîðû âñòðå÷àþòñ ÿ â ðàçíûõ îáëàñò ÿõ ìàòåìàòèêè è èìåþò âàæíîå çíà ÷åíèå. ×àñòî ê àê îé-íèáó äü òðèâèàëüíûé óíêòîð (íà- ïðèìåð, çàáûâàþùèé èëè âêëþ÷åíèÿ ïî äê àòåãîðèè) èìååò íåòðèâèàëü- íûé ñîïð ÿæ åííûé. Íà ýòîì ïóòè ó ñò àíàâëèâàþòñ ÿ èíòåðåñíûå âçàèìîîò- íîøåíèÿ ìåæäó ê àòåãîðèÿìè, íåê îòîðûå ïîíÿòèÿ (íàïðèìåð, ñâîáîäíîé àëãåáðàè÷åñê îé ñèñòåìû) íàõ î äÿò ñâîå îáîñíîâàíèå, ââî äÿòñ ÿ äîïîëíè- òåëüíûå ñòðóêòóðû â ê àòåãîðèè, è ò àê äàëåå. Ñ íåê îòîðîé òî÷êè çðåíèÿ àïïàðàò ñîïð ÿæ åííûõ óíêòîðîâ ÿâëÿåòñ ÿ îñíîâíûì â òåîðèè ê àòåãî- ðèé. 32 Îïðåäåëåíèå 13. Ïóñòü óíêòîðû F : L → K è H : K → L äåéñòâó- þò â ïðîòèâîïî ëîæíûõ íàïð àâëåíèÿõ. Ò îãäà F íàçûâàåòñÿ ëåâûì ñî- ïð ÿæ åííûì (óíêòîðó H ), à H ïðàâûì ñîïð ÿæ åííûì (óíêòî- ðó F ), åñ ëè ñóùåñòâóåò åñòåñòâåííàÿ áèåêöèÿ θ X,Y : K ( F ( X ) , Y ) ≃ → L ( X , H ( Y )) , ãäå X ∈ L 0 , Y ∈ K 0 . Ñèòó àöèÿ ñîïð ÿæ åíèÿ îáîçíà ÷àåòñ ÿ F ⊣ H ( F ñîïð ÿæ åí ñëåâà H ).  îïðåäåëåíèè ãîâîðèòñ ÿ, ÷òî ñóùåñòâó åò âçàèìíî-î äíîçíà ÷íîå ñîîòâåò- ñòâèå ìåæäó ñòðå ëêàìè , ïðèíàäëåæ àùèìè H om -ìíî æ åñòâàì äâóõ ðàç- íûõ ê àòåãîðèé K è L . Åñòåñòâåííîñòü â àðãóìåíò àõ X è Y îçíà ÷àåò , ÷òî äëÿ ëþáîé L -ñòðåëêè f : X ′ → X è äëÿ ëþáîé K -ñòðåëêè g : Y → Y ′ äèà- ãðàììà X ′ f   Y ′ K ( F ( X ′ ) , Y ′ ) θ X ′ ,Y ′ / / L ( X ′ , H ( Y ′ )) X Y g O O K ( F ( X ) , Y ) θ X,Y / / K ( F ( f ) ,g ) O O L ( X , H ( Y )) L ( f ,H ( g )) O O ê îììóò àòèâíà, òî åñòü äëÿ ëþáûõ îáúåêòîâ X ∈ L 0 è Y ∈ K 0 , è äëÿ ëþáîé ñòðåëêè x : F ( X ) → Y âûïîëíÿåòñ ÿ òî æäåñòâî θ X ′ ,Y ′ ( g ◦ x ◦ F ( f )) = H ( g ) ◦ θ X,Y ( x ) ◦ f . Ñòðåëêè x : F ( X ) → Y è θ X,Y ( x ) : X → H ( Y ) íàçûâàþòñ ÿ ñîïð ÿæ åí- íûìè äðóã äðóãó , è ïåðåõ î ä îò î äíîé ê äðóãîé ÷àñòî îáîçíà ÷àåòñ ÿ ÷åðòîé ñâåð õó ( x := θ X,Y ( x ) , x := θ X,Y ( x ) , ò àê ÷òî x = x ). ðàè÷åñêè ñîïð ÿ- æ åííûå ñòðåëêè èçîáðàæ àþò ò àêæ å F ( X ) x → Y X x → H ( Y ) . Ò îã äà åñòåñòâåííîñòü îïåðàöèè ( · ) (èëè, ÷òî òî æ å ñàìîå, åñòåñòâåííîñòü θ ) áó äåò âûã ëÿäåòü ê àê F ( X ′ ) F ( f ) → F ( X ) x → Y g → Y ′ X ′ f → X x → H ( Y ) H ( g ) → H ( Y ′ ) . Èç îðìó ëû θ X,Y : K ( F ( X ) , Y ) ≃ → L ( X, H ( Y )) ñëåäó åò , ÷òî âñå óíêòîðû K ( F ( − ) , Y ) : L op → Set (çàâèñ ÿùèå îò ïàðàìåòðà Y ∈ K 0 ) ïðåäñò àâèìû ñ ïðåäñò àâëÿþùèì îáúåêòîì H ( Y ) ∈ L 0 è óíèâåðñàëüíûì ýëåìåíòîì θ − 1 H Y , Y (1 H Y ) . Ò î÷íî ò àêæ å âñå óíêòîðû L ( X , H ( − )) : K → Set (ïàðàìåò- ðèçîâàííûå îáúåêò àìè X ∈ L 0 ) ïðåäñò àâèìû ñ ïðåäñò àâëÿþùèì îáúåê- òîì F ( X ) ∈ K 0 è óíèâåðñàëüíûì ýëåìåíòîì θ X,F X (1 F X ) . Óíèâåðñàëüíûé ýëåìåíò θ − 1 H Y , Y (1 H Y ) : F H Y → Y íàçûâàåòñ ÿ ê îåäèíè- öåé (ñèòó àöèè) ñîïð ÿæ åíèÿ (íà îáúåêòå Y ) è îáîçíà ÷àåòñ ÿ ε Y : F H Y → Y , à óíèâåðñàëüíûé ýëåìåíò θ X,F X (1 F X ) : X → H F X ñîîòâåòñòâåííî íàçûâàåòñ ÿ åäèíèöåé (ñèòó àöèè) ñîïð ÿæ åíèÿ (íà îáúåêòå X ) è îáîçíà- ÷àåòñ ÿ η X : X → H F X . Ò àêèì îáðàçîì, F H Y ε Y → Y H Y 1 H Y → H Y è F X 1 F X → F X X η X → H F X . 33 Óòâåð æäåíèå 10. • Ñòðå ëêè ε Y : F H Y → Y ÿâëÿþòñÿ êî ìïîíåí- òàìè åñòåñòâåííîãî ïðåîáð àçîâàíèÿ ε : F H ⇒ 1 K . • Ñòðå ëêè η X : X → H F X ÿâëÿþòñÿ êî ìïîíåíòàìè åñòåñòâåííîãî ïðåîáð àçîâàíèÿ η : 1 L ⇒ H F . Äîê àçàòåëüñòâî. Äîê àæ åì òîëüê î ïåðâîå óòâåð æäåíèå.  àññìîòðèì äèàãðàììó F H Y ε Y / / Y F H Y ′ ε Y ′ / / F H f O O Y ′ f O O ê îòîðàÿ ïðåäïîëàã àåòñ ÿ áûòü ê îììóò àòèâíîé. Âîçüìåì ñîïð ÿæ åííûå ñòðåëêè îáîèõ ïðîèçâåäåíèé F H Y ′ F H f → F H Y ε Y → Y H Y ′ H f → H Y 1 H Y → H Y è F H Y ′ ε Y ′ → Y ′ f → Y H Y ′ 1 H Y ′ → H Y ′ H f → H Y . Îíè ñîâïàäàþò . Ñëåäîâàòåëüíî, èñ õ î äíûå ñòðåëêè òî æ å ñîâïàäàþò .  Óòâåð æäåíèå 11. Ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû • F ⊣ H , • äëÿ êàæäîãî Y ∈ K 0 óíêòîð K ( F ( − ) , Y ) : L op → Set ïðåäñòàâèì, • äëÿ êàæäîãî X ∈ L 0 óíêòîð L ( X , H ( − )) : K → Set ïðåäñòàâèì. Äîê àçàòåëüñòâî. Ò î, ÷òî èç ïåðâîãî óòâåð æäåíèÿ ñëåäóþò îñò àëüíûå, áûëî ðàññìîòðåíî â íà ÷àëå ïàðàãðàà. Äîê àæ åì, ÷òî èç âòîðîãî ïóíê- ò à ñëåäó åò ïåðâûé. Ïðåäñò àâèìîñòü óíêòîðà K ( F ( − ) , Y ) : L op → Set îçíà ÷àåò , ÷òî äëÿ âñ ÿê îãî îáúåêò à Y ∈ K 0 ñóùåñòâó åò îáúåêò H Y ∈ L 0 ò àê îé, ÷òî K ( F ( − ) , Y ) ≃ L ( − , H Y ) . Òðåáó åòñ ÿ äîê àçàòü: ÷òî îòîáðàæ å- íèå H ìî æ åò áûòü ðàñïðîñòðàíåíî óíêòîðèàëüíî íàä ñòðåëê àìè â K , îïðåäåëèòü áèåêöèþ θ X,Y è äîê àçàòü åå åñòåñòâåííîñòü. Ïðåæäå âñåãî, èç ïðåäñò àâèìîñòè óíêòîðà K ( F ( − ) , Y ) : L op → Set ñ ïðåäñò àâëÿþùèì îáúåêòîì H Y è óíèâåðñàëüíûì ýëåìåíòîì ε Y : F H Y → Y ñëåäó åò , ÷òî 'ê àòåãîðèÿ ýëåìåíòîâ' (ñìîòðèòå ïàðàãðà 2.1), ïîñòðî- åííàÿ ïî óíêòîðó K ( F ( − ) , Y ) , èìååò ïàðó ( H Y , F H Y ε Y → Y ) ñâîèì ê î- íå÷íûì îáúåêòîì, òî åñòü äëÿ ê àæäîé äðóãîé ïàðû ( X , F X x → Y ) ñó- ùåñòâó åò åäèíñòâåííàÿ ñòðåëê à x : X → H Y ò àê àÿ, ÷òî äèàãðàììà H Y F H Y ε Y / / Y X ∃ ! x O O    F X ∀ x ; ; x x x x x x x x x F ( x ) O O ê îììóò àòèâíà. Îòñþ äà ñëåäóþò âñå òðåáó åìûå ðåçó ëü ò àòû. 34 Îïðåäåëèì óíêòîð H íà ñòðåëê àõ ñëåäóþùèì îáðàçîì H f := f ◦ ε Y ′ , òî åñòü H Y F H Y ε Y / / Y H Y ′ ∃ ! H f O O    F H Y ′ F H f O O ε Y ′ / / Y ′ f O O (òî, ÷òî H óíêòîð, òî åñòü ñî õðàíÿåò åäèíèöû è ïðîèçâåäåíèÿ, îñò àåòñ ÿ äîê àçàòü ÷èò àòåëþ) Èç ïîñëåäíåé äèàãðàììû ñëåäó åò ò àêæ å, ÷òî ε : F H ⇒ 1 K åñòü åñòå- ñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå. Îïðåäåëèì θ X,Y : K ( F X , Y ) → L ( X , H Y ) : x 7→ x . Î÷åâèäíî, ýòî áèåêöèÿ ñ îáðàòíûì îòîáðàæ åíèåì θ − 1 X,Y : L ( X, H Y ) → K ( F X , Y ) : y 7→ ε Y ◦ F ( y ) .  àññìîòðèì äèàãðàììó X ′ f   Y ′ K ( F X ′ , Y ′ ) θ X ′ ,Y ′ / / L ( X ′ , H Y ′ ) X Y g O O K ( F X , Y ) θ X,Y / / K ( F f ,g ) O O L ( X , H Y ) L ( f ,H g ) O O Îíà ê îììóò àòèâíà, ïîòîìó ÷òî ñîïð ÿæ åííûå äâóõ âîçìî æíûõ ïðîèç- âåäåíèé ñîâïàäàþò . Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ âñ ÿê îé ñòðåëêè x : F X → Y èìååì θ − 1 X ′ ,Y ′ ( θ X ′ ,Y ′ ( g ◦ x ◦ F f )) = g ◦ x ◦ F f è θ − 1 X ′ ,Y ′ ( H g ◦ θ X,Y ( x ) ◦ f ) = ε Y ′ ◦ F ( H g ◦ x ◦ f ) = ε Y ′ ◦ F H g ◦ F x ◦ F f = g ◦ ε Y ◦ F x ◦ F f = g ◦ x ◦ F f .  Ïðèìåðû. 1. Âñïîìíèì îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà è ê îïðåäåëà: K ( − , A ) ≃ → Dgrm G, K (∆( − ) , D ) è K ( A ′ , − ) ≃ → Dgrm G, K ( D , ∆( − )) . Îáîçíà ÷èì îïåðàöèè, íàçíà ÷àþùèå äèàãðàììå D : G → K ïðåäåëü- íûé è ê îïðåäåëåíûé îáúåêòû, ÷åðåç lim è olim . Ò î åñòü A = lim D , A ′ = olim D (ïðåäïîëàã àåòñ ÿ, ÷òî ïðåäåëû è ê îïðåäåëû ñóùåñòâó- þò â K ). Ôóíêöèè lim è olim î äíîçíà ÷íî ïðî äîëæ àþòñ ÿ äî óíê- òîðîâ lim , olim : Dgrm G, K → K (äîê àçàòåëüñòâî ýòîãî àêò à âû- íîñèòñ ÿ â óïðàæíåíèÿ). Ñëåäîâàòåëüíî, èìååì K ( − , lim D ) ≃ → Dgrm G, K (∆( − ) , D ) è K ( olim D , − ) ≃ → Dgrm G, K ( D , ∆( − )) , òî åñòü olim ⊣ ∆ ⊣ lim (ê îïðåäåë ÿâëÿåòñ ÿ ëåâûì ñîïð ÿæ åííûì, à ïðåäåë ïðàâûì ñîïð ÿæ åííûì ïîñòî ÿííîìó óíêòîðó). 