Parabolic polygons

P ARABOLIC POL YGONS Nilo v F eo dor lyeum "The Seond s ho ol" Abstrat. 1 Main Theorem. Two p ar ab ols have four  ommon p oints. Ther e exists a ir le tangent to the sides of the obtaine d p ar ab oli quadrilater al if and only if the diagonals of this quadrilater al ar e ortho gonal. The pro of of the Main Theorem is elemen tary and purely syn theti. It is based on the follo wing lemma. Lemma 1. Assume that a p ar ab ola is tangent to a ir le at p oints A and B . A p oint P of the plane lyes on the p ar ab ola if and only if the distan e fr om the p oint P to the line AB e quals to the length of the tangent fr om P to the ir le. Corollary 1. Eah p ar ab oli quadrilater al as ab ove is ane e quivalent to a p ar ab oli quadrilater al whih is simultane ously insrib e d and ir umsrib e d. Corollary 2. A p ar ab ola and a ir le have four  ommon p oints A , B , C , D . Denote by L the interse tion p oint of diagonals AC and B D of quadrilater al AB C D . Then the bisse tor of the angle C L D is p ar al lel to the axis of the p ar ab ola. Prop osition 1. Two p ar ab ols have four  ommon p oints lying on a ir le. Then the interse tion p oint of the axes of these p ar ab ols is the b ary entr e of the four p oints. 1 This pap er is prepared under the sup ervision of A.Zasla vski and is submitted to a prize of the Moso w Mathematial Conferene of High-s ho ol Studen ts. Readers are in vited to send their remarks and rep orts to mmksmme.ru. 1 ÏÀ ÀÁÎËÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÍÎÎ ÓÎËÜÍÈÊÈ Íèëîâ Ô¼äîð ëèöåé "Âòîðàÿ øê îëà"  ýòîé ðàáîòå äîê àçûâàåòñ ÿ íåñê îëüê î òåîðåì î êðèâîëèíåéíîì ïàðàáîëè÷åñê îì ÷åòû- ð¼õóãîëüíèê å. Îñíîâíàÿ Ò åîðåìà. Äâå ïàð àáî ëû ïåðåñåêàþòñÿ â ÷åòûð¼õ òî÷êàõ.  ïî ëó÷åííûé "ïàð àáî ëè÷åñêèé ÷åòûð¼õóãî ëüíèê"ìîæíî âïèñ àòü îêðóæíîñòü òîãäà è òî ëüêî òîãäà, êîãäà åãî äèàãîíàëè ïåðïåíäèêóëÿðíû. Ïî-âèäèìîìó , ýòîò êðàñèâûé àêò íåèçâåñòåí, ÷òî ïî äòâåð æäàåòñ ÿ ìíåíèåì àâòîðîâ ðàáîò [1, 2℄. Ôîðìó ëèðîâêè îñò àëüíûõ ðåçó ëü ò àòîâ. Ïàð àáî ëè÷åñêèì ÷åòûð¼õóãî ëüíèêî ì íàçîâ¼ì èãóðó , ÿâëÿþùóþñ ÿ ïåðåñå÷åíèåì äâóõ ÷àñòåé ïëîñê îñòè, ê àæäàÿ èç ê îòîðûõ îãðàíè÷åíà ïàðàáîëîé, ïðè÷åì ýòè äâå ïàðàáîëû ïåðåñåê àþòñ ÿ â ÷åòûðåõ òî÷åê Ñëåäñòâèå 1. Ëþáîé ïàð àáî ëè÷åñêèé ÷åòûð¼õóãî ëüíèê ìîæíî ïåðåâåñòè à èííûì ïðåîáð àçîâàíèå ì âî âïèñ àííî-îïèñ àííûé ïàð àáî ëè÷åñêèé ÷åòûð¼õóãî ëüíèê. Èç ñëåäñòâèÿ 1 áó äåò âûâåäåí åùå î äèí ðåçó ëü ò àò , ñëåäñòâèå 4. Íî ñíà ÷àëà ñîðìó- ëèðó åì ñëåäóþùèé èíòåðåñíûé àêò , ê îòîðûé ïðèâî äèòñ ÿ ê ÷àñòíîìó ñëó÷àþ ñëåäñòâèÿ 4. Ñëåäñòâèå 2. Ïàð