2. Çàáûâàþùèé óíêòîð U : Mon → Set ÿâëÿåòñ ÿ ïðàâûì ñîïð ÿ- æ åííûì ê óíêòîðó âçÿòèÿ ñâîáî äíîãî ìîíîèäà F : Set → 35 Mon , ê îòîðûé ñîïîñò àâëÿåò ìíî æ åñòâó A ìîíîèä 'ñëîâ', äëÿ ê î- òîðûõ A ÿâëÿåòñ ÿ 'àëàâèòîì'. Ñëîâàìè ñ÷èò àþòñ ÿ ëþáûå ê îíå÷- íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýëåìåíòîâ A , íàïðèìåð a 1 a 2 a 3 èëè abcd (åñëè âñå áóêâû ïðèíàäëåæ àò ìíî æ åñòâó A ). Åäèíèöåé ñ÷èò àåòñ ÿ ïó ñòîå ñëîâî, à óìíî æ åíèåì îïåðàöèÿ ïðèïèñûâàíèÿ î äíîãî ñëî- âà ê äðóãîìó , íàïðèìåð, ( a 1 a 2 a 3 ) · ( abcd ) = a 1 a 2 a 3 abcd . Îòîáðàæ å- íèþ f : A → B óíêòîð F ñîïîñò àâëÿåò ãîìîìîðèçì ìîíîè- äîâ F f : F A → F B : a 1 . . . a n 7→ f ( a 1 ) . . . f ( a n ) . Ñèòó àöèÿ ñî- ïð ÿæ åíèÿ Mon ( F A, M ) ≃ Set ( A, U M ) : f 7→ f | A ãîâîðèò î òîì, ÷òî ãîìîìîðèçìû èç ñâîáî äíîãî ìîíîèäà F A â äðóãîé ìîíîèä M íàõ î äÿòñ ÿ âî âçàèìíîî äíîçíà ÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ îòîáðàæ åíè- ÿìè ìíîæåñòâà A , ïîðîæäàþùåãî ñâîáîäíûé ìîíîèä â ìîíîèä M . Áîëåå òî÷íî ñèòó àöèÿ âûðàæ àåòñ ÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì åäèíèöû η A : A → U F A : a 7→ a (ê àæäûé ýëåìåíò a âêëàäûâàåòñ ÿ ê àê ñëîâî, ñîñòî ÿùåå èç î äíîé áóêâû). Èìåííî, óíèâåðñàëüíîå ñâîéñòâî åäè- íèöû äàåò ñëåäóþùóþ äèàãðàììó A η A / / ∀ f " " F F F F F F F F F U F A U f   F A ∃ ! f      U M M ê îòîðàÿ íàçûâàåòñ ÿ îáû÷íî óíèâåðñàëüíûì ñâîéñòâîì ñâîáî ä- íîãî ìîíîèäà .  îìîìîðèçì f : F A → M îïðåäåëÿåòñ ÿ ê àê f ( a 1 . . . a n ) := f ( a 1 ) . . . f ( a n ) . Ëåãê î âèäåòü, ÷òî f äåéñòâèòåëüíî ãîìîìîðèçì è íåò äðóãîãî ïóòè åãî îïðåäåëåíèÿ. Àíàëîãè÷íî, çàáûâàþùèå óíêòîðû Grp → Set , Ab → Set , V ect → Set è äðóãèå èìåþò ëåâûå ñîïð ÿæ åííûå (óíêòîðû âçÿòèÿ ñâîáî ä- íîãî îáúåêò à). 3. Çàáûâàþùèé óíêòîð U : T op → Set ÿâëÿåòñ ÿ î äíîâðåìåííî ïðà- âûì è ëåâûì ñîïð ÿæ åííûì. Ëåâûé ñîïð ÿæ åííûé ê íåìó F : Set → T op ñîïîñò àâëÿåò ìíî æ åñòâó A òîïîëîãè÷åñê îå ïðîñòðàíñòâî, ñî- ñòî ÿùåå èç ìíî æ åñòâà A , â ê îòîðîì âñå ïî äìíî æ åñòâà ñ÷èò àþòñ ÿ îòêðûòûìè (ò àê íàçûâàåìàÿ äèñêðåòíàÿ òîïî ëîãèÿ ). Èìååò ìå- ñòî åñòåñòâåííàÿ áèåêöèÿ T op ( F A, X ) ≃ → Set ( A, U X ) : f 7→ U f , ê îòîðàÿ âûðàæ àåò àêò , ÷òî ê àæäîå îòîáðàæ åíèå ìíî æ åñòâà A â òîïîëîãè÷åñê îå ïðîñòðàíñòâî X íåïðåðûâíî â äèñêðåòíîé òîïîëî- ãèè íà A (äåéñòâèòåëüíî, ïðîîáðàç îòêðûòîãî ìíî æ åñòâà â X áó- äåò íåê îòîðûì ïî äìíî æ åñòâîì â A , ê îòîðîå îòêðûòî ïî îïðåäåëå- íèþ). Ïðàâûé ñîïð ÿæ åííûé ê U (îáîçíà ÷èì åãî W : Set → T op ) ñîïîñò àâëÿåò ìíî æ åñòâó A òîïîëîãè÷åñê îå ïðîñòðàíñòâî, ñîñòî ÿ- ùåå èç ìíî æ åñòâà A , â ê îòîðîì îòêðûòûìè ìíî æ åñòâàìè ñ÷èò à- 36 þòñ ÿ òîëüê î ïî äìíî æ åñòâà A è Ø (ò àê íàçûâàåìàÿ àíòèäèñêðåò- íàÿ òîïî ëîãèÿ ). Èìååò ìåñòî åñòåñòâåííàÿ áèåêöèÿ T op ( X , W A ) ≃ → Set ( U X, A ) : f 7→ U f , âûðàæ àþùàÿ àêò , ÷òî ëþáàÿ óíêöèÿ èç òîïîëîãè÷åñê îãî ïðîñòðàíñòâà X â àíòèäèñêðåòíîå ïðîñòðàíñòâî W A íåïðåðûâíà (ïîòîìó ÷òî ïðîîáðàç A åñòü X , ïðîîáðàç Ø åñòü Ø , è âñå ìíî æ åñòâî è ïó ñòîå ìíî æ åñòâî îòêðûòû â ëþáîé òîïîëîãèè ïî îïðåäåëåíèþ). 4. Ñèòó àöèåé ñîïð ÿæ åíèÿ ìåæäó äâóìÿ ïðåäóïîð ÿäî÷åííûìè ìíî æ å- ñòâàìè áó äåò ( L, < ) f ⊤ - - ( L ′ , < ) g m m , ã äå f , g  ìîíîòîííûå óíêöèè, è g ( x ) < y â L , åñëè è òîëüê î åñëè x < f ( y ) â L ′ . Åäèíèöåé ñîïð ÿ- æ åíèÿ áó äåò x < f g ( x ) , à ê îåäèíèöåé g f ( y ) < y . Ñîïð ÿæ åíèå ìåæ- äó ïðåäóïîð ÿäî÷åííûìè ìíî æ åñòâàìè íàçûâàåòñ ÿ ñîîòâåòñòâèåì  àëó à . Îáð àòíûì ñîîòâåòñòâèå ì  àëóà íàçûâàåòñ ÿ ñîïð ÿæ åíèå ( L, < ) op f ⊤ - - ( L ′ , < ) g m m .  ýòîì ñëó÷àå óíêöèè f è g ìåíÿþò ïîð ÿ- äîê íà ïðîòèâîïîëî æíûé (àíòèòîííûå óíêöèè), è y < f ( x ) , åñëè è òîëüê î åñëè x < g ( y ) . 5. Ñèòó àöèÿ ñîïð ÿæ åíèÿ íå îá ÿçàíà áûòü ìåæäó ðàçíûìè ê àòåãîðèÿ- ìè. Íàïðèìåð, â ê àòåãîðèè ìíî æ åñòâ Set èìååòñ ÿ âàæíîå ñîïð ÿæ å- íèå ìåæäó óíêòîðîì X × ( − ) óìíî æ åíèÿ íà íåê îòîðîå ìíî æ åñòâî X è óíêòîðîì ( − ) X := Set ( X , − ) âçÿòèÿ ìíî æ åñòâà óíêöèé ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ X . Äåéñòâèòåëüíî, èìååò ìåñòî åñòåñòâåí- íûé èçîìîðèçì θ X,Y : Set ( X × Y , Z ) ≃ → Set ( Y , Z X ) , ã äå θ X,Y ( f : X × Y → Z : ( x, y ) 7→ f ( x, y )) := f : Y → Z X : y 7→ f ( − , y ) . Îá- ðàòíîå îòîáðàæ åíèå çàäàåòñ ÿ θ − 1 X,Y ( g : Y → Z X ) := g : X × Y → Z : ( x, y ) 7→ g ( y )( x ) . Ïðîâåðê à åñòåñòâåííîñòè θ X,Y îñò àåòñ ÿ ÷èò àòåëþ. Êàòåãîðèè ñ áèíàðíûì ïðîèçâåäåíèåì, â ê îòîðûõ óíêòîð óìíî- æ åíèÿ X × ( − ) èìååò ïðàâûé ñîïð ÿæ åííûé äëÿ ê àæäîãî îáúåê- ò à X , íàçûâàþòñ ÿ äåê àðòîâî-çàìêíóòûìè . Ò àêèì îáðàçîì, Set  äåê àðòîâî-çàìêíóò àÿ ê àòåãîðèÿ. Cat ò àêæ å ÿâëÿåòñ ÿ äåê àðòîâî- çàìêíóòîé, à, íàïðèìåð, T op è V ect íåò . Ïðèâåäåì â ê îíöå ïàðàãðàà åùå î äíó òåîðåìó áåç äîê àçàòåëüñòâà. Óòâåð æäåíèå 12. Ïð àâûå ñîïðÿæåííûå ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè óíê- òîð àìè, à ëåâûå ñîïðÿæåííûå  êîíåïðåðûâíûìè. Óïðàæíåíèÿ 12. 1. Äîêàçàòü âòîðîé ïóíêò óòâåðæäåíèÿ 10. 37 2. Äîêàçàòü, ÷òî óíêöèÿ H , îïðåäå ëåííàÿ â äîêàçàòå ëüñòâå óòâåð- æäåíèÿ 11, ÿâëÿåòñÿ óíêòîðî ì. 3. Äîêàçàòü, ÷òî â óòâåðæäåíèè 11 èç òðåòüåãî ïóíêòà ñ ëåäóåò ïåðâûé. 4. Äîêàçàòü, ÷òî îïåð àöèè âçÿòèÿ ïðåäå ëà è êîïðåäå ëà îäíîçíà÷íî ïðîäî ëæàþòñÿ äî óíêòîðîâ (ïðèìåð 1). 5. Íàéòè åäèíèöó è êîåäèíèöó ñîïðÿæåíèÿ â ïðèìåðå 1. 6. Îïðåäå ëèòü ñ ìûñ ë êîåäèíèöû â ïðèìåðå 2. 7. Ïðîâåðèòü êîððåêòíîñòü îïðåäå ëåíèÿ ëåâîãî è ïð àâîãî ñîïðÿæåí- íûõ óíêòîðîâ ê çàáûâàþùå ìó óíêòîðó U : T op → Set (ïðèìåð 3). 8. Ïóñòü A åñòü íåêîòîðîå ìíîæåñòâî. Ñîïîñòàâèì êàæäî ìó åãî ïîäìíîæåñòâó B ãðóïïó ïðåîáð àçîâàíèé G B ìíîæåñòâà A , êàæ- äûé ý ëå ìåíò êîòîðîé îñòàâëÿåò âñå òî÷êè B íåïîäâèæíûìè. È íàîáîðîò, êàæäîé ïîäãðóïïå G ãðóïïû ïðåîáð àçîâàíèé Aut ( A ) ìíîæåñòâà A ñîïîñòàâèì ìíîæåñòâî òî÷åê â A , êîòîðûå îñòà- þòñÿ íåïîäâèæíûìè ïðè êàæäî ì ïðåîáð àçîâàíèè ïîäãðóïïû. Äî- êàçàòü, ÷òî èìååò ìåñòî îáð àòíîå ñîîòâåòñòâèå  àëóà ìåæ- äó ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûìè ìíîæåñòâàìè P ( A ) è ìíîæåñòâî ì ïîäãðóïï ãðóïïû Aut ( A ) . Ïîðÿäîê â êàæäî ì ìíîæåñòâå çàäàí îò- íîøåíèå ì âêëþ÷åíèÿ X ⊂ Y . (ðóïïà ïðåîáð àçîâàíèé Aut ( A ) ñî- ñòîèò èç âñåõ áèåêöèé â Set ( A, A ) ). 9. Äîêàçàòü åñòåñòâåííîñòü îòîáð àæåíèÿ θ X,Y â ïðèìåðå 5. 10. Äîêàçàòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ëåâûõ ñîïðÿæåííûõ óíêòîðîâ ÿâ- ëÿåòñÿ ëåâûì ñîïðÿæåííûì óíêòîðî ì, à ïðîèçâåäåíèå ïð àâûõ ñîïðÿæåííûõ  ïð àâûì ñîïðÿæåííûì óíêòîðî ì. 2.5 Ñîïð ÿæ åííîñòü â 2-ê àòåãîðèè Ñóùåñòâó åò åùå î äíà áîëåå àáñòðàêòíàÿ õ àðàêòåðèçàöèÿ ñîïð ÿæ åííûõ óíêòîðîâ ÷åðåç òî æäåñòâà, èñïîëüçóþùèå åäèíèöó è ê îåäèíèöó . Èç ýòîãî ñðàçó ñëåäó åò , ÷òî 2-óíêòîðû íà ê àòåãîðèè 2 - Cat ñî õðàíÿþò ñî- ïð ÿæ åíèå (ïîòîìó ÷òî âñå óíêòîðû ñî õðàíÿþò ê àòåãîðíûå òî æäåñòâà). Êðîìå òîãî ýòî ïîê àçûâàåò , ÷òî ñîïð ÿæ åííîñòü ÿâëÿåòñ ÿ ÷èñòî àëãåáðà- è÷åñêèì ïîíÿòèåì è èìååò ñìûñë â ëþáîé 2-ê àòåãîðèè. 