àáî ëà è îêðóæíîñòü ïåðåñåêàþòñÿ â ÷åòûð¼õ òî÷êàõ A , B , C è D . Îáîçíà÷èì òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé ÷åòûð¼õóãî ëüíèêà AB C D ÷åðåç L . Ò îãäà áèññåêòðèñ à óãëà C LD ïàð àë ëå ëüíà îñè ïàð àáî ëû. Cëåäóþùåå óòâåð æäåíèå áó äåò âûâåäåíî èç ñëåäñòâèÿ 2. Ñëåäñòâèå 3. Äâå ïàð àáî ëû ïåðåñåêàþòñÿ â ÷åòûðåõ òî÷êàõ, ëåæàùèõ íà îäíîé îêðóæíîñòè. Ò îãäà òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ îñåé ïàð àáî ë ñîâïàäàåò ñ öåíòðî ì òÿæåñòè ýòèõ ÷åòûð¼õ òî÷åê. Ïð ÿìàÿ E F íàçûâàåòñ ÿ îñåâîé ïðÿìîé âûïóêëîãî ÷åòûð¼õóãîëüíèê à AB C D , åñëè îíà ïðî õ î äèò ÷åðåç òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé ÷åòûð¼õóãîëüíèê à è ïåðåñåê àåò ïð ÿìûå, ñî äåð æ àùèå ñòîðîíû AB è C D â òî÷ê àõ E è F , äëÿ ê îòîðûõ AE /E B = F D /C F . Îñåâàÿ ïð ÿìàÿ ÷åòûð¼õóãîëüíèê à çàâèñèò îò íóìåðàöèè âåðøèí.  àññìîòðèì àèííîå ïðåîáðàçîâàíèå, ê îòîðîå ïåðåâî äèò ÷åòûð¼õóãîëüíèê AB C D âî âïèñàííûé ÷åòûð¼õóãîëüíèê A ′ B ′ C ′ D ′ . Ò îã äà îñåâàÿ ïð ÿìàÿ ÷åòûð¼õóãîëüíèê à AB C D ïðè ò àê îì ïðåîáðàçîâàíèè ïåðåéä¼ò â áèññåêòðèñó óã ëà C ′ L ′ D ′ , ã äå L ′  òî÷ê à ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé A ′ B ′ C ′ D ′ . Ñëåäñòâèå 4. Íà ïàð àáî ëå ëåæàò ÷åòûðå òî÷êè A , B , C è D . Ò îãäà îñü ïàð àáî ëû ïàð àë ëå ëüíà îñåâîé ïðÿìîé ÷åòûð¼õóãî ëüíèêà AB C D . Ñëåäóþùåå óòâåð æäåíèå áó äåò âûâåäåíî èç ëåììû 1, ñîðìó ëèðîâàííîé íèæ å. Óòâåð æäåíèå 1.  ëàâíûå äèàãîíàëè îïèñ àííîãî ïàð àáî ëè÷åñêîãî øåñòèóãî ëüíèêà ïå- ðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Ñëåäóþùåå óòâåð æäåíèå ïðèíàäëåæèò À.Â. Àê îïÿíó è À.À. Çàñëàâñê îìó . ß ïðèâî æó äðóãîå äîê àçàòåëüñòâî, îñíîâàííîå íà ñëåäñòâèè 2 è ëåììå 1, ñîðìó ëèðîâàííîé äàëåå. 2 Ò åîðåìà. Âíóòðè îêðóæíîñòè âçÿòà òî÷êà X . ×åðåç íå¼ ïðîâîäÿòñÿ N õîðä, äå- ëÿùèå ïëîñêîñòü íà 2 N ð àâíûõ óãëîâ. ×åðåç êîíöû êàæäîé õîðäû ïðîâîäèòñÿ ïàð àáî ëà, êàñ àþùàÿñÿ îêðóæíîñòè â ýòèõ êîíöàõ. Ò îãäà âåðøèíû ïàð àáî ëè÷åñêîãî 2 N -óãî ëüíèêà, ïî ëó÷àþùåãîñÿ ïðè ïåðåñå÷åíèè ýòèõ ïàð àáî ë, ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè. Äîê àçàòåëüñòâî ÷àñòè "òîëüê î òîã äà"îñíîâíîé òåîðåìû Ñîðìó ëèðó åì ëåììó 1, íà ê îòîðîé îñíîâàíî äîê àçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû. Ëåììà 1. Äàíà ïàð àáî ëà, êàñ àþùàÿñÿ îêðóæíîñòè â òî÷êàõ A è B . Ïðîèçâî ëüíàÿ òî÷êà P ïëîñêîñòè ëåæèò íà ýòîé ïàð àáî ëå òîãäà è òî ëüêî òîãäà, êîãäà ð àññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïðÿìîé AB ð àâíî äëèíå êàñ àòå ëüíîé, ïðîâåä¼ííîé èç òî÷êè P ê îêðóæíîñòè. Äîê àçàòåëüñòâî ýòîé ëåììû ïðèâåä¼ì ïîçæ å. Äîêàçàòå ëüñòâî ÷àñòè "òî ëüêî òîãäà"îñíîâíîé òåîðå ìû. Îáîçíà ÷èì òî÷êè ê àñàíèÿ îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â ïàðàáîëè÷åñêèé ÷åòûð¼õóãîëüíèê, ñ î äíîé ïàðàáîëîé ÷åðåç K è L , à ñ äðóãîé  ÷åðåç M è N .  