38  àññìîòðèì äâå äèàãðàììû L F   @ @ @ @ @ @ @ 1 L / / ε ⇓ η ⇓ L K H ? ?        1 K / / K H ? ?        è K H   @ @ @ @ @ @ @ 1 K / / η ⇑ ε ⇑ K L F ? ?        1 L / / L F ? ?        Îíè âûðàæ àþò ïî ñóùåñòâó àáñòðàêòíóþ ñèòó àöèþ ñîïð ÿæ åííîñòè â 2-ê àòåãîðèè. Èìåååòñ ÿ ââèäó , ÷òî äèàãðàììû ê îììóò àòèâíû äëÿ 1- è 2- ñòðåëîê. Äëÿ 1-ñòðåëîê ýòî î÷åâèäíî. Äëÿ 2-ñòðåëîê ýòî îçíà ÷àåò (1 H ∗ ε ) ◦ ( η ∗ 1 H ) = 1 H è ( ε ∗ 1 F ) ◦ (1 F ∗ η ) = 1 F . Ýòè âûðàæ åíèÿ íàçûâàþòñ ÿ îáû÷íî òðåóãîëüíûìè òî æäåñòâàìè è îáîçíà ÷àþòñ ÿ ê îðî÷å H ε ◦ η H = 1 H è εF ◦ F η = 1 F . Óòâåð æäåíèå 13. Äëÿ óíêòîðîâ F : L → K è H : K → L ñ ëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû: • F ⊣ H , • ñóùåñòâóþò åñòåñòâåííûå ïðåîáð àçîâàíèÿ ε : F H ⇒ 1 K è η : 1 L ⇒ H F , óäîâëåòâîðÿþùèå òðåóãî ëüíûì òîæäåñòâàì H ε ◦ η H = 1 H è εF ◦ F η = 1 F . Äîê àçàòåëüñòâî. (Èç ïóíêò à 1 ñëåäó åò ïóíêò 2):  àññìîòðèì äèàãðàììû, âûðàæ àþùèå óíèâåðñàëüíîñòü ñòðåëîê ε Y è η X H Y F H Y ε Y / / Y X ∃ ! x O O    F X ∀ x ; ; x x x x x x x x x F ( x ) O O X η X / / ∀ y # # G G G G G G G G G H F X H y   F X ∃ ! y      H Y Y Ïî äñò àâèì â ïåðâóþ äèàãðàììó Y = F X , x = 1 F X , à âî âòîðóþ X = H Y , y = 1 H Y , ïîëó÷èì òðåáó åìûå ðàâåíñòâà ε F X ◦ F η X = 1 F X è H ε Y ◦ η H Y = 1 H Y . (Èç ïóíêò à 2 ñëåäó åò ïóíêò 1): Îïðåäåëèì îòîáðàæ åíèÿ ìåæäó H om - ìíî æ åñòâàìè K ( F X , Y ) θ X,Y . . L ( X , H Y ) θ ∗ X,Y n n ñëåäóþùèì îáðàçîì  θ X,Y ( f ) := H f ◦ η X , f ∈ K ( F X, Y ) θ ∗ X,Y ( g ) := ε Y ◦ F g , g ∈ L ( X , H Y ) 39 Âû÷èñëÿåì θ ∗ X,Y ( θ X,Y ( f )) = ε Y ◦ F ( H f ◦ η X ) = ε Y ◦ F H f ◦ F η X = f ◦ ε F X ◦ F η X = f ◦ 1 F X = f (ìû èñïîëüçîâàëè àêò , ÷òî ε åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå, è âòîðîå òðåóãîëüíîå òî æäåñòâî). Àíàëîãè÷íî, θ X,Y ( θ ∗ X,Y ( g ) ) = H ( ε Y ◦ F g ) ◦ η X = H ε Y ◦ H F g ◦ η X = H ε Y ◦ η H Y ◦ g = 1 H Y ◦ g = g (èñïîëüçîâàëèñü åñòåñòâåííîñòü η è ïåð- âîå òðåóãîëüíîå òî æäåñòâî). Ò àêèì îáðàçîì, θ X,Y è θ ∗ X,Y âçàèìíî îáðàòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ. Äèàãðàììà X x   Y K ( F X , Y ) θ X,Y / / L ( X , H Y ) X ′ Y ′ y O O K ( F X ′ , Y ′ ) K ( F x,y ) O O θ X ′ ,Y ′ / / L ( X ′ , H Y ′ ) L ( x,H y ) O O ê îììóò àòèâíà, ò àê ê àê äëÿ âñ ÿê îé ñòðåëêè h : F X ′ → Y ′ âûïîëíÿåòñ ÿ θ X,Y ( K ( F x, y )( h )) = θ X,Y ( y ◦ h ◦ F x ) = H ( y ◦ h ◦ F x ) ◦ η X = H y ◦ H h ◦ H F x ◦ η X = H y ◦ H h ◦ η X ′ ◦ x = H y ◦ θ X ′ ,Y ′ ( h ) ◦ x = L ( x, H y )( θ X ′ ,Y ′ ( h )) . Ñëåäîâàòåëüíî, θ X,Y åñòåñòâåííàÿ áèåêöèÿ.  Îïðåäåëåíèå 14. Äâà îáúåêòà A è B â 2-êàòåãîðèè K íàçûâàþòñÿ ñîïð ÿæ åííûìè , åñ ëè • ñóùåñòâóþò 1-ñòðå ëêè A f ) ) B g i i , • ñóùåñòâóþò 2-ñòðå ëêè ε : g f ⇒ 1 A , η : 1 B ⇒ f g , • âûïî ëíÿþòñÿ òðåóãî ëíûå òîæäåñòâà f ε ◦ η f = 1 f , εg ◦ g η = 1 g . Ñòðå ëêà g íàçûâàåòñÿ ëåâîé ñîïð ÿæ åííîé ê f , à f ïðàâîé ñîïð ÿ- æ åííîé ê g , ÷òî îáîçíà÷àåòñÿ g ⊣ f . ε íàçûâàåòñÿ ê îåäèíèöåé , à η  åäèíèöåé ñîïðÿæåíèÿ. Óòâåð æäåíèå 14. 2-óíêòîð ñîõð àíÿåò ñèòóàöèþ ñîïðÿæåíèÿ. Äîê àçàòåëüñòâî îñò àâëÿåòñ ÿ ÷èò àòåëþ. Ïðèìåðû. 1.  2 - Cat ñèòó àöèÿ ñîïð ÿæ åíèÿ ñîã ëàñíî îïðåäåëåíèþ 14 ýòî îáû÷- íàÿ ñèòó àöèÿ ñîïð ÿæ åíèÿ ê àòåãîðèé. 2.  2 - T op ñèòó àöèÿ ñîïð ÿæ åíèÿ ýòî ñïåöèàëüíûé ñëó÷àé ñëàáîé ýê- âèâàëåíòíîñòè, ò àê ê àê â 2 - T op âñå 2-ñòðåëêè îáðàòèìû (òî åñòü ε è η  2-èçîìîðèçìû). Äîïîëíèòåëüíûì ñîîòíîøåíèåì íà ãîìî- òîïèè áó äóò òðåóãîëüíûå òî æäåñòâà. Ýòî íàõ î äèòñ ÿ â ê îíòðàñòå ñ 40 2 - Cat , ã äå ñîïð ÿæ åííîñòü ÿâëÿåòñ ÿ áîëåå øèðîêèì ñâîéñòâîì, ÷åì ýêâèâàëåíòíîñòü ê àòåãîðèé. Óïðàæíåíèÿ 13. 1.  àçîáð àòüñÿ â òèïàõ ñòðå ëîê è êîððåêòíîñòè âñåõ ïðîèçâåäåíèé, ó÷àñòâóþùèõ â òðåóãî ëüíûõ òîæäåñòâàõ. 2.  àññ ìîòðåòü, êàê 2-óíêòîð äåéñòâóåò íà ñèòóàöèþ ñîïðÿæå- íèÿ, âî ÷òî îòîáð àæàåò ñîïðÿæåííûå ñòðå ëêè, åäèíèöó è êîåäè- íèöó. Äîêàçàòü óòâåðæäåíèå 14. 41  ëàâà 3 Ò åíçîðíûå ê àòåãîðèè  òðåòüåé ã ëàâå ðàññìàòðèâàþòñ ÿ ê àòåãîðèè ñ äîïîëíèòåëüíîé ñòðóêòó- ðîé (ñëàáîãî) ìîíîèäà íà ê àòåãîðèè. Îíè èìåþò øèðîê îå ïðèìåíåíèå äëÿ ðåøåíèÿ ðàçíûõ âîïðîñîâ îò ãîìîëîãè÷åñê îé àëãåáðû è òîïîëîãèè äî ëèíåéíîé ëîãèêè è êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ. 3.1 Îïðåäåëåíèå òåíçîðíîé ê àòåãîðèè Íàïîìíèì, ÷òî äëÿ ê àòåãîðèè K ê àòåãîðèÿ K × K ñîñòîèò èç ïàð îáúåêòîâ ( A, B ) ∈ ( K × K ) 0 è ïàð ñòðåëîê ( f , g ) ∈ ( K × K ) 1 , ã äå A, B ∈ K 0 , f , g ∈ K 1 . Åäèíèöàìè ÿâëÿþòñ ÿ ïàðû åäèíèö (1 A , 1 B ) , ê îìïîçèöèÿ îïðåäåëåíà ïîê îìïîíåíòíî ( f , g ) ◦ ( f ′ , g ′ ) := ( f ◦ f ′ , g ◦ g ′ ) . Îïðåäåëåíèå 15. Ñëàáûì ìîíîèäîì íà ê àòåãîðèè K ∈ 2 - Cat 0 , íà- çûâàåòñÿ ñ àìà êàòåãîðèÿ K , ñíàáæåííàÿ ñ ëåäóþùèìè ñòðå ëêàìè: • óíêòîðî ì ⊗ : K × K → K , íàçûâàå ìûì òåíçîðíûì ïðîèçâåäå- íèåì , • óíêòîðî ì I : 1 → K , ãäå 1  åäèíè÷íàÿ êàòåãîðèÿ, ñîñòîÿùàÿ èç îäíîãî îáúåêòà è îäíîé ñòðå ëêè (óíêòîð I âûäå ëÿåò îäèí ñïå- öèàëüíûé îáúåêò I â êàòåãîðèè K , êîòîðûé íàçûâàåòñÿ åäèíè÷- íûì ), • åñòåñòâåííûì èçî ìîð èçìî ì α A,B ,C : ( A ⊗ B ) ⊗ C ≃ → A ⊗ ( B ⊗ C ) , íàçûâàå ìûì èçîìîðèçìîì àññîöèàòèâíîñòè , • åñòåñòâåííûì èçî ìîð èçìî ì λ A : I ⊗ A ≃ → A , íàçûâàå ìûì ëåâûì åäèíè÷íûì èçîìîðèçìîì , 42 • åñòåñòâåííûì èçî ìîð èçìî ì ρ A : A ⊗ I ≃ → A , íàçûâàå ìûì ïðà- âûì åäèíè÷íûì èçîìîðèçìîì , êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò íåêîòîðûì óñ ëîâèÿì ñîãëàñîâàííîñòè, íàçû- âàå ìûì ó ñëîâèÿìè ê îãåðåíòíîñòè , è âûð àæàå ìûì äâóìÿ êî ììóòà- òèâíûìè äèàãð àììàìè ( A ⊗ ( B ⊗ C )) ⊗ D α A,B ⊗ C, D * * U U U U U U U U U U U U U U U U (( A ⊗ B ) ⊗ C ) ⊗ D α A,B, C ⊗ 1 D 4 4 i i i i i i i i i i i i i i i i α A ⊗ B,C, D   A ⊗ (( B ⊗ C ) ⊗ D ) 1 A ⊗ α B,C, D   ( A ⊗ B ) ⊗ ( C ⊗ D ) α A,B, C ⊗ D / / A ⊗ ( B ⊗ ( C ⊗ D )) è ( A ⊗ I ) ⊗ B α A,I ,B / / ρ A ⊗ 1 B ' ' N N N N N N N N N N N A ⊗ ( I ⊗ B ) 1 A ⊗ λ B w w p p p p p p p p p p p A ⊗ B Êàòåãîðèÿ, íà ê îòîðîé îïðåäåëåíà ñòðóêòóðà (ñëàáîãî) ìîíîèäà íàçûâà- åòñ ÿ òåíçîðíîé èëè ìîíîèäàëüíîé . Íåñìîòð ÿ íà äëèíó îïðåäåëåíèÿ, â íåì âñåãî ëèøü ââî äÿòñ ÿ ïðàâèëà îïåðèðîâàíèÿ îáúåêò àìè è ñòðåëê àìè â òåíçîðíîé ê àòåãîðèè. Ò àê, íà- ïðèìåð, äâà îáúåêò à A è B ìî æíî ïåðåìíî æèòü A ⊗ B , äâå ñòðåëêè f : A → A ′ è g : B → B ′ ìî æíî ïåðåìíî æèòü f ⊗ g : A ⊗ B → A ′ ⊗ B ′ , óìíî æ åíèå ó äîâëåòâîð ÿåò àññîöèàòèâíîìó çàê îíó ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâà- ëåíòíîñòè, íà åäèíèöó I ìî æíî ñîêðàùàòü ñëåâà è ñïðàâà ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàëåíòíîñòè, ñàìè ýêâèâàëåíòíîñòè, ñ òî÷íîñòüþ äî ê îòîðûõ âûïîë- íÿþòñ ÿ îïåðàöèè, ó äîâëåòâîð ÿþò íåê îòîðûì åñòåñòâåííûì òî æäåñòâàì (ó ñëîâèÿì ê îãåðåíòíîñòè). Íà ñàìîì äåëå äàæ å èìååò ìåñòî òåîðåìà ê îãåðåíòíîñòè Ìàêëåéíà-Ñò àøåà, óòâåð æäàþùàÿ, ÷òî â òåíçîðíîé êàòåãîðèè âñå äèàãð àììû, ïîñòðîåííûå ïðè ïî ìîùè ñòðå ëîê λ , ρ , α , åäèíè÷íûõ ñòðå ëîê è îïåð àöèè òåíçîðíîãî óìíîæåíèÿ ⊗ , êî ììóòà- òèâíû . Áîëåå íåïîñðåäñòâåííûì îïðåäåëåíèåì ñòðóêòóðû (ñëàáîãî) ìîíîèäà íà ê àòåãîðèè K áûëî áû èñïîëüçîâàíèå äèàãðàìì (àññîöèàòèâíîñòè è åäèíèöû) K × ( K × K ) ≃ / / 1 K ×⊗   ( K × K ) × K ⊗× 1 K / / α ⇐ = K × K ⊗   K × K ⊗ / / K K × K ⊗ / / K K ⊗ K ⊗ o o 1 × K I × 1 K λ ⇒ O O pr 2 ; ; w w w w w w w w w K × 1 1 K × I ρ ⇐ O O pr 1 c c G G G G G G G G G 43 âûïîëíÿþùèõ ñ ÿ ñ òî÷íîñòüþ äî åñòåñòâåííûõ èçîìîðèçìîâ α , λ è ρ (ê îòîðûå â ñâîþ î÷åðåäü ó äîâëåòâîð ÿþò ó ñëîâèÿì ê îãåðåíòíîñòè). ×è- ò àòåëþ ðåê îìåíäó åòñ ÿ ñðàâíèòü ýòè äâà îïðåäåëåíèÿ è óáåäèòüñ ÿ, ÷òî îíè ïîëíîñòüþ î äèíàê îâû. Ïðèìåðû. 