àññìîòðèì î äíó èç âåðøèí A ïàðàáîëè÷åñê îãî ÷åòû- ð¼õóãîëüíèê à. Èç ÷àñòè "òîëüê î òîã äà"ëåììû 1 ñëåäó åò , ÷òî ðàññòî ÿíèÿ îò òî÷êè A äî ïð ÿìûõ K L è M N ðàâíû äëèíå ê àñàòåëüíîé, ïðîâåä¼ííîé èç A ê îêðóæíîñòè. Çíà ÷èò , âåðøèía A ðàâíîó äàëåíà îò ïð ÿìûõ K L è M N . Àíàëîãè÷íîå âåðíî è äëÿ äðóãèõ âåðøèí. Ïîñê îëüêó ïð ÿìûå, ñî äåð æ àùèå áèññåêòðèñû óã ëîâ, îáðàçîâàííûõ ïð ÿìûìè K L è M N , ÿâëÿþòñ ÿ äèàãîíàëÿìè ÷åòûð¼õóãîëüíèê à AB C D , òî äèàãîíàëÿìè ýòîãî ÷åòûð¼õóãîëüíè- ê à ïåðïåíäèêó ëÿðíû. Äîê àçàòåëüñòâî ÷àñòè "òîã äà"îñíîâíîé òåîðåìû. Îñíîâíàÿ èäåÿ äîê àçàòåëüñòâà ÷àñòè 'òîã äà' îñíîâíîé òåîðåìû ïðèíàäëåæèò À.À. Çà- ñëàâñê îìó . Äîêàçàòå ëüñòâî ÷àñòè 'òîãäà' îñíîâíîé òåîðå ìû. Ïó ñòü AB C D  ïàðàáîëè÷åñêèé ÷åòûðåõóãîëüíèê ñ ïåðïåíäèêó ëÿðíûìè äèàãîíàëÿìè. Îáîçíà ÷èì ÷åðåç L òî÷êó ïåðåñå- ÷åíèÿ åãî äèàãîíàëåé. Èçâåñòíî, ÷òî ïðîåêöèè òî÷êè L íà ïð ÿìûå AB , B C , C D è D A ëåæ àò íà î äíîé îêðóæíîñòè. Äîê àæ åì, ÷òî ýò à îêðóæíîñòü âïèñàíà â ïàðàáîëè÷åñêèé ÷å- òûð¼õóãîëüíèê. Ìî æíî ñ÷èò àòü, ÷òî ñóùåñòâó åò ò àê àÿ ïð ÿìàÿ l 1 , ïðî õ î äÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó L , ÷òî ðàññòî ÿíèå a îò ýòîé ïð ÿìîé äî òî÷êè A ðàâíî äëèíå ê àñàòåëüíîé t a èç òî÷êè A ê îêðóæíîñòè. (Ïîê àæ åì, ïî÷åìó ò àê àÿ ïð ÿìàÿ ñóùåñòâó åò . Áó äåì ñ÷èò àòü, ÷òî öåíòð I ýòîé îêðóæ- íîñòè ëåæèò â òîé æ å ïîëóïëîñê îñòè îòíîñèòåëüíî ïð ÿìîé B D , ÷òî è òî÷ê à A . Ò îã äà ∠ I LA îñòðûé. Ñóùåñòâîâàíèå ò àê îé ïð ÿìîé ïî ñîîáðàæ åíèÿì íåïðåðûâíîñòè ñëåäó åò èç AL 2 > t 2 a . Äëÿ äîê àçàòåëüñòâà ýòîãî íåðàâåíñòâà îáîçíà ÷èì ÷åðåç r ðàäèó ñ ðàññìàòðè- âàåìîé îêðóæíîñòè. Ò î÷ê à L ëåæèò âíóòðè ýòîé îêðóæíîñòè. Ïîñê îëüêó ∠ I LA îñòðûé, AL 2 > AI 2 − I L 2 > AI 2 − r 2 = t 2 a .) Îáîçíà ÷èì ðàññòî ÿíèÿ îò ýòîé ïð ÿìîé äî ê àæäîé èç òî÷åê B , C è D ÷åðåç b , c , d , à äëèíû ê àñàòåëüíûõ èç òî÷åê B , C è D ê îêðóæíîñòè ÷åðåç t b , t c è t d . Äîê àæ åì, ÷òî t b = b . Îáîçíà ÷èì ïðîåêöèþ òî÷êè L íà ïð ÿìóþ AB ÷åðåç H . Îáîçíà ÷èì âòîðóþ òî÷êó ïåðå- ñå÷åíèÿ îêðóæíîñòè è ïð ÿìîé AB ÷åðåç X . Ò îã äà t 2 a AL 2 + t 2 b B L 2 = AH · AX AH · AB + B X · B H B H · AB = AX + X B AB = 1 = 3 = sin 2 ∠ ( l 1 , AC ) + cos 2 ∠ ( l 1 , AC ) = a 2 AL 2 + b 2 B L 2 . Ýòî ðàâåíñòâî âûïîëíåíî, ïîñê îëüêó (a) LH  âûñîò à ïð ÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèê à ALB , îïóùåííàÿ íà ãèïîòåíóçó AB , à çíà ÷èò AL 2 = AH · AB è B L 2 = B H · AB . (b) AH · AX = t 2 a è B X · B H = t 2 b . Ïîýòîìó a = t a âëå÷åò b = t b . Àíàëîãè÷íî, c = t c è d = t d . Ïîñê îëüêó äëÿ ïð ÿìîé l 1 âûïîëíåíî t a = a , t b = b , t c = c è t d = d , òî òî ïð ÿìàÿ l 2 , ñèììåòðè÷íàÿ åé îòíîñèòåëüíî AC òî æ å îáëàäàåò ýòèì æ å ñâîéñòâîì. Ïîýòîìó èç ÷àñòè "òîã äà"ëåììû 1 ñëåäó åò , ÷òî òî÷êè A , B , C è D ëåæ àò íà äâóõ ïàðàáîëàõ, ê àñàþùèõ ñ ÿ îêðóæíîñòè â òî÷ê àõ ïåðåñå÷åíèÿ ïð ÿìûõ l 1 è l 2 ñ îêðóæíîñòüþ. Ïîýòîìó â ïàðàáîëè÷å- ñêèé ÷åòûð¼õóãîëüíèê AB C D ìî æíî âïèñàòü îêðóæíîñòü. Ëåììà 2. Äîê àæ åì ëåììó , íà ê îòîðîé îñíîâàíî äîê àçàòåëüñòâî ÷àñòè "òîëüê î òîã äà"ëåììû 1. Ëåììà 2. Ïî ïàð àáî ëå äâèæåòñÿ òî÷êà P . Ïóñòü AB  õîðäà ïàð àáî ëû, ïàð àë ëå ëü- íàÿ å¼ äèðåêòðèñå. (a) òî÷êà C ïåðåñå÷åíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðîâ, âîññòàíîâëåííûõ â òî÷êàõ A è B ê ïðÿ- ìûì P A è P B , äâèæåòñÿ ïî ïðÿìîé, ïàð àë ëå ëüíîé AB . Îáîçíà÷èì ïðîåêöèþ òî÷êè íà ïðÿìóþ ÷åðåç H , à ïðîåêöèè òî÷êè H íà ïðÿìûå AP è B P ÷åðåç K è L . Ò î÷êè A , B , K è L ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè ω , ïîñêî ëüêó ∠ K LP = ∠ K H P = ∠ H AP . Îáîçíà÷èì ÷åðåç O öåíòð îêðóæíîñòè ω . Ò îãäà (b) îêðóæíîñòü ω íå çàâèñèò îò ïî ëîæåíèÿ òî÷êè . () îêðóæíîñòü ω êàñ àåòñÿ ïàð àáî ëû â òî÷êàõ A è B . Äëÿ äîê àçàòåëüñòâà ëåììû 2 (a) ïðèâåä¼ì îïðåäåëåíèÿ è ñîðìó ëèðó åì èçâåñòíóþ ëåììó . Ïó÷ê îì [ A ] ïð ÿìûõ íàçûâàåòñ ÿ ìíî æ åñòâî ïð ÿìûõ, ïðî õ î äÿùèõ ÷åðåç òî÷êó A . Ñîîòâåòñòâèå ìåæäó äâóìÿ ïó÷ê àìè ïð ÿìûõ íàçûâàåòñ ÿ ïðîåêòèâíûì , åñëè äâîéíîå îòíîøåíèå ëþáûõ ÷åòûð¼õ ïð ÿìûõ èç î äíîãî ïó÷ê à ðàâíî äâîéíîìó îòíîøåíèþ ÷åòûð¼õ ñîîòâåòñòâóþùèõ ïð ÿìûõ èç äðóãîãî ïó÷ê à. Ëåììà Ñîëëåðòèíñê îãî. Äàíî ïðîåêòèâíîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ïó÷êàìè ïðÿìûõ [] è [] . Ò îãäà âñå òî÷êè P , ÿâëÿþùèåñÿ ïåðåñå÷åíèå ì ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðÿìûõ èç ïó÷êîâ [ A ] è [ B ] , ïðèíàäëåæàò êîíè÷åñêî ìó ñå÷åíèþ (âîçìîæíî, âûðîæäåííî ìó). Äîêàçàòå ëüñòâî ëå ììû 2 (a).  àññìîòðèì ïð ÿìóþ, ïðî õ î äÿùóþ ÷åðåç òî÷êó C è ïà- ðàëëåëüíóþ ïð ÿìîé AB . Ïó ñòü òî÷ê à C ′ äâèæ åòñ ÿ ïî ýòîé ïð ÿìîé. Îáîçíà ÷èì òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïåðïåíäèêó ëÿðîâ, âîññò àíîâëåííûõ â òî÷ê àõ A è B ê ïð ÿìûì C ′ A è C ′ B , ÷åðåç P ′ . Î÷åâèäíî, ÷òî ñîîòâåòñòâèå AC ′ → B C ′ ìåæäó ïð ÿìûìè èç ïó÷ê îâ [ A ] è [ B ] ÿâëÿåòñ ÿ ïðîåêòèâíûì. Ñîîòâåòñòâèå AC ′ → AP ′ ìåæäó ïð ÿìûìè èç ïó÷ê îâ [ A ] ÿâëÿ- åòñ ÿ ïðîåêòèâíûì, ïîñê îëüêó óãîë ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè ïð ÿìûìè ïð ÿìîé. Àíàëîãè÷íî, ñîîòâåòñòâèå