1. Êàòåãîðèÿ ñ áèíàðíûì ïðîèçâåäåíèåì × è ê îíå÷íûì îáúåêòîì 1 ÿâëÿåòñ ÿ òåíçîðíîé ñ òåíçîðíûì ïðîèçâåäåíèåì ⊗ := × è åäèíè÷- íûì îáúåêòîì I := 1 . 2. Êàòåãîðèÿ ñ áèíàðíûì ê îïðîèçâåäåíèåì ` è íà ÷àëüíûì îáúåêòîì 0 ÿâëÿåòñ ÿ òåíçîðíîé ñ òåíçîðíûì ïðîèçâåäåíèåì ⊗ := ` è åäè- íè÷íûì îáúåêòîì I := 0 . 3. Êàòåãîðèÿ ýíäîóíêòîðîâ End ( K ) := 2 - Cat ( K , K ) (òî åñòü óíê- òîðîâ, íà ÷èíàþùèõ ñ ÿ è ê îí÷àþùèõ ñ ÿ â î äíîé ê àòåãîðèè) ÿâëÿåòñ ÿ òåíçîðíîé ñ òåíçîðíûì ïðîèçâåäåíèåì ⊗ := ◦ (ê îìïîçèöèåé óíê- òîðîâ) è I := 1 K (òî æäåñòâåííûì óíêòîðîì). Åñëè â äâóõ ïåðâûõ ïðèìåðàõ ê àòåãîðèè áûëè ñ ëàáûå , òî åñòü α , λ è ρ áûëè íå òî æ- äåñòâåííûìè åñòåñòâåííûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè, òî ê àòåãîðèÿ ýí- äîóíêòîðîâ End ( K ) ÿâëÿåòñ ÿ ñòðîãîé (âñå ïðåîáðàçîâàíèÿ α , λ è ρ òî æäåñòâåííûå). Íà îñíîâå ýòîé ê àòåãîðèè ââî äÿòñ ÿ ïîíÿòèÿ ìîíàäû è ê îìîíàäû. 4.  àññìîòðèì ê àòåãîðèþ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ V ect (íàä ïîëåì k ). Ïîñòðîèì ê àòåãîðèþ, îáúåêò àìè ê îòîðîé ÿâëÿþòñ ÿ áèëèíåéíûå îòîáðàæ åíèÿ f : X 1 × X 2 → Y , ã äå X 1 , X 2 , Y ∈ V ect 0 (âåêòîð- íûå ïðîñòðàíñòâà), à ñòðåëêè h : f → f ′  ëèíåéíûå îòîáðàæ åíèÿ h : Y → Y ′ ò àêèå, ÷òî äèàãðàììà X 1 × X 2 f / / f ′ $ $ I I I I I I I I I Y h   Y ′ ê îììóò àòèâíà. (Áèëèíåéíîå îòîáðàæ åíèå ýòî îòîáðàæ åíèå, ëèíåéíîå ïî ê àæäîìó àðãóìåíòó , íàïðèìåð, f ( x 1 , ax 2 + bx ′ 2 ) = af ( x 1 , x 2 ) + bf ( x 1 , x ′ 2 ) ).  ýòîé ê àòåãîðèè ñóùåñòâó åò íà ÷àëüíûé îáúåêò , îáîçíà ÷àåìûé ⊗ : X 1 × X 2 → X 1 ⊗ X 2 è íàçûâàåìûé òåíçîðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ. X 1 ⊗ X 2 ýòî âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî, ýëåìåíò àìè ê îòîðîãî ÿâëÿþòñ ÿ êîíå÷íûå ëèíåéíûå ê îìáèíàöèè âèäà a 1 x 1 1 ⊗ x 2 1 + · · · + a n x 1 n ⊗ x 2 n , ã äå a 1 , . . . a n ∈ k , x 1 1 , . . . , x 1 n ∈ X 1 , x 2 1 , . . . , x 2 n ∈ X 2 . Îïåðàöèÿ 44 ⊗ ðàññìàòðèâàåòñ ÿ ê àê áèëèíåéíàÿ îïåðàöèÿ íà ýëåìåíò àõ ïðî- ñòðàíñòâ X 1 , X 2 ñî çíà ÷åíèÿìè â òðåòüåì ïðîñòðàíñòâå X 1 ⊗ X 2 . Îïåðàöèÿ ⊗ : V ect × V ect → V ect ïðî äîëæ àåòñ ÿ íà ñòðåëêè ò àê, ÷òî åñëè f : X 1 → X ′ 1 è g : X 2 → X ′ 2 ëèíåéíûå îòîáðàæ åíèÿ, òî f ⊗ g : X 1 ⊗ X 2 → X ′ 1 ⊗ X ′ 2 : a 1 x 1 1 ⊗ x 2 1 + · · · + a n x 1 n ⊗ x 2 n 7→ a 1 f ( x 1 1 ) ⊗ g ( x 2 1 ) + · · · + a n f ( x 1 n ) ⊗ g ( x 2 n )  ëèíåéíîå îòîáðàæ å- íèå, íàçûâàåìîå òåíçîðíûì ïðîèçâåäåíèåì ëèíåéíûõ îòîáðà- æ åíèé f è g . Ò àêèì îáðàçîì, òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå ⊗ ÿâëÿåòñ ÿ óíêòîðîì äâóõ àðãóìåíòîâ íà ê àòåãîðèè âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ. Èìåþò ìåñòî åñòåñòâåííûå èçîìîðèçìû α X,Y ,Z : ( X ⊗ Y ) ⊗ Z ≃ → X ⊗ ( Y ⊗ Z ) : ( x ⊗ y ) ⊗ z 7→ x ⊗ ( y ⊗ z ) , λ X : k ⊗ X ≃ → X : 1 ⊗ x 7→ x è ρ X : X ⊗ k → X : x ⊗ 1 7→ x . Ñëåäîâàòåëüíî, ê àòåãîðèÿ âåê- òîðíûõ ïðîñòðàíñòâ ÿâëÿåòñ ÿ òåíçîðíîé ê àòåãîðèåé ñ òåíçîðíûì ïðîèçâåäåíèåì, ÿâëÿþùèìñ ÿ (êëàññè÷åñêèì) òåíçîðíûì ïðîèçâå- äåíèåì âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ, è åäèíèöåé I := k . Ôóíêòîð òåí- çîðíîãî óìíî æ åíèÿ X ⊗ ( − ) : V ect → V ect èìååò ïðàâûé ñîïð ÿ- æ åííûé V ect ( X , − ) : V ect → V ect . Ò àêèå ê àòåãîðèè íàçûâàþòñ ÿ çàìêíóòûìè ïî àíàëîãèè ñ äåê àðòîâî-çàìêíóòûìè ê àòåãîðèÿìè (â ê îòîðûõ ⊗ := × ). Ò åîðèÿ çàìêíóòûõ òåíçîðíûõ ê àòåãîðèé èìååò ðàçâèòîå îðìàëüíîå èñ÷èñëåíèå è âàæíà â ÷àñòíîñòè â ãîìîëîãè- ÷åñê îé àëãåáðå è ëèíåéíîé ëîãèê å.  íåê îòîðûõ òåîðèÿõ òðåáó åòñ ÿ, ÷òîáû áûëà íåê îòîðàÿ ñâÿçü ìåæäó îáúåêò àìè X ⊗ Y è Y ⊗ X .  ýòèõ ñëó÷àÿõ ââî äÿò åñòåñòâåííûé èçîìîð- èçì γ : ⊗ ≃ → ⊗ ◦ τ : K × K → K , ã äå τ : K × K → K × K  óíêòîð, ìåíÿþùèé ìåñò àìè ïåðâóþ è âòîðóþ ê îìïîíåíòû ïàðû îáúåêòîâ è ñòðå- ëîê. Äðóãèìè ñëîâàìè, ââî äÿòñ ÿ ñòðåëêè γ X,Y : X ⊗ Y ≃ → Y ⊗ X , åñòå- ñòâåííî çàâèñ ÿùèå îò àðãóìåíòîâ X , Y . Åñëè ïðîèçâåäåíèå X ⊗ Y γ X,Y → Y ⊗ X γ Y ,X → X ⊗ Y åñòü òî æäåñòâåííîå åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå 1 X ⊗ Y äëÿ âñåõ X , Y ∈ K 0 , òî ê àòåãîðèÿ K íàçûâàåòñ ÿ ñèììåòðè÷íîé , â ïðî- òèâíîì ñëó÷àå íåñèììåòðè÷íîé . Åñëè ïðåîáðàçîâàíèå γ îòñóòñâó åò , òî ñèììåòðè÷íîñòü èëè íåñèììåòðè÷íîñòü òåíçîðíîé ê àòåãîðèè íåîïðåäå- ëåíà. Òðåáó åòñ ÿ, ÷òîáû γ ñàìî ó äîâëåòâîð ÿëî ó ñëîâèÿì ñîã ëàñîâàííîñòè (ê îãåðåíòíîñòè) ñ α , λ , ρ . Ìû íå áó äåì èõ âûïèñûâàòü. Ò åíçîðíûå ê àòåãîðèè îðìèðóþò 2-ê àòåãîðèþ, îáúåêò àìè ê îòîðîé îíè ÿâëÿþòñ ÿ. Åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü íå âñå óíêòîðû ìåæäó íèìè è íå âñå åñòåñòâåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, à òîëüê î ñîã ëàñîâàííûå ñ òåíçîð- íîé ñòðóêòóðîé. Ìû ò àêæ å íå áó äåì íà ýòîì îñò àíàâëèâàòüñ ÿ, î äíàê î ÷èò àòåëþ ðåê îìåíäó åòñ ÿ ïî äóìàòü, ê àê áû ìîã ëè âûã ëÿäåòü ýòè ó ñëîâèÿ ñîã ëàñîâàííîñòè. 45 Óïðàæíåíèÿ 14. 1. Óáåäèòüñÿ, ÷òî îïðåäå ëåíèå 15, ñòðóêòóðû ñ ëà- áîãî ìîíîèäà íà êàòåãîðèè, âûð àæàåò â òî÷íîñòè òî æå ñ àìîå, ÷òî è îïðåäå ëåíèå ÷åðåç äèàãð àììû àññîöèàòèâíîñòè è åäèíèöû. 2. Íàïèñ àòü óð àâíåíèÿ, âûð àæàþùèå ñâîéñòâà òåíçîðíîãî ïðîèçâå- äåíèÿ ⊗ : K × K → K áûòü óíêòîðî ì. 3. Ïðîâåðèòü êîððåêòíîñòü îïðåäå ëåíèÿ òåíçîðíûõ êàòåãîðèé â ïðè- ìåð àõ 1 è 2. 4. Óòî÷íèòü âèä ëèíåéíûõ èçî ìîð èçìîâ α X,Y ,Z , λ X , ρ X â ïðèìåðå 4 íà ïðîèçâî ëüíûõ ý ëå ìåíòàõ ïðîñòð àíñòâ. 