B C ′ → B P ′ ìåæäó ïð ÿìûìè èç ïó÷ê îâ [ B ] ÿâëÿåò- ñ ÿ ïðîåêòèâíûì. Çíà ÷èò , ñîîòâåòñòâèå AP ′ → B P ′ ìåæäó ïð ÿìûìè èç ïó÷ê îâ [ A ] è [ B ] ÿâëÿåòñ ÿ ïðîåêòèâíûì. Ïîýòîìó èç ëåììû Ñîëëåðòèíñê îãî ñëåäó åò , ÷òî òî÷êè P ′ ëåæ àò íà ê îíèê å (âîçìî æíî, âûðî æäåííîé). Ëåãê î óáåäèòñ ÿ â òîì, ÷òî êðèâàÿ γ , ïî ê îòîðîé äâèæ åòñ ÿ òî÷ê à P ′ , íå ÿâëÿåòñ ÿ âûðî æäåííîé ê îíèê îé. Äëÿ ýòîãî äîñò àòî÷íî ðàññìîòðåòü ïÿòü òî÷åê êðèâîé γ , 4 íèê àêèå òðè èç ê îòîðûõ íå ëåæ àò íà î äíîé ïð ÿìîé. Ýòî òî÷êè A , B , äâå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííîãî ïåðïåíäèêó ëÿðà ê îòðåçêó AB  êðèâîé γ (î äíà èç ê îòîðûõ ê îíå÷íà, à äðóã àÿ áåñê îíå÷íî ó äàëåíà) è ïðîèçâîëüíàÿ ïÿò àÿ òî÷ê à êðèâîé γ . Çàìåòèì, ÷òî êðèâîé γ ïðèíàäëåæèò ðîâíî î äíà áåñê îíå÷íî ó äàë¼ííàÿ òî÷ê à (ýò à òî÷ê à ÿâëÿåòñ ÿ ïåðåñå÷åíèåì ïåðïåíäèêó ëÿðîâ, âîññò àíîâëåííûõ â òî÷ê àõ A è B ê îòðåçêó AB ). Êîíèê à, ê îòîðîé ïðèíàäëåæèò ðîâíî î äíà áåñê îíå÷íî ó äàë¼ííàÿ òî÷ê à, ÿâëÿåòñ ÿ ïàðàáî- ëîé. Çíà ÷èò , γ ÿâëÿåòñ ÿ ïàðàáîëîé, îñü ê îòîðîé ïåðïåíäèêó ëÿðíà ïð ÿìîé AB . Ïîñê îëüêó ýò à ïàðàáîëà ïðî õ î äèò ÷åðåç òî÷êè A , B è P è å¼ îñü ïàðàëëåëüíà îñè äàííîé ïàðàáîëû, ýò à ïàðàáîëà ñîâïàäàåò ñ äàííîé. Ïîýòîìó òî÷ê à C äâèæ åòñ ÿ ïî ïð ÿìîé, ïàðàëëåëüíîé AB . Äîêàçàòå ëüñòâî ëå ììû 2 (b).  àññìîòðèì ñëó÷àé, ê îã äà òî÷ê à P íàõ î äèòñ ÿ â òîé æ å ïîëóïëîñê îñòè îòíîñèòåëüíî ïð ÿìîé AB , ÷òî è âåðøèíà ïàðàáîëû (ëó÷àé, ê îã äà òî÷ê à P íàõ î äèòñ ÿ â äðóãîé ïîëóïëîñê îñòè îòíîñèòåëüíî ïð ÿìîé AB äîê àçûâàåòñ ÿ àíàëîãè÷íî). Ñåðåäèííûå ïåðïåíäèêó ëÿðû ê îòðåçê àì AK è LB ÿâëÿþòñ ÿ ñðåäíèìè ëèíèÿìè òðàïåöèé AK H C è B LH C . Ñëåäîâàòåëüíî, îíè ïåðåñåê àþòñ ÿ â ñåðåäèíå îòðåçê à H C . Çíà ÷èò , ñåðåäèíà îòðåçê à H C ñîâïàäàåò ñ òî÷ê îé O . Îáîçíà ÷èì ïðîåöèþ òî÷êè C íà ïð ÿìóþ AB ÷åðåç S . Èç ëåììû 2 (a) ñëåäó åò , ÷òî äëèíà îòðåçê à C S íå çàâèñèò îò ïîëî æ åíèÿ òî÷êè P íà ïàðàáîëå. Îáîçíà ÷èì ñåðåäèíó îòðåçê à AB ÷åðåç M . Ò î÷ê à O íàõ î äèòñ ÿ íà ñåðåäèííîì ïåðïåí- äèêó ëÿðå ê îòðåçêó AB , ïðè÷¼ì O M = 1 / 2 C S . Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëî æ åíèå òî÷êè O íå çàâèñèò îò âûáîðà òî÷êè P íà ïàðàáîëå. Äîêàçàòå ëüñòâî ëå ììû 2 ().  