5. Äîêàçàòü, ÷òî îòîáð àæåíèå τ : K × K → K × K , ìåíÿþùåå ìåñòà- ìè ïåðâóþ è âòîðóþ êî ìïîíåíòû îáúåêòîâ è ñòðå ëîê, ÿâëÿåòñÿ óíêòîðíûì èçî ìîð èçìî ì. 3.2 (Êî)ìîíîèäû Îáû÷íî â ìàòåìàòèê å ìîíîèäîì íàçûâàåòñ ÿ ìíî æ åñòâî M ñ î äíîé áè- íàðíîé îïåðàöèåé · : M × M → M , ê îòîðàÿ ïðåäïîëàã àåòñ ÿ àññîöèàòèâ- íîé, òî åñòü äëÿ âñåõ a, b, c ∈ M ( a · b ) · c = a · ( b · c ) , è èìåþùåé åäèíèöó e , òî åñòü äëÿ ëþáîãî a ∈ M e · a = a = a · e . Åñëè çàïèñàòü ýòî îïðåäå- ëåíèå ÷åðåç äèàãðàììû, òî ïîëó÷èì äâå äèàãðàììû ( àññîöèàòèâíîñòè è åäèíèöû ) M × ( M × M ) ≃ / / 1 M ×·   ( M × M ) × M ·× 1 M / / M × M ·   M × M · / / M M × M · / / M M × M · o o 1 × M e × 1 M O O pr 2 : : u u u u u u u u u M × 1 1 M × e O O pr 1 d d I I I I I I I I I ã äå 1 åñòü î äíîýëåìåíòíîå ìíî æ åñòâî (ê îíå÷íûé îáúåêò â ê àòåãîðèè ìíî- æ åñòâ Set ). Ïî àíàëîãèè îïðåäåëÿþòñ ÿ ìîíîèäû â ëþáîé òåíçîðíîé ê àòåãîðèè. Êîìîíîèäû ïîëó÷àþòñ ÿ 'îáðàùåíèåì ñòðåëîê'. Îïðåäåëåíèå 16. Ïóñòü ( K , ⊗ , I , α, λ, ρ )  òåíçîðíàÿ êàòåãîðèÿ. • Ìîíîèäîì â K íàçûâàåòñÿ îáúåêò M ∈ K 0 âìåñòå ñ äâóìÿ ñòðå ë- êàìè: óìíî æ åíèåì µ : M ⊗ M → M è åäèíèöåé η : I → M òàêèìè, ÷òî âûïî ëíÿþòñÿ óð àâíåíèÿ, çàäàâàå ìûå äèàãð àììàìè àññîöèàòèâíîñòè è åäèíèöû 46 M ⊗ ( M ⊗ M ) α − 1 M ,M, M / / 1 M ⊗ µ   ( M ⊗ M ) ⊗ M µ ⊗ 1 M / / M ⊗ M µ   M ⊗ M µ / / M M ⊗ M µ / / M M ⊗ M µ o o I ⊗ M η ⊗ 1 M O O λ M : : u u u u u u u u u M ⊗ I 1 M ⊗ η O O ρ M d d I I I I I I I I I • Êîìîíîèäîì â K íàçûâàåòñÿ îáúåêò C ∈ K 0 âìåñòå ñ äâóìÿ ñòðå ëêàìè: ê îóìíî æ åíèåì δ : C → C ⊗ C è ê îåäèíèöåé ε : C → I òàêèìè, ÷òî âûïî ëíÿþòñÿ óð àâíåíèÿ, çàäàâàå ìûå äèàãð àììàìè êî àññîöèàòèâíîñòè è êîåäèíèöû C ⊗ ( C ⊗ C ) ( C ⊗ C ) ⊗ C α C,C,C o o C ⊗ C δ ⊗ 1 C o o C ⊗ C 1 C ⊗ δ O O C δ O O δ o o C ⊗ C ε ⊗ 1 C   C λ − 1 C { { w w w w w w w w w ρ − 1 C # # G G G G G G G G G δ o o δ / / C ⊗ C 1 C ⊗ ε   I ⊗ C C ⊗ I Ïðèìåðû. 1. Îáû÷íûìè (êëàññè÷åñêèìè) ìîíîèäàìè ÿâëÿþòñ ÿ, íàïðèìåð, ìíî- æ åñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñ îïåðàöèåé ñëî æ åíèÿ è íó ëåì â ê à ÷å- ñòâå åäèíèöû ( N , + , 0) , ìíî æ åñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñ îïåðàöè- åé óìíî æ åíèÿ è îáû÷íîé åäèíèöåé ( N , · , 1) , ìíî æ åñòâî êâàäðàòíûõ ìàòðèö (íàä ê îëüöîì ñ åäèíèöåé), ìíî æ åñòâî ïðåîáðàçîâàíèé ìíî- æ åñòâà A â ñåá ÿ ( Set ( A, A ) , ◦ , 1 A ) . Âñå ýòî ìîíîèäû â òåíçîðíîé ê àòåãîðèè Set ñ äåê àðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì × â ê à ÷åñòâå òåíçîð- íîãî óìíî æ åíèÿ ⊗ è åäèíèöåé I := 1 . 2. Ìîíîèäû è ê îìîíîèäû â ê àòåãîðèè ýíäîóíêòîðîâ End ( K ) := 2 - Cat ( K , K ) ÿâëÿþòñ ÿ ñîîòâåòñòâåííî ìîíàäàìè è ê îìîíàäàìè (ñìîòðèòå ñëåäóþùèé ïàðàãðà). Ýòî ïðèìåð ìîíîèäîâ è ê îìî- íîèäîâ, ê îòîðûå íå ÿâëÿþòñ ÿ ìíî æ åñòâàìè. 3. Åäèíñòâåííî âîçìî æíîé ñòðóêòóðîé ê îìîíîèäà íà ìíî æ åñòâå A ∈ Set 0 ( Set ðàññìàòðèâàåòñ ÿ ê àê òåíçîðíàÿ ê àòåãîðèÿ ïî îòíîøåíèþ ê äåê àðòîâó ïðîèçâåäåíèþ × è åäèíèöå 1 ) ÿâëÿåòñ ÿ äèàãîíàëüíîå îòîáðàæ åíèå δ : A → A × A : a 7→ ( a, a ) (ê îóìíî æ åíèå) âìåñòå ñ îòîáðàæ åíèåì â î äíîýëåìåíòíîå ìíî æ åñòâî ! : A → 1 (ê îåäèíèöà). 4.  àññìîòðèì âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî k [ X ] ∈ V ect 0 , ïîðî æäåííîå ìíî æ åñòâîì X (òî åñòü X ÿâëÿåòñ ÿ åãî áàçèñîì), â òåíçîðíîé ê àòå- ãîðèè ( V ect , ⊗ , k ) . Îíî äîïó ñê àåò ñòðóêòóðó ê îìîíîèäà ñ ê îóìíî- æ åíèåì δ : k [ X ] → k [ X ] ⊗ k [ X ] : x 7→ x ⊗ x è ê îåäèíèöåé ε : X → k : x 7→ 1 (îòîáðàæ åíèÿ çàäàíû íà áàçèñíûõ ýëåìåíò àõ è ðàñïðîñòðà- íÿþòñ ÿ íà äðóãèå ïî ëèíåéíîñòè). 47 Óïðàæíåíèÿ 15. 1. Äîêàçàòü, ÷òî ìîíîèä â êàòåãîðèè ìîíîèäîâ Mon , ð àññ ìàòðèâàå ìîé ñ äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèå ì â êà÷åñòâå òåíçîðíîãî óìíîæåíèÿ è åäèíèöåé  åäèíè÷íûì ìîíîèäî ì (ñîñòî- ÿùèì èç îäíîãî ý ëå ìåíòà), ÿâëÿåòñÿ êî ììóòàòèâíûì ìîíîèäî ì â Set . 2. Ïðîâåðèòü äèàãð àììû êî àññîöèàòèâíîñòè è êîåäèíèöû äëÿ ñòðóê- òóðû êî ìîíîèäà íà ìíîæåñòâå (ïðèìåð 3). Äîêàçàòü åäèíñòâåí- íîñòü ñòðóêòóðû êî ìîíîèäà íà ìíîæåñòâå â òåíçîðíîé êàòåãî- ðèè ( Set , × , 1 ) (èñïî ëüçóÿ äèàãð àììó êîåäèíèöû). 3. Ïðîâåðèòü êîððåêòíîñòü çàäàíèÿ ñòðóêòóðû êî ìîíîèäà íà âåê- òîðíî ì ïðîñòð àíñòâå â ïðèìåðå 4. 3.3 (Êî)ìîíàäû Ôèê ñèðó åì îáúåêò A â 2-ê àòåãîðèè K . Ïî îïðåäåëåíèþ 2-ê àòåãîðèè H om - ìíî æ åñòâî K ( A, A ) ïðåäñò àâëÿåò ñîáîé 1-ê àòåãîðèþ ñ îáúåêò àìè  1- ñòðåëê àìè â K òèïà f : A → A è ñòðåëê àìè  2-ñòðåëê àìè â K òèïà A f α ⇓ / / g / / A . Ýò à ê àòåãîðèÿ ÿâëÿåòñ ÿ ñòðîãîé òåíçîðíîé ñ òåíçîðíûì ïðî- èçâåäåíèåì  f ⊗ g := f ◦ g f , g ∈ K ( A, A ) 0 α ⊗ β := α ∗ β α, β ∈ K ( A, A ) 1 è åäèíèöåé I := 1 A . Ìî- íàäû ýòî ìîíîèäû, à ê îìîíàäû  ê îìîíîèäû â ê àòåãîðèè K ( A, A ) . Çàìå- ÷àòåëüíî, ÷òî â ñèòóàöèè ñîïðÿæåíèÿ A f ⊤ ) ) B g i i ñòðåëê à f ◦ g : B → B âñåã äà ÿâëÿåòñ ÿ ìîíàäîé â K ( B , B ) , à ñòðåëê à g ◦ f : A → A  ê îìîíàäîé â K ( A, A ) . Äàäèì òî÷íûå îïðåäåëåíèÿ. Îïðåäåëåíèå 17. Ïóñòü K  2-êàòåãîðèÿ. 1-ñòðå ëêà f : A → A íàçû- âàåòñÿ • ìîíàäîé , åñ ëè çàäàíû äâå 2-ñòðå ëêè µ : f ◦ f ⇒ f (óìíîæåíèå) è η : 1 A ⇒ f (åäèíèöà) òàêèå, ÷òî äèàãð àììû àññîöèàòèâíî- ñòè è åäèíèöû f ◦ f ◦ f 1 f ∗ µ / / µ ∗ 1 f   f ◦ f µ   f ◦ f µ / / f 1 A ◦ f η ∗ 1 f / / = $ $ I I I I I I I I I I f ◦ f µ   f ◦ 1 A 1 f ∗ η o o = z z u u u u u u u u u u f êî ììóòàòèâíû. 48 • ê îìîíàäîé , åñ ëè çàäàíû äâå 2-ñòðå ëêè δ : f ⇒ f ◦ f (êîóìíîæå- íèå) è ε : f ⇒ 1 A (êîåäèíèöà) òàêèå, ÷òî äèàãð àììû êî àññîöèà- òèâíîñòè è êîåäèíèöû f ◦ f ◦ f f ◦ f 1 f ∗ δ o o f ◦ f δ ∗ 1 f O O f δ o o δ O O 1 A ◦ f f ◦ f ε ∗ 1 f o o 1 f ∗ ε / / f ◦ 1 A f = d d I I I I I I I I I I δ O O = : : u u u u u u u u u u êî ììóòàòèâíû. Óòâåð æäåíèå 15. Ïóñòü A f ⊤ ) ) B g i i  ñèòóàöèÿ ñîïðÿæåíèÿ (ñ åäè- íèöåé η : 1 B ⇒ f ◦ g è êîåäèíèöåé ε : g ◦ f ⇒ 1 A ) â 2-êàòåãîðèè K , òîãäà • ( f ◦ g , 1 f ∗ ε ∗ 1 g , η ) ÿâëÿåòñÿ ìîíàäîé íà ñòðå ëêå f ◦ g : B → B ñ óìíîæåíèå ì µ := 1 f ∗ ε ∗ 1 g : f ◦ g ◦ f ◦ g ⇒ f ◦ g è åäèíèöåé η : 1 B ⇒ f ◦ g , • ( g ◦ f , 1 g ∗ η ∗ 1 f , ε ) ÿâëÿåòñÿ êî ìîíàäîé íà ñòðå ëêå g ◦ f : A → A ñ êîóìíîæåíèå ì δ := 1 g ∗ η ∗ 1 f : g ◦ f ⇒ g ◦ f ◦ g ◦ f è êîåäèíèöåé ε : g ◦ f ⇒ 1 A . Äîê àçàòåëüñòâî. Äîê àæ åì ïåðâóþ ÷àñòü óòâåð æäåíèÿ. (äèàãðàììà àññîöèàòèâíîñòè): Íóæíî äîê àçàòü µ ◦ (1 f ◦ g ∗ µ ) = µ ◦ ( µ ∗ 1 f ◦ g ) . Ïî äñò àâèì â ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè µ è âû÷èñëèì âûðàæ åíèÿ, èñïîëüçó ÿ ïðàâèëà àëãåáðû â 2-ê àòåãîðèè. Ëåâàÿ ÷àñòü: (1 f ∗ ε ∗ 1 g ) ◦ (1 f ◦ g ∗ 1 f ∗ ε ∗ 1 g ) = 1 f ∗ ( ε ◦ (1 g ◦ f ∗ ε )) ∗ 1 g = 1 f ∗ ε ∗ ε ∗ 1 g . Ïðàâàÿ ÷àñòü: (1 f ∗ ε ∗ 1 g ) ◦ (1 f ∗ ε ∗ 1 g ∗ 1 f ◦ g ) = 1 f ∗ ( ε ◦ ( ε ∗ 1 g ◦ f )) ∗ 1 g = 1 f ∗ ε ∗ ε ∗ 1 g . [ âû÷èñëåíèÿõ èñïîëüçîâàëîñü â ÷àñòíîñòè, ÷òî 1 f ◦ g = 1 f ∗ 1 g è ε ◦ ( ε ∗ 1 g ◦ f ) = (1 1 A ◦ ε ) ∗ ( ε ◦ 1 g ◦ f ) = ε ∗ ε = ( ε ◦ 1 g ◦ f ) ∗ (1 1 A ◦ ε ) = ε ◦ (1 g ◦ f ∗ ε ) ℄ (äèàãðàììà åäèíèöû): Íóæíî äîê àçàòü µ ◦ ( η ∗ 1 f ◦ g ) = 1 f ◦ g è µ ◦ (1 f ◦ g ∗ η ) = 1 f ◦ g . Ïî äñò àâëÿåì µ è âû÷èñëÿåì: (1 f ∗ ε ∗ 1 g ) ◦ ( η ∗ 1 f ◦ g ) = ((1 f ∗ ε ) ◦ ( η ∗ 1 f )) ∗ 1 g = 1 f ∗ 1 g = 1 f ◦ g è (1 f ∗ ε ∗ 1 g ) ◦ (1 f ◦ g ∗ η ) = 1 f ∗ (( ε ∗ 1 g ) ◦ (1 g ∗ η )) = 1 f ∗ 1 g = 1 f ◦ g . [Èñïîëüçîâàëèñü òðåóãîëüíûå òî æäåñòâà℄   ê àòåãîðèè 2 - Cat âåðíî ò àêæ å è îáðàòíîå óòâåð æäåíèå, ÷òî âñ ÿ- ê àÿ ìîíàäà èëè ê îìîíàäà ïîëó÷àþòñ ÿ èç ñèòó àöèè ñîïð ÿæ åíèÿ, ïðè- ÷åì ñóùåñòâó åò ìíîãî ñèòó àöèé ñîïð ÿæ åíèÿ, äàþùèõ äàííóþ ìîíàäó èëè ê îìîíàäó . Ïó ñòü, íàïðèìåð, ( T , µ, η ) ìîíàäà íà ê àòåãîðèè K . Âñåã äà ñóùåñòâó åò íåïó ñò àÿ ê àòåãîðèÿ ñîïð ÿæ åíèé, äàþùèõ äàííóþ ìîíàäó â 49 ñìûñëå óòâåð æäåíèÿ 15. Îáúåêò àìè ò àê îé ê àòåãîðèè ñëóæ àò ñîïð ÿæ å- íèÿ L U   K F ⊣ I I à ñòðåëê àìè óíêòîðû Φ : L → L ′ , äëÿ ê îòîðûõ òðåóãîëü- íèêè â äèàãðàììå L Φ / / U   L ′ U ′ w w K F ⊣ W W F ′ ⊣ 7 7 ê îììóò àòèâíû. Èìåþòñ ÿ íà÷àëü- íûé è êîíå÷íûé îáúåêòû â ýòîé ê àòåãîðèè, ò àê íàçûâàåìûå, ê àòåãîðèÿ Êëåéñëè è ê àòåãîðèÿ àëãåáð Ýéëåíáåðã à-Ìóðà . Ìû íå áó äåì íà ýòîì îñò àíàâëèâàòüñ ÿ. Ïðèìåðû. 1. Ïó ñòü Set F ⊥ , , Mon U k k ñèòó àöèÿ ñîïð ÿæ åíèÿ ìåæäó ê àòåãîðèÿìè ìíî æ åñòâ è ìîíîèäîâ. Ò îã äà ( U F , U εF , η )  ìîíàäà íà ê àòåãîðèè Set . Óìíî æ åíèå U εF ( A ) : U F U F ( A ) → U F ( A ) ñîïîñò àâëÿåò ñëîâó ( a 1 1 · · · a 1 n 1 ) · · · ( a m 1 · · · a m n m ) â U F U F ( A ) ñëîâî a 1 1 · · · a 1 n 1 · · · a m 1 · · · a m n m â U F ( A ) , ã äå âñå a i j ïðèíàäëåæ àò ìíî æ åñòâó A . Åäèíèöà η A : A → U F ( A )  åäèíèöà ñîïð ÿæ åíèÿ, ê îòîðàÿ ñîïîñò àâëÿåò ýëåìåíòó a ∈ A ñëîâî a ∈ U F ( A ) . ( F U, F η U, ε )  ê îìîíàäà íà ê àòåãîðèè Mon . Êîóìíî æ åíèå F η U ( M ) : F U ( M ) → F U F U ( M ) ñîïîñò àâëÿåò ñëîâó m 1 · · · m n â F U ( M ) ñëî- âî ( m 1 ) · · · ( m n ) â F U F U ( M ) , ã äå m 1 , . . . , m n ∈ M . Êîåäèíèöà ε M : F U ( M ) → M  ê îåäèíèöà ñîïð ÿæ åíèÿ, ê îòîðàÿ ñîïîñò àâëÿåò ñëîâó m 1 · · · m n â F U ( M ) ýëåìåíò ìîíîèäà M , ÿâëÿþùèéñ ÿ ïðîèçâåäåíè- åì ýëåìåíòîâ m 1 , . . . , m n â M . 2. Ïó ñòü P : Set → Set  êîâàðèàíòíûé óíêòîð ìíîæåñòâî-ñòåïåíü (òî åñòü åñëè f : A → B  óíêöèÿ, òî P ( f ) : P ( A ) → P ( B )  óíêöèÿ, íàçíà ÷àþùàÿ ïî äìíî æ åñòâó X ⊂ A åãî îáðàç f ( X ) ⊂ B ). Ò îã äà ( P , S , η )  ìîíàäà íà ê àòåãîðèè ìíî æ åñòâ Set . Óìíî æ åíèå S : P ( P ( A )) → P ( A ) ñîïîñò àâëÿåò ìíî æ åñòâó ïî äìíî æ åñòâ A èõ îáúåäèíåíèå. Åäèíèöà η A : A → P ( A ) ñîïîñò àâëÿåò ýëåìåíòó a ∈ A î äíîýëåìåíòíîå ìíî æ åñòâî { a } ∈ P ( A ) . Ìîíàäû íà ê àòåãîðèè Set ïðåäñò àâëÿþò ñîáîé îáîáùåííûå àëãåá- ðû (ìíî æ åñòâà ñ îïåðàöèÿìè), ê îòîðûå, ê àê âèäíî èç ïðèìåðà 2, ìîãóò èìåòü áåñê îíå÷íîìåñòíûå îïåðàöèè. Íà ñàìîì äåëå ëþáîé àëãåáðàè÷å- ñê îé ñèñòåìå (ò àê îé ê àê Mon , Grp , Rng è ò àê äàëåå) ñîîòâåòñòâó åò 50 îïðåäåëåííàÿ ìîíàäà íà ê àòåãîðèè ìíî æ åñòâ Set . Ïðîèçâîëüíîé ìîíà- äå íà ê àòåãîðèè ìíî æ åñòâ ìî æ åò íå ñîîòâåòñòâîâàòü íèê àê àÿ êëàññè÷å- ñê àÿ àëãåáðàè÷åñê àÿ ñèñòåìà, íî ýòî áó äåò àëãåáðà â íåê îòîðîì ñìûñëå. Ñìûñë ê îìîíàä ìåíåå î÷åâèäåí, î äíàê î èçâåñòíû èõ ïðèìåíåíèÿ â òîïî- ëîãèè è ê îìïüþòåðíûõ íà óê àõ. Óïðàæíåíèÿ 16. 1. Äîêàçàòü âòîðóþ ÷àñòü óòâåðæäåíèÿ 15. 2. Ïðîâåðèòü âûïî ëíåíèå àêñèî ì ìîíàäû äëÿ êîâàðèàíòíîãî óíê- òîð à ìíîæåñòâî-ñòåïåíü P : Set → Set (ïðèìåð 2). 3.4 (Êî)àëãåáðû Àëãåáðû ÿâëÿþòñ ÿ ìîíîèäàìè, à ê îàëãåáðû ê îìîíîèäàìè â ê àòåãîðèè âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ V ect . Îïðåäåëåíèå 18. Ïóñòü ( V ect , ⊗ , k ) êàòåãîðèÿ âåêòîðíûõ ïðîñòð àíñòâ íàä ïî ëå ì k , ð àññ ìàòðèâàå ìàÿ ñ òåíçîðíûì ïðîèçâåäåíèå ì ⊗ è åäèíè- öåé I := k . Ò îãäà • àëãåáðà A ýòî îáúåêò â V ect , ÿâëÿþùèéñÿ ìîíîèäî ì, òî åñòü âåêòîðíîå ïðîñòð àíñòâî A , ñíàáæåííîå äîïî ëíèòå ëüíîé ñòðóê- òóðîé:  ñòðå ëêîé µ : A ⊗ A → A (óìíîæåíèå ì)  è ñòðå ëêîé η : k → A (åäèíèöåé) òàêèìè, ÷òî ñ ëåäóþùèå äèàãð àììû êî ììóòàòèâíû ( A ⊗ A ) ⊗ A α A,A,A ≃ / / µ ⊗ 1 A   A ⊗ ( A ⊗ A ) 1 A ⊗ µ / / A ⊗ A µ   A ⊗ A µ / / A k ⊗ A η ⊗ 1 A / / λ A ≃ % % K K K K K K K K K K A ⊗ A µ   A ⊗ k 1 A ⊗ η o o ρ A ≃ y y s s s s s s s s s s A • ê îàëãåáðà C ýòî îáúåêò â V ect , ÿâëÿþùèéñÿ êî ìîíîèäî ì, òî åñòü âåêòîðíîå ïðîñòð àíñòâî C , ñíàáæåííîå äîïî ëíèòå ëüíîé ñòðóê- òóðîé:  ñòðå ëêîé δ : C → C ⊗ C (êîóìíîæåíèå ì)  è ñòðå ëêîé ε : A → k (êîåäèíèöåé) òàêèìè, ÷òî ñ ëåäóþùèå äèàãð àììû êî ììóòàòèâíû 51 ( C ⊗ C ) ⊗ C C ⊗ ( C ⊗ C ) α − 1 C,C,C ≃ o o C ⊗ C 1 C ⊗ δ o o C ⊗ C δ ⊗ 1 C O O C δ O O δ o o k ⊗ C C ⊗ C ε ⊗ 1 C o o 1 C ⊗ ε / / C ⊗ k C δ O O λ − 1 C ≃ e e K K K K K K K K K K ρ − 1 C ≃ 9 9 s s s s s s s s s s Ïðèìåðû. 1. Îäíîìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî k ÿâëÿåòñ ÿ àëãåáðîé è ê îàë- ãåáðîé ñ óìíî æ åíèåì µ : k ⊗ k → k : r ⊗ s 7→ r s , åäèíèöåé η : k → k : r 7→ r , ê îóìíî æ åíèåì δ : k → k ⊗ k : r · 1 7→ r (1 ⊗ 1) è ê îåäèíèöåé ε : k → k : r 7→ r . 2. Ïó ñòü ( X ) := { 1 , X , X 2 , . . . , X n , . . . } ìîíîèä ñ îäíîé îáð àçóþùåé X (è óìíî æ åíèåì X n · X m := X n + m ), ïó ñòü k [( X )] âåêòîðíîå ïðî- ñòðàíñòâî ñ ýëåìåíò àìè ìîíîèäà ( X ) â ê à ÷åñòâå áàçèñà (íàïðèìåð, r 0 + r 1 X + r 2 X 2 + r 5 X 5 ÿâëÿåòñ ÿ ýëåìåíòîì k [( X )] ). Ò îã äà k [( X )] ÿâëÿåòñ ÿ àëãåáðîé è ê îàëãåáðîé ñ óìíî æ åíèåì µ : k [( X )] ⊗ k [( X )] → k [( X )] : X n ⊗ X m 7→ X n + m , åäèíèöåé η : k → k [( X )] : 1 7→ 1 , ê î- óìíî æ åíèåì δ : k [( X )] → k [( X )] ⊗ k [( X )] : X n 7→ P i 1 + i 2 = n i 1 ,i 2 ≥ 0 X i 1 ⊗ X i 2 è ê îåäèíèöåé ε : k [( X )] → k :  X n 7→ 0 åñëè n > 0 X n 7→ 1 åñëè n = 0 (âñå îïðåöèè çàäàíû íà áàçèñíûõ ýëåìåíò àõ è ðàñïðîñòðàíÿþòñ ÿ íà äðóãèå ïî ëèíåéíîñòè). 3. Ïó ñòü A ∈ V ect 0 âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî, A ⊗ 2 := A ⊗ A òåíçîðíûé êâàäðàò A , òî åñòü óíèâåðñàëüíîå ðåøåíèå çàäà ÷è äëÿ áèëèíåéíûõ îòîáðàæ åíèé A × A ⊗ / / ∀ f % % K K K K K K K K K K A ⊗ A ∃ ! h      B , A ⊗ 3 := A ⊗ A ⊗ A òåíçîðíûé êóá A , òî åñòü óíèâåðñàëüíîå ðåøåíèå çàäà ÷è äëÿ òðèëèíåéíûõ îòîá- ðàæ åíèé A × A × A ⊗ / / ∀ f ( ( Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q A ⊗ A ⊗ A ∃ ! h      B (ýëåìåíòû A ⊗ 3 ýòî ê îíå÷íûå ñóììû âèäà r 1 a 1 1 ⊗ a 1 2 ⊗ a 1 3 + · · · + r n a n 1 ⊗ a n 2 ⊗ a n 3 ), . . . .  àñ- ñìîòðèì ê îïðîèçâåäåíèå âñåõ òåíçîðíûõ ñòåïåíåé ïðîñòðàíñòâà A : T ( A ) := ` 0 ≤ i< ∞ A ⊗ i := L 0 ≤ i< ∞ A ⊗ i . Ýëåìåíòû T ( A )  ê îíå÷íûå ñóììû òåíçîðîâ ðàçíûõ ñòåïåíåé ñ ê îýèöèåíò àìè èç ïîëÿ k (íàïðèìåð, 52 r 0 + r 3 a 1 ⊗ a 2 × a 3 + r 4 ¯ a 1 ⊗ ¯ a 2 ⊗ ¯ a 3 ⊗ ¯ a 4 ÿâëÿåòñ ÿ ýëåìåíòîì T ( A ) ). Âåê- òîðíîå ïðîñòðàíñòâî T ( A ) èìååò ñòðóêòóðó àëãåáðû è ê îàëãåáðû ñ óìíî æ åíèåì µ : T ( A ) ⊗ T ( A ) → T ( A ) : ( a 1 ⊗· · ·⊗ a n ) ⊗ (¯ a 1 ⊗· · ·⊗ ¯ a m ) 7→ a 1 ⊗ · · · ⊗ a n ⊗ ¯ a 1 ⊗ · · · ⊗ ¯ a m , åäèíèöåé η : k → T ( A ) : 1 7→ 1 , ê îóìíî- æ åíèåì δ : T ( A ) → T ( A ) ⊗ T ( A ) : a 1 ⊗ · · · ⊗ a n 7→ (1) ⊗ ( a 1 ⊗ · · · ⊗ a n ) + ( a 1 ) ⊗ ( a 2 ⊗ · · · ⊗ a n ) + ( a 1 ⊗ a 2 ) ⊗ ( a 3 ⊗ · · · ⊗ a n ) + · · · + ( a 1 ⊗ · · · ⊗ a n ) ⊗ (1) è ê îåäèíèöåé ε : T ( A ) → k :  1 7→ 1 a 1 ⊗ · · · ⊗ a n 7→ 0 äëÿ n > 0 (îïåðà- öèè îïðåäåëåíû íà ìîíîìàõ èëè íà áàçèñíûõ ýëåìåíò àõ è ðàñïðî- ñòðàíÿþòñ ÿ íà äðóãèå ýëåìåíòû ïî ëèíåéíîñòè). Èìååòñ ÿ äðóã àÿ (áîëåå ñëî æíàÿ) ñòðóêòóðà ê îàëãåáðû íà T ( A ) , ñîã ëàñîâàííàÿ ñî ñòðóêòóðîé àëãåáðû. Îïðåäåëåíèå 19. Ò åíçîðíûì ïðîèçâåäåíèåì • àëãåáð ( A 1 , µ 1 , η 1 ) è ( A 2 , µ 2 , η 2 ) íàçûâàåòñÿ àëãåáð à ( A 1 ⊗ A 2 , µ, η ) , â êîòîðîé  A 1 ⊗ A 2  òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðíûõ ïðîñòð àíñòâ,  µ  óìíîæåíèå, îïðåäå ëåííîå êàê êî ìïîçèöèÿ A 1 ⊗ A 2 ⊗ A 1 ⊗ A 2 τ 23 / / A 1 ⊗ A 1 ⊗ A 2 ⊗ A 2 µ 1 ⊗ µ 2 / / A 1 ⊗ A 2 , ãäå τ 23 : A 1 ⊗ A 2 ⊗ A 1 ⊗ A 2 → A 1 ⊗ A 1 ⊗ A 2 ⊗ A 2 : a 1 ⊗ a 2 ⊗ ¯ a 1 ⊗ ¯ a 2 7→ a 1 ⊗ ¯ a 1 ⊗ a 2 ⊗ ¯ a 2  êàíîíè÷åñêèé èçî ìîð èçì, ìåíÿþùèé ìåñòàìè âòîðîé è òðåòèé ñî ìíîæèòå ëè â òåíçîðíî ì ïðîèçâåäåíèè ìîíî ìîâ,  η  åäèíèöà, îïðåäå ëåííàÿ êàê êî ìïîçèöèÿ k δ k / / k ⊗ k η 1 ⊗ η 2 / / A 1 ⊗ A 2 , ãäå δ k : k → k ⊗ k : 1 7→ 1 ⊗ 1 . • ê îàëãåáð ( C 1 , δ 1 , ε 1 ) è ( C 2 , δ 2 , ε 2 ) íàçûâàåòñÿ êî àëãåáð à ( C 1 ⊗ C 2 , δ, ε ) , â êîòîðîé  C 1 ⊗ C 2  òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðíûõ ïðîñòð àíñòâ,  δ  êîóìíîæåíèå, îïðåäå ëåííîå êàê êî ìïîçèöèÿ C 1 ⊗ C 2 δ 1 ⊗ δ 2 / / C 1 ⊗ C 1 ⊗ C 2 ⊗ C 2 τ 23 / / C 1 ⊗ C 2 ⊗ C 1 ⊗ C 2 , ãäå τ 23 : C 1 ⊗ C 2 ⊗ C 1 ⊗ C 2 → C 1 ⊗ C 1 ⊗ C 2 ⊗ C 2 : c 1 ⊗ c 2 ⊗ ¯ c 1 ⊗ ¯ c 2 7→ c 1 ⊗ ¯ c 1 ⊗ c 2 ⊗ ¯ c 2  êàíîíè÷åñêèé èçî ìîð èçì, ìåíÿþùèé ìåñòàìè âòîðîé è òðåòèé ñî ìíîæèòå ëè â òåíçîðíî ì ïðîèçâåäåíèè ìîíî ìîâ,  ε  êîåäèíèöà, îïðåäå ëåííàÿ êàê êî ìïîçèöèÿ C 1 ⊗ C 2 ε 1 ⊗ ε 2 / / k ⊗ k µ k / / k , ãäå µ k : k ⊗ k → k : 1 ⊗ 1 7→ 1 . 53 Àëãåáðû è ê îàëãåáðû îðìèðóþò òåíçîðíûå ïî äê àòåãîðèè ê àòåãîðèè âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ V ect ñ òåíçîðíûì ïðîèçâåäåíèåì, îïðåäåëåííûì âûøå, è åäèíèöåé k . Ñòðåëê àìè â ýòèõ ê àòåãîðèÿõ âûñòóïàþò ãî ìî ìîð- èçìû àëãåáð è ê îàëãåáð. Îïðåäåëåíèå 20. •  îìîìîðèçìîì àëãåáð f : ( A 1 , µ 1 , η 1 ) → ( A 2 , µ 2 , η 2 ) íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîå îòîáð àæåíèå f : A 1 → A 2 , êî ì- ìóòèðóþùåå ñ îïåð àöèÿìè óìíîæåíèÿ è åäèíèöû, òî åñòü òàêîå, äëÿ êîòîðîãî ñ ëåäóþùèå äèàãð àììû êî ììóòàòèâíû A 1 ⊗ A 1 f ⊗ f / / µ 1   A 2 ⊗ A 2 µ 2   A 1 f / / A 2 A 1 f / / A 2 k η 1 _ _ @ @ @ @ @ @ @ @ η 2 ? ? ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ •  îìîìîðèçìîì ê îàëãåáð f : ( C 1 , δ 1 , ε 1 ) → ( C 2 , δ 2 , ε 2 ) íàçûâà- åòñÿ ëèíåéíîå îòîáð àæåíèå f : C 1 → C 2 , êî ììóòèðóþùåå ñ îïå- ð àöèÿìè êîóìíîæåíèÿ è êîåäèíèöû, òî åñòü òàêîå, äëÿ êîòîðîãî ñ ëåäóþùèå äèàãð àììû êî ììóòàòèâíû C 1 ⊗ C 1 f ⊗ f / / C 2 ⊗ C 2 C 1 f / / δ 1 O O A 2 δ 2 O O A 1 f / / ε 1   @ @ @ @ @ @ @ @ A 2 ε 2   ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ k Óïðàæíåíèÿ 17. 1. Óáåäèòüñÿ, ÷òî îïðåäå ëåíèå àëãåáðû, äàííîå â òåêñòå, ñîâïàäàåò ñ îáû÷íûì îïðåäå ëåíèå ì àëãåáðû íàä ïî ëå ì k (ñ ìîòðèòå ó÷åáíèê àëãåáðû). 2. Ïðîâåðèòü êîððåêòíîñòü îïðåäå ëåíèÿ ñòðóêòóðû àëãåáðû è êî àë- ãåáðû íà ïðîñòð àíñòâå k (ïðèìåð 1). 3. Ïðîâåðèòü âûïî ëíåíèå àêñèî ì àëãåáðû è êî àëãåáðû â ïðèìåðå 2. 4. Ïðîâåðèòü êîððåêòíîñòü îïðåäå ëåíèÿ òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ àë- ãåáð è êî àëãåáð (îïðåäå ëåíèå 19). 3.5 Àëãåáðû Õîïà Àëãåáðû Õîïà îáû÷íî îïðåäåëÿþòñ ÿ â òåíçîðíîé ê àòåãîðèè âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ ( V ect , ⊗ , k ) , íî ò àêæ å èìåþò ñìûñë â ïðîèçâîëüíîé ñèììåò- 54 ðè÷íîé òåíçîðíîé ê àòåãîðèè. Ìû áó äåì ñëåäîâàòü âòîðîìó ïî äõ î äó , ÷òî- áû áûëà âèäíà ïðååìñòâåííîñòü àëãåáð Õîïà îò îáû÷íûõ ãðóïï. Àëãåá- ðû Õîïà íàçûâàþòñ ÿ åùå êâàíòîâûìè ãðóïïàìè è àíàëîãè÷íî ãðóïïàì ÷àñòî âîçíèê àþò ê àê ñèììåòðèè (íåê îììóò àòèâíûõ) ïðîñòðàíñòâ. Ìîíîèäû è ê îìîíîèäû â ñèììåòðè÷íîé òåíçîðíîé ê àòåãîðèè ( K , ⊗ , I ) ìî æíî òåíçîðíî óìíî æ àòü òî÷íî ò àê æ å ê àê ýòî áûëî ââåäåíî â ïðåäû- äóùåì ïàðàãðàå äëÿ àëãåáð è ê îàëãåáð ( τ 23 := 1 A 1 ⊗ γ A 2 ,A 1 ⊗ 1 A 2 äëÿ ìî- íîèäîâ, è àíàëîãè÷íî äëÿ ê îìîíîèäîâ). Åäèíè÷íûé îáúåêò I ∈ K 0 èìååò ñòðóêòóðó ìîíîèäà è ê îìîíîèäà ñ óìíî æ åíèåì ( µ I : I ⊗ I → I ) = λ I , åäèíèöåé ( η : I → I ) = 1 I , ê îóìíî æ åíèåì ( δ : I → I ⊗ I ) = λ − 1 I è ê îåäè- íèöåé ( ε : I → I ) = 1 I . Äîê àçàòåëüñòâî ýòèõ àêòîâ òåõíè÷åñê îå, è ìû åãî îïó ñòèì (â îñíîâíîì äâà âñïîìîã àòåëüíûõ àêò à èñïîëüçóþòñ ÿ, ÷òî λ I = ρ I è 1 I ⊗ λ I = ( λ I ⊗ 1 I ) ◦ α I ,I , I ). Îïðåäåëåíèå 21. Ïóñòü ( K , ⊗ , I )  ñèììåòðè÷íàÿ òåíçîðíàÿ êàòåãî- ðèÿ. Áèìîíîèäîì â K íàçûâàåòñÿ îáúåêò B ∈ K 0 , ÿâëÿþùèéñÿ îäíî- âðå ìåííî ìîíîèäî ì è êî ìîíîèäî ì, ïðè÷å ì óìíîæåíèå µ : B ⊗ B → B è åäèíèöà η : I → B ÿâëÿþòñÿ ãî ìî ìîð èçìàìè êî ìîíîèäîâ (è íàîáîðîò, ÷òî ýêâèâàëåíòíî, êîóìíîæåíèå δ : B → B ⊗ B è êîåäèíèöà ε : B → I ÿâëÿþòñÿ ãî ìî ìîð èçìàìè ìîíîèäîâ), òî åñòü ñ ëåäóþùèå äèàãð àììû êî ììóòàòèâíû B ⊗ B µ / / τ 23 ◦ ( δ ⊗ δ )   B δ   B ⊗ B ⊗ B ⊗ B µ ⊗ µ / / B ⊗ B B ⊗ B µ / / λ I ◦ ( ε ⊗ ε ) # # F F F F F F F F F B ε           I I η / / λ − 1 I   B δ   I ⊗ I η ⊗ η / / B ⊗ B I η / / 1 I   = = = = = = = B ε           I Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäó åò , ÷òî áèìîíîèäû ÿâëÿþòñ ÿ ìîíîèäàìè â ê à- òåãîðèè ê îìîíîèäîâ (èëè, ÷òî òî æ å ñàìîå, ê îìîíîèäàìè â ê àòåãîðèè ìîíîèäîâ). Ñëåäîâàòåëüíî, ê àòåãîðèè ìîíîèäîâ íà ê àòåãîðèè ê îìîíîè- äîâ è ê îìîíîèäîâ íà ê àòåãîðèè ìîíîèäîâ èçîìîðíû. Ïó ñòü C ∈ K 0 è M ∈ K 0 ñîîòâåòñòâåííî ê îìîíîèä è ìîíîèä â ê à- òåãîðèè ( K , ⊗ , I ) . Íà H om -ìíî æ åñòâå K ( C , M ) èìååòñ ÿ îïåðàöèÿ óìíî- æ åíèÿ ∗ , íàçûâàåìàÿ ñâåðòê îé èëè ê îíâîëþöèåé , îïðåäåëåííàÿ ê àê f ∗ g := µ ◦ ( f ⊗ g ) ◦ δ èëè ÷åðåç äèàãðàììó C δ → C ⊗ C f ⊗ g → M ⊗ M µ → M . Óòâåð æäåíèå 16. Äëÿ êî ìîíîèäà C ∈ K 0 è ìîíîèäà M ∈ K 0 H om - ìíîæåñòâî K ( C , M ) ÿâëÿåòñÿ ìîíîèäî ì îòíîñèòå ëüíî îïåð àöèè ñâåðò- êè ∗ : K ( C , M ) × K ( C , M ) → K ( C , M ) : ( f , g ) 7→ µ ◦ ( f ⊗ g ) ◦ δ , òî åñòü îïåð àöèÿ ∗ 55 • àññîöèàòèâíà: ∀ f , g , h ∈ K ( C , M ) ( f ∗ g ) ∗ h = f ∗ ( g ∗ h ) , è • èìååò åäèíèöó, ð àâíóþ η ◦ ε : C → M : ∀ f ∈ K ( C , M ) ( η ◦ ε ) ∗ f = f = f ∗ ( η ◦ ε ) . Äîê àçàòåëüñòâî. •  àññìîòðèì ê îììóò àòèâíóþ äèàãðàììó C δ   δ / / C ⊗ C δ ⊗ 1 C   C ⊗ C 1 C ⊗ δ / / C ⊗ ( C ⊗ C ) α − 1 C,C,C / / f ⊗ ( g ⊗ h )   ( C ⊗ C ) ⊗ C ( f ⊗ g ) ⊗ h   A × ( A ⊗ A ) α − 1 A,A,A / / 1 A ⊗ µ   ( A ⊗ A ) ⊗ A µ ⊗ 1 A / / A ⊗ A µ   A ⊗ A µ / / A Âåð õíèé ïàðàëëåëîãðàìì ýòî ó ñëîâèå òîãî, ÷òî δ  ê îóìíî æ åíèå â C , ñîîòâåòñòâåííî íèæíèé  ó ñëîâèå òîãî, ÷òî µ  óìíî æ åíèå â M , à ñðåäíèé  ýòî ó ñëîâèå åñòåñòâåííîñòè α . Åñëè íàïèñàòü ðàâåíñòâî ïðîèçâåäåíèé ñòðåëîê, âçÿòûõ âäîëü âåð õíåãî è íèæíåãî 'ïîëóïå- ðèìåòðîâ', òî ïîëó÷èì àññîöèàòèâíîñòü ( f ∗ g ) ∗ h = f ∗ ( g ∗ h ) . •  àññìîòðèì ê îììóò àòèâíóþ äèàãðàììó C λ − 1 C x x r r r r r r r r r r r δ   C ρ − 1 C & & L L L L L L L L L L L δ   I ⊗ C 1 I ⊗ f   C ⊗ C ε ⊗ 1 C o o ( η ◦ ε ) ⊗ f   C ⊗ C 1 C ⊗ ε / / f ⊗ ( η ◦ ε )   C ⊗ I f ⊗ 1 I   I ⊗ M η ⊗ 1 M / / λ M & & L L L L L L L L L L L M ⊗ M µ   M ⊗ M µ   M ⊗ I 1 M ⊗ η o o ρ M x x r r r r r r r r r r r M M Âåð õíèå òðåóãîëüíèêè âûðàæ àþò ó ñëîâèå òîãî, ÷òî ε  ê îåäèíèöà â C , íèæíèå  ÷òî η  åäèíèöà â M , à ñðåäíèå ïð ÿìîóãîëüíèêè ê îììóòèðóþò ïî ïîñòðîåíèþ. Ò îã äà ê îìïîçèöèè ñòðåëîê, âçÿòûõ ïî âíåøíèì ïóò ÿì îò C ê M âûðàæ àþò àêò , ÷òî η ◦ ε  ëåâàÿ è ïðàâàÿ åäèíèöà îòíîñèòåëüíî óìíî æ åíèÿ ∗ , òî åñòü ( η ◦ ε ) ∗ f = f = f ∗ ( η ◦ ε ) (Çàìå÷àíèå: λ M ◦ (1 I ⊗ f ) ◦ λ − 1 C = f è ρ M ◦ ( f ⊗ 1 I ) ◦ ρ − 1 C = f â ñèëó åñòåñòâåííîñòè λ è ρ ).  