àññìîòðèì òî÷êó P = A . Ò îã äà ïð ÿìàÿ AP áó äåò ê àñàòåëüíîé ê ïàðàáîëå â òî÷ê å A . Èç òîãî, ÷òî ïð ÿìûå AO è AP ïåðïåíäèêó ëÿðíû è òî÷ê à O ëåæèò íà ñåðåäèííîì ïåðïåíäèêó ëÿðå ê îòðåçêó AB ñëåäó åò , ÷òî òî÷ê à O ñîâïàä¼ò ñ öåíòðîì îêðóæíîñòè, ê àñàþùåéñ ÿ ïàðàáîëû â òî÷ê àõ A è B . Èç ëåììû 2 (b) è âûøåñê àçàííîãî ñëåäó åò , ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïîëî æ åíèÿ òî÷êè P íà ïàðàáîëå, òî÷ê à O ÿâëÿåòñ ÿ öåíòðîì îêðóæíîñòè, ê àñàþùåéñ ÿ ïàðàáîëû â òî÷ê àõ A è B . Çíà ÷èò , îêðóæíîñòü ω ñîâïàäàåò ñ îêðóæíîñòüþ, ê àñàþùåéñ ÿ ïàðàáîëû â òî÷ê àõ A è B . Äîê àçàòåëüñòâî ëåììû 1. Äîêàçàòå ëüñòâî ÷àñòè "òî ëüêî òîãäà"ëå ììû 1. Îáîçíà ÷èì ïðîåêöèþ òî÷êè íà ïð ÿ- ìóþ ÷åðåç H , à ïðîåêöèè òî÷êè H íà ïð ÿìûå AP è B P ÷åðåç K è L . Ïîñê îëüêó òðå- óãîëüíèêè H P B è H P L ïî äîáíû è îêðóæíîñòü, ê àñàþùàÿñ ÿ ïàðàáîëû â òî÷ê àõ A è B , ïðî õ î äèò ÷åðåç òî÷êè K è L (ýòî ñëåäó åò èç ïóíêò à () ëåììû 2), òî P H = √ P L · P B . Çíà ÷èò , îòðåçîê P H ðàâåí äëèíå ê àñàòåëüíîé, ïðîâåä¼ííîé èç òî÷êè P ê îêðóæíîñòè, ê àñàþùåéñ ÿ ïàðàáîëû â òî÷ê àõ A è B . Äîêàçàòå ëüñòâî ÷àñòè "òîãäà"ëå ììû 1. Ïðåäïîëî æèì ïðîòèâíîå. Ïó ñòü òî÷ê à P íå ëåæèò íà ïàðàáîëå, ê àñàþùåéñ ÿ îêðóæíîñòè â òî÷ê àõ A è B , íî ðàññòî ÿíèå îò òî÷êè P äî ïð ÿìîé AB ðàâíî äëèíå ê àñàòåëüíîé, ïðîâåä¼ííîé èç òî÷êè P ê îêðóæíîñòè.  àññìîòðèì ñëó÷àé, ê îã äà òî÷ê à P íàõ î äèòñ ÿ â òîé æ å ïîëóïëîñê îñòè îòíîñèòåëüíî ïð ÿìîé AB , ÷òî è âåðøèíà ïàðàáîëû. Îáîçíà ÷èì ïðîåêöèþ òî÷êè P íà ïð ÿìóþ AB ÷åðåç H . Îáîçíà ÷èì òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïð ÿìîé P H ñ ïàðàáîëîé ÷åðåç P ′ . Ò î÷êè P è P ′ ðàçëè÷íû, ïîñê îëüêó òî÷ê à P íå ëåæèò íà ïàðàáîëå. Ïó ñòü P X è P ′ X ′  îòðåçêè ê àñàòåëüíûõ, ïðîâåä¼ííûõ èç òî÷åê P è P ′ ê îêðóæíîñòè. Ò îã äà P H = P X ïî ó ñëîâèþ. Èç ÷àñòè "òîëüê î òîã äà"ëåììû 5 1 ñëåäó åò , ÷òî P ′ H = P ′ X ′ . Îáîçíà ÷èì öåíòð è ðàäèó ñ îêðóæíîñòè ÷åðåç I è r . Îáîçíà ÷èì ïðîåêöèþ òî÷êè I íà ïð ÿìóþ P H ÷åðåç H ′ . Ò îã äà P H 2 − P ′ H 2 = P X 2 − P ′ X ′ 2 = ( P I 2 − r 2 ) − ( P ′ I 2 − r 2 ) = P I 2 − P ′ I 2 = = P H ′ 2 − P ′ H ′ 2 = ( P H + H H ′ ) 2 − ( P ′ H + H H ′ ) 2 = = P H 2 − P ′ H 2 + 2 H H ′ · ( P H − P ′ H ) . Ñëåäîâàòåëüíî, 2 H H ′ · ( P H − P ′ H ) = 0 . Íî P H 6 = P ′ H è H H ′ 6 = 0 , ïîñê îëüêó õ îð äà AB íå ÿâëÿåòñ ÿ äèàìåòðîì. Ïðîòèâîðå÷èå. Ñëó÷àé, ê îã äà òî÷ê à P íàõ î äèòñ ÿ â äðóãîé ïîëóïëîñê îñòè îòíîñèòåëüíî ïð ÿìîé AB , äîê àçûâàåòñ ÿ àíàëîãè÷íî. Äîê àçàòåëüñòâà îñò àëüíûõ ðåçó ëü ò àòîâ. Äîêàçàòå ëüñòâî ñ ëåäñòâèÿ 1. Ñîðìó ëèðó åì ñëåäóþùèé èçâåñòíûé àêò . Ò åîðåìà. Ïàð àáî ëè÷åñêèé ÷åòûð¼õóãî ëüíèê ÿâëÿåòñÿ âïèñ àííûì òîãäà è òî ëüêî òî- ãäà, êîãäà îñè îáð àçóþùèõ åãî ïàð àáî ë ïåðïåíäèêóëÿðíû. Àèííûì ïðåîáðàçîâàíèåì ïåðåâåä¼ì îñè ïàðàáîë è äèàãîíàëè ïàðàáîëè÷åñê îãî ÷å- òûð¼õóãîëüíèê à â äâå ïàðû ïåðïåíäèêó ëÿðíûõ ïð ÿìûõ. Êàê èçâåñòíî, ïðè ïðîèçâîëüíîì àèííîì ïðåîáðàçîâàíèè îáðàç îñè ïàðàáîëû ïàðàëëåëåí îñè îáðàçà ïàðàáîëû. Çíà ÷èò , îñè îáðàçà