56  ñèëó ïðåäûäóùåé òåîðåìû H om -ìíî æ åñòâî K ( B , B ) áèìîíîèäà B ÿâëÿåòñ ÿ ìîíîèäîì îòíîñèòåëüíî ñâåðòêè. Îïðåäåëåíèå 22. Ïóñòü B ∈ K 0 áèìîíîèä â K . • Àíòèïî äîì íà B íàçûâàåòñÿ ñòðå ëêà S : B → B , ÿâëÿþùàÿñÿ îá- ð àòíûì ý ëå ìåíòî ì åäèíè÷íîé ñòðå ëêè 1 B : B → B îòíîñèòå ëüíî îïåð àöèè ñâåðòêè, òî åñòü S ∗ 1 B = η ◦ ε = 1 B ∗ S . • Áèìîíîèä B , ñíàáæåííûé àíòèïîäî ì S , íàçûâàåòñÿ àëãåáðîé Õîïà . Íå ê àæäûé áèìîíîèä èìååò àíòèïî ä, íî åñëè îí ñóùåñòâó åò , òî åäèí- ñòâåííûé. Ïðèìåðû. 1.  àññìîòðèì äåê àðòîâó òåíçîðíóþ ê àòåãîðèþ ( Set , × , 1 ) . Ìû çíàåì, ÷òî ëþáîå ìíî æ åñòâî A èìååò åäèíñòâåííóþ ñòðóêòóðó ê îìîíîèäà ñ ê îóìíî æ åíèåì δ : A → A × A : a 7→ ( a, a ) è ê îåäèíèöåé ! : A → 1 . Âîçüìåì òåïåðü ìíî æ åñòâî G , ÿâëÿþùååñ ÿ ãðóïïîé (òî åñòü ìîíîè- äîì, â ê îòîðîì ê àæäûé ýëåìåíò èìååò îáðàòíûé). Ñòðóêòóðà ê îàë- ãåáðû íà G ñîâìåñòèìà ñî ñòðóêòóðîé ìîíîèäà íà G (ñ ãðóïïîâûì óìíî æ åíèåì µ : G × G → G : ( g 1 , g 2 ) 7→ g 1 · g 2 è ãðóïïîâîé åäèíèöåé η : 1 → G : ∗ 7→ e , ã äå ∗ åäèíñòâåííûé ýëåìåíò 1 , è e åäèíèöà G ), òî åñòü G ÿâëÿåòñ ÿ áèìîíîèäîì â ( Set , × , 1 ) . Ñâåðòê à â ìíî æ åñòâå óíêöèé Set ( G, G ) îïðåäåëÿåòñ ÿ ê àê ( f ∗ g )( h ) := µ ◦ ( f × g ) ◦ δ ( h ) = f ( h ) · g ( h ) , ã äå h ∈ G . Ñîîòâåòñòâåííî àíòèïî ä S ó äîâëåòâîð ÿåò ðà- âåíñòâó e = e ( h ) = S ( h ) · h = h · S ( h ) , òî åñòü ÿâëÿåòñ ÿ îïåðàöèåé âçÿòèÿ îáðàòíîãî ýëåìåíò à è, ïîýòîìó , ñóùåñòâó åò íà ãðóïïå. Åñëè ìû íàîáîðîò ñò àðòó åì ñ îïðåäåëåíèÿ àëãåáðû Õîïà â Set , òî ïî- ëó÷èì, ÷òî ýòî äîëæ åí áûòü ìîíîèä, (àâòîìàòè÷åñêè) ñîâìåñòèìûé ñ åäèíñòâåííî âîçìî æíîé äèàãîíàëüíîé ñòðóêòóðîé ê îìîíîèäà, â ê îòîðîì ê àæäûé ýëåìåíò èìååò îáðàòíûé ïî îòíîøåíèþ ê óìíî- æ åíèþ, òî åñòü ïðèäåì ê ïîíÿòèþ ãðóïïû. Ò àêèì îáðàçîì, àëãåáðû Õîïà â ê àòåãîðèè ìíî æ åñòâ Set ñîâïàäàþò ñ ãðóïïàìè. 2. Ïó ñòü G  ãðóïïà ñ óìíî æ åíèåì · è åäèíèöåé e .  àññìîòðèì âåêòîð- íîå ïðîñòðàíñòâî k ( G ) ñ áàçèñîì G è ê îýèöèåíò àìè èç ïîëÿ k . Ò îã äà â òåíçîðíîé ê àòåãîðèè âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ ( V ect , ⊗ , k ) ïðîñòðàíñòâî k ( G ) ÿâëÿåòñ ÿ àëãåáðîé Õîïà ñ óìíî æ åíèåì µ : k ( G ) ⊗ k ( G ) → k ( G ) : g 1 ⊗ g 2 7→ g 1 · g 2 , åäèíèöåé η : k → k ( G ) : 1 7→ e , ê îóìíî æ åíèåì δ : k ( G ) → k ( G ) ⊗ k ( G ) : g 7→ g ⊗ g , ê îåäèíèöåé 57 ε : k ( G ) → k : g 7→ 1 è àíòèïî äîì S : k ( G ) → k ( G ) : g 7→ g − 1 (âñå îòîáðàæ åíèÿ çàäàíû íà áàçèñíûõ ýëåìåíò àõ è ïðî äîëæ àþòñ ÿ íà äðóãèå ïî ëèíåéíîñòè). 3. Ïó ñòü G  ê îíå÷íàÿ ãðóïïà, ñîñòî ÿùàÿ èç n ýëåìåíòîâ.  àññìîò- ðèì ìíî æ åñòâî óíêöèé íà G ñî çíà ÷åíèÿìè â ïîëå k , òî åñòü Set ( G, k ) . Ìíî æ åñòâî Set ( G, k ) èìååò ñòðóêòóðó âåêòîðíîãî ïðî- ñòðàíñòâà ðàçìåðíîñòè n (äåéñòâèòåëüíî, âîçüìåì â ê à ÷åñòâå áà- çèñà óíêöèè { f g | g ∈ G } ò àêèå, ÷òî f g ( h ) :=  1 åñëè h = g 0 åñëè h 6 = g . Ò îã äà ëþáàÿ óíêöèÿ f : G → k ÿâëÿåòñ ÿ ëèíåéíîé ê îìáèíà- öèåé óíêöèé f g , èìåííî, f = P g ∈ G f ( g ) f g ). Àíàëîãè÷íî, Set ( G × G, k ) ÿâëÿåòñ ÿ âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì ðàçìåðíîñòè n 2 ñ áàçè- ñîì { f ( g, h ) } , ( g , h ) ∈ G × G . Îòî æäåñòâèì áàçèñíûå ýëåìåíòû ïðî- ñòðàíñòâ Set ( G × G, k ) è Set ( G, k ) ⊗ Set ( G, k ) ïî ïðàâèëó f ( g, h ) ↔ f g ⊗ f h , òî åñòü ïîëó÷èì ê àíîíè÷åñêèé èçîìîðèçì ýòèõ ïðîñòðàíñòâ. Âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî Set ( G, k ) èìååò ñòðóêòóðó àëãåáðû Õîïà â ê àòåãîðèè ( V ect , ⊗ , k ) . Îïåðàöèè çàäàþòñ ÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: óìíî æ åíèå µ : Set ( G, k ) ⊗ Set ( G, k ) → Set ( G, k ) : f g 1 ⊗ f g 2 7→  f g 1 åñëè g 1 = g 2 0 åñëè g 1 6 = g 2 , åäèíèöà η : k → Set ( G, k ) : 1 7→ P g ∈ G 1 · f g , ê î- óìíî æ åíèå ε : Set ( G, k ) → Set ( G, k ) ⊗ Set ( G, k ) : ( f = P g ∈ G f ( g ) f g ) 7→ ( f ◦ µ = P g ∈ G f ( g )( P g 1 ,g 2 ∈ G g 1 · g 2 = g f g 1 ⊗ f g 2 )) , ê îåäèíèöà ε : Set ( G, k ) → k : f 7→ f ( e ) (ã äå e  åäèíèöà ãðóïïû G ), àíòèïî ä S : Set → Set : f 7→ f ◦ i (ã äå i : G → G : g 7→ g − 1  îïåðàöèÿ îáðàùåíèÿ â ãðóïïå). Ïðèìåð 3 ÿâëÿåòñ ÿ íàèáîëåå ÷àñòûì ïðîòîòèïîì 'ðåàëüíûõ' àëãåáð Õîïà, åñòåñòâåííî âîçíèê àþùèõ â ãåîìåòðèè, ê îìáèíàòîðèê å, êâàíòî- âîé èçèê å, õ îò ÿ íàâåðíîå åùå ðàíüøå îíè âîçíèêëè â òîïîëîãèè (â òåî- ðèè ãîìîòîïèé) â àáñòðàêòíîì âèäå, áëèçê îì ê íàøåìó îïðåäåëåíèþ.  çàêëþ÷åíèå ïðèâåäåì î äíî óòâåð æäåíèå áåç äîê àçàòåëüñòâà. Óòâåð æäåíèå 17. • À íòèïîä êî ììóòèðóåò ñ ãî ìî ìîð èçìàìè áè- ìîíîèäîâ, òî åñòü åñ ëè f : B 1 → B 2 òàêîé ãî ìî ìîð èçì, è S i : B i → B i , i = 1 , 2  àíòèïîäû â B 1 è B 2 , òî f ◦ S 1 = S 2 ◦ f . •  ñèëó ïðåäûäóùåãî ïóíêòà êàòåãîðèÿ àëãåáð Õîï à ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé ïîäêàòåãîðèåé êàòåãîðèè áèìîíîèäîâ. 58 Óïðàæíåíèÿ 18. 1. Óáåäèòüñÿ, ÷òî â îïðåäå ëåíèè áèìîíîèäà (îïðå- äå ëåíèå 21) îá à óñ ëîâèÿ ( µ è η  ãî ìî ìîð èçìû êî ìîíîèäîâ, è δ è ε  ãî ìî ìîð èçìû ìîíîèäîâ) ýêâèâàëåíòíû. 2.  àçîáð àòüñÿ â äåòàëÿõ äîêàçàòå ëüñòâà óòâåðæäåíèÿ 16. 3. Äîêàçàòü, ÷òî àíòèïîä, åñ ëè ñóùåñòâóåò, òî åäèíñòâåííûé. 4. Äîêàçàòü, ÷òî ñòðóêòóð à êî ìîíîèäà ñîâìåñòèìà ñî ñòðóêòóðîé ìîíîèäà íà ãðóïïå G â ( Set , × , 1 ) (ïðèìåð 1). 5. Ïðîâåðèòü, ÷òî âåêòîðíîå ïðîñòð àíñòâî k ( G ) (ïðèìåð 2) äåé- ñòâèòå ëüíî ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé Õîï à. 6.  àçîáð àòüñÿ â ñòðóêòóðå îïåð àöèé àëãåáðû Õîï à Set ( G, k ) (ïðè- ìåð 3) è ïðîâåðèòü âûïî ëíåíèå àêñèî ì. 59 Ëèòåðàòóðà [AHS℄ J. A damek, H. Herrli h, G.E. Stre k er, Abstrat and Conrete Categories. The Jo y of Cats, John Wiley , 1990. [Bor℄ F. Boreux, Handb o ok of Categorial Algebra, v olumes 1,2,3, Cam bridge Univ ersit y Press, 1994. [Die℄ T. tom Die k, Quan tum Groups and Knot Algebra, Gottingen Univ ersit y , 2000. [P ar℄ B. P areigis, Categories and F untors, A ademi Press, 1970. [Str℄ R. Street, Quan tum Groups. A P ath to Curren t Algebra, Cam bridge Univ ersit y Press, 2007. [Áóê℄ È. Áóêóð, À. Äåëÿíó , Ââåäåíèå â òåîðèþ ê àòåãîðèé è óíêòîðîâ, Ìîñêâà, Ìèð, 1972. [Êàñ℄ Ê. Êàññåëü, Êâàíòîâûå ãðóïïû, Ìîñêâà, 1999. [Ma℄ Ñ. Ìàêëåéí, Êàòåãîðèè äëÿ ðàáîò àþùåãî ìàòåìàòèê à, Ìîñêâà, Ôèçìàò ëèò , 2004. [ÖØ℄ Ì.Ø. Öàëåíê î, Å. . Øó ëüãåéåð, Îñíîâû òåîðèè ê àòåãîðèé, Ìîñêâà, Íà óê à, 1974. 60