ïàðàáîëè÷åñê îãî ÷åòûð¼õóãîëüíèê à ïåðïåíäèêó ëÿðíû. Ïîýòîìó èç âûøåïðè- âåä¼ííîé òåîðåìû è îñíîâíîé òåîðåìû ñëåäó åò , ÷òî ïàðàáîëè÷åñêèé ÷åòûð¼õóãîëüíèê ïðè ò àê îì ïðåîáðàçîâàíèè ïåðåõ î äèò âî âïèñàííî-îïèñàííûé. Äîêàçàòå ëüñòâî ñ ëåäñòâèÿ 2. Îáîçíà ÷èì òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñû óã ëà ALD ñ ïð ÿìûìè B C è AD ÷åðåç M è N . Ò îã äà B M / M C = LB /LC = AL/LD = AN / N D . Çíà ÷èò , áèññåêòðèñû óã ëîâ, îáðàçîâàííûõ äèàãîíàëÿìè âïèñàííîãî ÷åòûð¼õóãîëüíèê à ÿâëÿþòñ ÿ îñåâûìè ïð ÿìûìè ýòîãî ÷åòûð¼õóãîëüíèê à. Ïîýòîìó èç ñëåäñòâèÿ 4 (äîê àçàòåëüñòâî ñì. íèæ å) âûòåê àåò ñëåäñòâèå 2. Äîêàçàòå ëüñòâî ñ ëåäñòâèÿ 3.  àññìîòðèì ñèñòåìó ê îîð äèíàò â ê îòîðîé î äíà èç ïàðà- áîë èìååò óðàâíåíèå y = k x 2 . Îáîçíà ÷èì ê îîð äèíàòû òî÷åê A , B , C è D â ýòîé ñèñòåìå ÷åðåç ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ( x 3 , y 3 ) è ( x 4 , y 4 ) . Ò îã äà y 1 = kx 2 1 , y 2 = k x 2 2 , y 3 = k x 2 3 , y 4 = kx 2 4 . Îáîçíà ÷èì ê îýèöèåíòû k ïð ÿìûõ AB è C D ÷åðåç k 1 è k 2 . Ïî ñëåäñòâèþ 2 k 1 = − k 2 . Ïîýòîìó y 2 − y 1 x 2 − x 1 = k ( x 1 + x 2 ) 2 = − ( y 3 − y 4 ) x 3 − x 4 = − k ( x 3 + x 4 ) 2 . Çàìåòèì, ÷òî k ( x 1 + x 2 ) 2 è − k ( x 3 + x 4 ) 2 ÿâëÿþòñ ÿ àáöèññàìè ñåðåäèí îòðåçê îâ AB è C D â çàäàííîé ñèñòåìå ê îîð äèíàò . Îòñþ äà ñëåäó åò , ÷òî îñü âûáðàííîé ïàðàáîëû ïðî õ î äèò ÷åðåç ñåðåäèíó îòðåçê à, ñîåäèíÿþùåãî ñåðåäèíû îòðåçê îâ AB è C D . Ïîýòîìó îíà ïðî õ î äèò ÷åðåç öåíòð ò ÿæ åñòè ÷åòûð¼õóãîëüíèê à AB C D . Ò î æ å ñàìîå ìî æíî ñê àçàòü è ïðî îñü äðóãîé ïàðàáîëû. Çíà ÷èò , îñè ïàðàáîë ïåðåñåê àþòñ ÿ â öåíòðå ò ÿæ åñòè ÷åòûð¼õóãîëüíèê à AB C D . Äîêàçàòå ëüñòâî ñ ëåäñòâèÿ 4.  àññìîòðèì ïàðàáîëè÷åñêèé ÷åòûð¼õóãîëüíèê ñ âåð- øèíàìè â òî÷ê àõ A , B , C è D . Èñïîëüçó ÿ ñëåäñòâèå 1, ïåðåâåä¼ì ñîîòâåòñòâóþùèé ïà- ðàáîëè÷åñêèé ÷åòûð¼õóãîëüíèê âî âïèñàííî-îïèñàííûé. Åãî îñåâàÿ ïð ÿìàÿ ïàðàëëåëüíà îñè ïàðàáîëû, ÿâëÿþùåéñ ÿ îáðàçîì èñ õ î äíîé ïàðàáîëû. Ñëåäîâàòåëüíî, è îñåâàÿ ïð ÿìàÿ ÷åòûð¼õóãîëüíèê à AB C D ïàðàëëåëüíà îñè ïàðàáîëû. 6 Äîêàçàòå ëüñòâî óòâåðæäåíèÿ 1. Îáîçíà ÷èì òî÷êè ê àñàíèÿ îêðóæíîñòè ñ î äíîé ïà- ðàáîëîé ÷åðåç A 1 è A 2 , ñî âòîðîé  ÷åðåç B 1 è B 2 , ñ òðåòüåé  ÷åðåç C 1 è C 2 . Èç ëåììû 1 ñëåäó åò , ÷òî ã ëàâíûå äèàãîíàëè ïîëíîãî îïèñàííîãî ïàðàáîëè÷åñê îãî øåñòèóãîëüíèê à ÿâ- ëÿþòñ ÿ áèññåêòðèñàìè òðåóãîëüíèê à, îáðàçîâàííîãî ïð ÿìûìè A 1 A 2 , B 1 B 2 è C 1 C 2 . Çíà ÷èò , îíè ïåðåñåê àþòñ ÿ â î äíîé òî÷ê å. Äîêàçàòå ëüñòâî òåîðå ìû À êîïÿíà è Çàñ ëàâñêîãî. Äîê àæ åì ýòó òåîðåìó äëÿ N = 3 . Èç äîê àçàòåëüñòâà áó äåò âèäíî, ÷òî îáùèé ñëó÷àé äîê àçûâàåòñ ÿ àíàëîãè÷íî. Ñëåäóþùàÿ ëåììà î÷åâèäíà. Ëåììà. ×åðåç òî÷êó âíóòðè îêðóæíîñòè ïðîâåäåíû äâå õîðäû. Ò îãäà ïàð àáî ëà, êà- ñ àþùèåñÿ îêðóæíîñòè â êîíöàõ ïåðâîé õîðäû, è ïàð àáî ëà, êàñ àþùàÿñÿ îêðóæíîñòè â êîíöàõ âòîðîé õîðäû, ïåðåñåêàþòñÿ â ÷åòûð¼õ òî÷êàõ. Èç ýòîé ëåììû ñëåäó åò , ÷òî ã ëàâíûå äèàãîíàëè øåñòèóãîëüíèê à ÿâëÿþòñ ÿ áèññåêòðè- ñàìè óã ëîâ, íà ê îòîðûå õ îð äû äåëÿò ïëîñê îñòü. Ïîýòîìó õ îð äû è ã ëàâíûå äèàãîíàëè äåëÿò ïëîñê îñòü íà 12 ðàâíûõ óã ëîâ.  àññìîòðèì äâå ã ëàâíûå äèàãîíàëè øåñòèóãîëüíèê à, ê îí- öû ê îòîðûõ ïðèíàäëåæ àò î äíîé ïàðàáîëå. Ò îã äà õ îð äà, ïðèíàäëåæ àùàÿ ýòîé ïàðàáîëå, ÿâëÿåòñ ÿ áèññåêòðèñîé óã ëà, îáðàçîâàííîãî ýòèìè äèàãîíàëÿìè. Èç ýòîãî è ñëåäñòâèÿ 2 ñëåäó åò , ÷òî ê îíöû ýòèõ ã ëàâíûõ äèàãîíàëåé, ÿâëÿþùèåñ ÿ âåðøèíàìè øåñòèóãîëüíèê à, ëåæ àò íà îêðóæíîñòè. Ìû äîê àçàëè, ÷òî ê îíöû ëþáûõ äâóõ ã ëàâíûõ äèàãîíàëåé øåñòè- óãîëüíèê à ëåæ àò íà î äíîé îêðóæíîñòè. Ïîýòîìó âñå âåðøèíû øåñòèóãîëüíèê à ëåæ àò íà î äíîé îêðóæíîñòè. Ïîêàæå ì, êàê ìîæíî ïîñòðîèòü ñ ïî ìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè áåñêîíå÷íî ìíîãî òî÷åê ïàð àáî ëè÷åñêîãî ÷åòûð¼õóãî ëüíèêà ñ âåðøèíàìè â ÷åòûð¼õ äàííûõ òî÷êàõ. Èç- âåñòíî, ÷òî ÷åðåç ÷åòûðå òî÷êè ìî æíî ïðîâåñòè òîëüê î äâå ïàðàáîëû. Ïðèâåä¼ì ïëàí ýòîãî ïîñòðîåíèÿ. Îáîçíà ÷èì ÷åðåç A , B , C è D ÷åòûðå äàííûå òî÷êè. Ïîñòðîèì äâå îñåâûå ïð ÿìûå ÷åòûð¼õóãîëüíèê à AB C D . Îíè áó äóò ïàðàëëåëüíû îñ ÿì ïàðàáîë, îáðàçó- þùèõ ïàðàáîëè÷åñêèé ÷åòûð¼õóãîëüíèê. Îáîçíà ÷èì ýòè ïàðàáîëû ÷åðåç p 1 è p 2 . Ïðîâåä¼ì îêðóæíîñòü ÷åðåç òî÷êè A , B è C . Èç ñëåäñòâèÿ 2 ñëåäó åò , ÷òî åñëè ýò à îêðóæíîñòü è ïàðàáîëà p 1 (èëè p 2 ) ïåðåñåê àþòñ ÿ â ÷åòûð¼õ òî÷ê àõ, òî ïð ÿìûå, ñîåäèíÿþùèå ýòè òî÷- êè, îáðàçóþò ðàâíûå óã ëû ñ îñåâûìè ïð ÿìûìè ÷åòûð¼õóãîëüíèê à AB C D , ñëåäîâàòåëü- íî, ìî æíî ïîñòðîèòü ÷åòâ¼ðòóþ òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ îêðóæíîñòè ñ ïàðàáîëîé p 1 (èëè p 2 ). Ò àêèì îáðàçîì, ïîñòðîåíû ïÿòü òî÷åê ïàðàáîëû p 1 (èëè p 2 ). Çíà ÷èò , ìî æíî ïîñòðîèòü áåñê îíå÷íî ìíîãî òî÷åê, ïðèíàäëåæ àùèõ ïàðàáîëè÷åñê îìó ÷åòûð¼õóãîëüíèêó . Áëàãî äàðíîñòü. Àâòîð áëàãî äàðèò À.À. Çàñëàâñê îãî çà ê îíñòðóêòèâíîå îáñóæäåíèå ðàáîòû è À.Á. Ñê î- ïåíê îâà çà öåííûå çàìå÷àíèÿ ïðè ïî äãîòîâê å òåê ñò à. [1℄ À.Â. Àê îïÿí, À.À. Çàñëàâñêèé.  åî ìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà êðèâûõ âòîðîãî ïîðÿäêà. Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2007. English translation is in preparation. [2℄ Ñ.Â. Ìàðê åëîâ. Ïàð àáî ëà êàê îêðóæíîñòü. // Äåñ ÿò àÿ ëåòíÿÿ ê îíåðåíöèÿ Òóð- íèðà ãîðî äîâ. Ì.: ÌÖÍÌÎ, 1999. Ñ. 36-42, 112-123. 7